2020年河南省中考数学模拟练习试卷(4月份) 解析版

2023年12月3日发(作者：高职高考广东数学试卷)

2020年河南省中考数学模拟练习试卷

一．选择题（共10小题）

1．﹣的绝对值是（ ）

A．﹣ B．

﹣C．﹣ D．

2．某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝109m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）

A．120×109m

﹣B．1.2×106m

﹣C．1.2×107m

﹣D．1.2×108m

﹣3．下列运算正确的是（ ）

A．（a﹣b）2＝a2﹣b2

C．（﹣2a3）2＝4a6

B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1

D．x2﹣8x+16＝（x+4）2

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）

A．40° B．45° C．50° D．35°

5．如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

6．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：

组员

得分

甲

81

乙

77

丙

■

丁

80

戊

82

平均成绩

80

众数

■

则被遮盖的两个数据依次是（ ） A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2

7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）

A．有两个相等的实数根

C．有两个实数根

B．有两个不相等的实数根

D．无实数根

8．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：

组别（cm）

人数

x＜160

5

160≤x＜170

38

170≤x＜180

42

x≥180

15

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）

A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15

9．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）

A．5 B．3 C． D．

10．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）

A． B． C． D．

二．填空题（共5小题）

11．计算：（﹣）1﹣﹣＝ ． 12．如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．

13．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣此次实心球训练的成绩为 米．

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形x2+x+，由此可知该生AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 ．

三．解答题（共8小题）

16．先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

17．某课外活动小组为了解本校学生上学常用的一种交通方式，随机调查了本校部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如图尚不完整的统计图表： 请根据以上信息解答下列问题：

组别

A

B

C

D

上学常用的一种交通方式

步行

骑自行车

乘公交车

其它

频数（人数）

64

m

n

8

（1）参与本次调查的学生共有 人；

（2）统计表中，m＝ ，n＝ ；扇形统计图中，B组所对应的圆心角的度数为 ；

（3）若该校共有1500名学生，请估计全校骑自行车上学的学生人数；

（4）该小组据此次调查结果向学校建议扩建学生车棚，若平均每4平方米能停放5辆自行车，请估计在现有300平方米车棚的基础上，至少还需要扩建多少平方米才能满足学生停车需求．

18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．

（1）求证：∠DOC＝2∠G．

（2）已知⊙O的半径为3．

①若BE＝2，则DA＝ ．

②当BE＝ 时，四边形DOCF为菱形． 19．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为35°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，≈1.73）

20．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝与性质．列表：

x

y

… ﹣3

﹣

﹣2

﹣

﹣1

﹣

0

…

1

2

1

1

0

2

1

3

2

…

…

的图象描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝2时，求自变量x的值；

③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；

④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

21．武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：

销售单价x（元）

日销售利润w（元）

85

875

95

1875

105

1875

（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；

（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：

该公司生产的防护服的成本单价是 元，当销售单价x＝ 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；

（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

22．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．

23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；

（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．﹣的绝对值是（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．

【解答】解：∵﹣的绝对值等于其相反数，

∴﹣的绝对值是．

故选：B．

2．某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝109m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表﹣示（ ）

A．120×109m

﹣B．1.2×106m

﹣C．1.2×107m

﹣D．1.2×108m

﹣【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0＜|a|≤1，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．

【解答】解：∵1nm＝109m，

﹣∴120nm＝120×109m＝1.2×107m．

﹣﹣故选：C．

3．下列运算正确的是（ ）

A．（a﹣b）2＝a2﹣b2

C．（﹣2a3）2＝4a6

B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1

D．x2﹣8x+16＝（x+4）2

【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．

【解答】解：A、结果是a2﹣2ab+b2，故本选项错误；

B、结果是4a2﹣1，故本选项错误；

C、结果是4a6，故本选项正确；

D、结果是（x﹣4）2，故本选项错误；

故选：C． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）

A．40° B．45° C．50° D．35°

【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．

【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，

∴∠ACB＝75°，

在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，

∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，

∵a∥b，

∴∠AED＝∠2+∠ACB，

∴∠2＝115°﹣75°＝40°，

故选：A．

5．如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：

． 故选：A．

6．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：

组员

得分

甲

81

乙

77

丙

■

丁

80

戊

82

平均成绩

80

众数

■

则被遮盖的两个数据依次是（ ）

A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2

【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．

【解答】解：根据题意得：

80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），

则丙的得分是80分；

众数是80，

故选：A．

7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）

A．有两个相等的实数根

C．有两个实数根

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解答】解：由题意可可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）

＝k2﹣2k+1

＝（k﹣1）2≥0，

故选：C．

8．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：

组别（cm）

人数

x＜160

5

160≤x＜170

38

170≤x＜180

42

x≥180

15

B．有两个不相等的实数根

D．无实数根

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）

A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15

【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．

【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15， 所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．

故选：D．

9．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）

A．5 B．3 C． D．

【分析】先利用等角的余角证明∠ADG＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADG∽△CDE，然后利用相似比计算DE的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，

∵四边形DEFG为矩形，

∴∠EDG＝∠G＝90°，

∵∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，

∴∠ADG＝∠EDC，

∴△ADG∽△CDE，

∴＝，即＝，

∴DE＝5．

故选：A．

10．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ） A． B． C． D．

【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．

【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，

∴易证AE⊥BC，

∵A、C关于BD对称，

∴PA＝PC，

∴PC+PE＝PA+PE，

∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．

观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，

∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，

∴在Rt△AEB中，BE＝2∴PC+PE的最小值为2∴点H的纵坐标a＝2∵BC∥AD，

∴∵BD＝4∴PD＝＝2，

，

＝，

，

；

，

，

，

∴点H的横坐标b＝∴a+b＝2故选：C．

二．填空题（共5小题）

+＝11．计算：（﹣）1﹣﹣＝ 0 ．

【分析】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义计算即可求出值．

【解答】解：原式＝﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0，

故答案为：0

12．如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．

【分析】根据题意可知射线BG是∠ABC的平分线，从而可得△HBD是等腰三角形，且HD＝HB，再根据相似三角形对应边成比例可求AH的长．

【解答】解：由题意可知射线BG是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD

而DH∥BC

∴∠HDB＝∠CBD

∴∠ABD＝∠HDB

∴HB＝HD＝3

又∵DH∥BC

∴△AHD∽△ABC

∴即：得AH＝

故答案为．

13．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生

此次实心球训练的成绩为 10 米．

【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．

【解答】解：当y＝0时，y＝﹣解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．

故答案为：10．

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形﹣ ．

x2+x+＝0，

AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是

【分析】首先根据题意利用锐角三角函数关系得出旋转角的度数，进而求出S△AB′C′，S扇形BAB′，即可得出阴影部分面积．

，AD＝1，

，AD＝BC＝1，

【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝∴tan∠CAB＝＝，AB＝CD＝∴∠CAB＝30°，

∴∠BAB′＝30°，

∴S△AB′C′＝×1×＝，

S扇形BAB′＝＝，

S阴影＝S△AB′C′﹣S扇形BAB′＝故答案为：﹣．

﹣．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 4﹣或4+ ．

【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，由折叠的性质得C\'D＝CD＝3，C\'E＝CE，证A、C\'、E三点共线，设CE＝C\'E＝x，①点E在线段CB上时，由勾股定理得出AC\'＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

，在Rt△ABE中，由勾股定②点E在线段CB的延长线上时，由勾股定理得出AC\'＝理得出方程，解方程即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，

由折叠的性质得：C\'D＝CD＝3，C\'E＝CE，∠DC\'E＝∠C＝90°，

设CE＝C\'E＝x，

当△AC′D为直角三角形时，则∠AC\'D＝90°，

∴∠AC\'D+∠DC\'E＝180°，

∴A、C\'、E三点共线，

分两种情况：

①点E在线段CB上时，如图1所示：

则∠DC\'E＝∠C＝90°，

∴∠AC\'D＝90°，

∴AC\'＝＝＝， 在Rt△ABE中，BE＝4﹣x，AE＝x+由勾股定理得：（4﹣x）2+32＝（x+解得：x＝4﹣∴CE＝4﹣，

；

，

）2，

②点E在线段CB的延长线上时，如图2所示：

则∠DC\'E＝∠C＝90°，

∴AC\'＝＝＝，

，

）2，

在Rt△ABE中，BE＝x﹣4，AE＝x﹣由勾股定理得：（x﹣4）2+32＝（x﹣解得：x＝4+∴CE＝4+，

；

综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4﹣故答案为：4﹣或4+．

或4﹣；

三．解答题（共8小题）

16．先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，再计算括号内的分式加法，继而计算乘法计算即可化简，然后代入使原式有意义的x的值计算即可．

【解答】解：原式＝[＝＝，

•

﹣]• ∵（x+1）（x﹣1）≠0且x≠0，

∴x≠±1且x≠0，

∴x＝2，

则原式＝2．

17．某课外活动小组为了解本校学生上学常用的一种交通方式，随机调查了本校部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如图尚不完整的统计图表：

请根据以上信息解答下列问题：

组别

A

B

C

D

上学常用的一种交通方式

步行

骑自行车

乘公交车

其它

频数（人数）

64

m

n

8

（1）参与本次调查的学生共有 160 人；

（2）统计表中，m＝ 56 ，n＝ 32 ；扇形统计图中，B组所对应的圆心角的度数为

126° ；

（3）若该校共有1500名学生，请估计全校骑自行车上学的学生人数；

（4）该小组据此次调查结果向学校建议扩建学生车棚，若平均每4平方米能停放5辆自行车，请估计在现有300平方米车棚的基础上，至少还需要扩建多少平方米才能满足学生停车需求．

【分析】（1）根据题意即可得到结论；

（2）根据题意列式计算即可；

（3）根据题意列式计算即可；

（4）首先计算出现在的车棚面积﹣原有的车棚面积即可得到结论．

【解答】解：（1）64÷40%＝160人， 答：参与本次调查的学生共有160人；

故答案为：160；

（2）n＝160×20%＝32人，m＝160﹣64﹣32﹣8＝56，B组所对应的圆心角的度数＝360°×＝126°，

故答案为：56，32，126°；

（3）全校骑自行车上学的学生人数约有1500×（4）×4﹣300＝120（平方米）

＝525（人）；

∴至少还需要扩建120平方米，才能满足学生停车需求．

18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．

（1）求证：∠DOC＝2∠G．

（2）已知⊙O的半径为3．

①若BE＝2，则DA＝ ．

②当BE＝ 3 时，四边形DOCF为菱形．

【分析】（1）由⊙O与AB相切于点D推出∠OBD为90°，证明OD∥GC，推出∠G＝∠ODE＝∠OED，由三角形外角的性质即可推出结论；

（2）①利用勾股定理求出BD的长，再利用△BOD与△BCA相似，即可求出AD的长；

②连接DF，OA，将四边形DOCF为菱形作为条件，求出DF的长，再利用三角函数求出AF的长，进一步得到AC的长，再利用△BOD与△BCA相似即可求出BE的长．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB＝90°，

∴∠BAC＝∠ODB＝90°， ∴OD∥CG，

∴∠G＝∠ODE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，

∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；

（2）解：①在Rt△BOD中，

OD＝3，OB＝OE+BE＝5，

∴BD＝＝4，

由（1）知，OD∥CG，

∴△BOD∽△BCA，

∴＝，

，

，

；

即＝∴AD＝故答案为：

（3）如下图，连接DF，OF，

当四边形DOCF为菱形时，

DF＝CF＝OC＝OD＝3，

∵OF＝3， ∴△ODF为等边三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，

在Rt△DAF中，DF＝3，

∴AF＝3×＝，

∴AC＝CF+AF＝，

由（2）知，∴△BOD∽△BCA，

∴即＝＝，

，

∴BE＝3，

故答案为：3．

19．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为35°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，≈1.73）

【分析】延长CD交AB的延长线于点E，构建直角三角形，利用直角三角形的三角函数解答即可．

【解答】解：延长CD交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°， ∵∠BDE＝60°，∠DCB＝30°，

∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，

∴∠DCB＝∠CBD，

∴BD＝CD＝6（米）

在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，

≈5.19（米）， ∴BE＝BD•sin∠BDE═6×sin60°＝3DE＝BD＝3（米），

在Rt△AEC中，tan∠ACE＝，

∴AE＝CE•tan∠ACE＝（6+3）×tan35°≈9×0.70＝6.30（米），

∴AB＝AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1（米），

∴吊灯AB的长度约为1.1米．

20．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝与性质．列表：

x

y

… ﹣3

﹣

﹣2

﹣

﹣1

﹣

0

…

1

2

1

1

0

2

1

3

2

…

…

的图象描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ＜

y2，x1 ＜ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝2时，求自变量x的值；

③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；

④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

【分析】（1）描点连线即可；

（2）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；

②当y＝2时，2＝|x﹣1|，则有x＝3或x＝﹣1；

③由图可知﹣1≤x≤3时，点关于x＝1对称，当y3＝y4时x3+x4＝2；

④由图象可知，0＜a＜2；

【解答】解：（1）如图所示：

（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），

A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；

C（x1，），D（x2，6），

C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；

故答案为＜，＜；

②当y＝2时，x≤﹣1时，有2＝﹣，∴x＝﹣1；

当y＝2时，x＞﹣1时，有2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1（舍去），

故x＝﹣1或x＝3；

③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧， ∴﹣1≤x≤3时，点P，Q关于x＝1对称，

则有y3＝y4，

∴x3+x4＝2；

④由图象可知，0＜a＜2；

21．武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：

销售单价x（元）

日销售利润w（元）

85

875

95

1875

105

1875

（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；

（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：

该公司生产的防护服的成本单价是 80 元，当销售单价x＝ 100 元时，日销售利润w最大，最大值是 2000 元；

（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，根据题意列方程组即可得到结论；

（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）设产品的成本单价为b元，根据题意列不等式即可得到结论．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，

由题意得，解得：，

，

∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣5x+600（80≤x≤120）；

（2）设成本单价是a元，

由题意得，（﹣5×85+600）×（85﹣a）＝875，

解得：a＝80，

∴该公司生产的防护服的成本单价是80元；

∵w＝（﹣5x+600）（x﹣a）＝﹣5x2+（600+5a）x﹣600a＝﹣5（x﹣100）2+2000，

∴当x＝100时，W最大＝2000，

即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润是2000；

故答案为：80，100，2000；

（3）设产品的成本单价为b元，

当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，

解得：b≤65，

答：产品的成本单价应不超过65元．

22．已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．

（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．

【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；

（2）结论不变，证明方法类似；

（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；

【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如图1中，延长EM交AD于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME．

（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM． 理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME．

（3）如图3中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．

易证△AMH≌△FME（SAS），

∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，

∴AH∥DF，

∴∠DAH+∠ADE＝180°，

∴∠DAH+∠CDE＝90°，

∵∠DCE+∠EDC＝90° ∴∠DAH＝∠DCE，

∵DA＝DC，

∴△DAH≌△DCE（SAS），

∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，

∴∠HDE＝∠ADC＝90°，

∵ME＝MH，

∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，

在Rt△CDE中，DE＝∵DM＝ME，DM⊥ME，

∴MR⊥DE，MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，

在Rt△FMR中，FM＝

如图4中，作MR⊥DE于R．

＝＝

＝12，

在Rt△MRF中，FM＝故满足条件的MF的值为或＝，

．

23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；

（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】方法一：

（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y＝2可得出点D的坐标；

（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．

（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．

方法二：

（1）略．

（2）设点E的参数坐标，利用坐标平移法，

得出点P的参数坐标．

（3）可先设P点参数坐标，进而得出Q及Q’参数坐标，再利用PC⊥QQ’，

利用黄金法则二列式．从而求解P点坐标．

【解答】方法一：

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴，

解得：

∴y＝﹣x2+x+2；

当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝3，x2＝0（舍去），

即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能： ①当AE为一边时，AE∥PD，

∴P1（0，2），

②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，

可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，

∴P点的纵坐标为﹣2，

代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2＝﹣2

解得：x1＝∴P点的坐标为（，x2＝，

，﹣2），（，﹣2）

，﹣2）；P3（，﹣2）． 综上所述：P1（0，2）；P2（

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ＝a，

PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，

∴∠FQ′P＝∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，

∴Q′F＝a﹣3，

∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝＝， 此时a＝，点P的坐标为（，），

②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，﹣a2+a+2＜0，CQ＝﹣a，

PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠CQ′O+∠OCQ′＝90°，

∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，

∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F＝3﹣a，

∴OQ′＝3，

CQ＝CQ′＝此时a＝﹣＝，点P的坐标为（﹣，

，，）．

），（﹣，）． 综上所述，满足条件的点P坐标为（方法二：

（1）略．

（2）设E（t，0），A（﹣1，0），D（3，2），

∴P1（t+4，2），P2（t﹣4，﹣2），P3（2﹣t，2），

﹣（t+4）2+（t+4）+2＝2，

∴t+4＝0或t+4＝3．

﹣（t﹣4）2+（t﹣4）+2＝﹣2，

∴t﹣4＝或

﹣（2﹣t）2+（2﹣t）+2＝2，

∴2﹣t＝0或2﹣t＝3，

∵P（3，2）与D重合，故舍去．

∴P1（0，2），P2（

（3）∵△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，

，﹣2），P3（，﹣2）． ∴PQ＝PQ′，QQ′⊥CP，

∴CQ＝CQ′，

设Q（a，2），

∵PQ⊥CQ，

∴P（a，﹣a2+a+2），

∵CQ＝CQ′＝a，

∴OQ′＝，

，0），C（0，2）， ∴Q（a，2），Q′（∵OQ′⊥CP，

∴KQQ′×KCP＝﹣1，

∴∴a＝±∴P1（

×，

，＝﹣1，

），P2（﹣，）．