2023年12月9日发(作者：山西中医药大学数学试卷)

第11讲 代数最值

知识纵横

在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;

1.运用配方法求最值

2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值

3.建立函数模型求最值

4.利用基本不等式或不等式分析法求最值

例题求解

22【例1】实数x、y满足2x6xy0，则xy2x的最大值是

22 （江苏省竞赛题）

2思路点拨 解题的关键是由y0可得x取值的隐含制约。

5x230xy51y2【例2】分式2的最小值为（ ）

2x6xy11yA、-5 B、-3 C、5 D、3

（太原市竞赛题）

4y252思路点拨 原式=x6xy11y2。

【例3】（1）设a、b为实数，求代数式aabba2b的最小值。

22（全国初中数学联赛题）

（2）实数x、y、z满足xyz5，xyyzxz3，求z的最大值。

（全国初中数学联赛题）

思路点拨 对于（1），引入参数设aabba2bt，将等式整理成关于a的二次22方程a(b1)a(b2bt)0，利用判别式求最小值，对于（2），xy5z，22xy3z(xy)3z(5z)z25z3，运用韦达定理构造方程。

【例4】（1）已知y1xx12的最大值为a，最小值为b，则ab的值。

22（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）

（2）求使x4(8x)16取得最小值的实数x的值。

（全国初中数学竞赛题）

思路点拨 解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。

22【例5】已知ab1，对于满足条件xy1，xy0的一切实数对（x，y），不等式22ay2xybx20恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值。

（全国初中数学联赛题）

分析 将y=1-x代入不等式得：(1ab)x(2a1)xa0，此不等式对于满足条件2的实数对（x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。

解 由xy1，xy0知0x1,0y1。

令x=0，y=1，得a0；令x=1，y=0，得b0，从而1ab0，022a1

1。21ab 故二次函数y(1ab)x(2a1)xa的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0

和1之间。

又原不等式对于满足条件0x1的一切实数x恒成立。

所以(2a1)4(1ab)a0，即ab21

46262aaab144 由 或

1 得abb62b6244422

离散最值

【例6】已知a、b、c为正整数，且abc，求c的最小值。

（全国初中数学竞赛题）

222bb1bb1c2ab2分析与解 若取，则c，由小到大考察b，使为完全平方2222cab数，当b=8时，c36，则c=6，从而a=28，下表说明c没有比6更小的正整数解。显2然，表中cx的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.

43c

2

3

4

5

c4

16

81

256

625

x3(x3c4)

1,8

1,8,27,64

1,8,27,64,125,216

1,8,27,64,125,216,343,512

222c4x3

17,8

80,73,54,17

255,248,229,192,131,40

624,617,598,561,500,409,282,113

思路点拨 从(ca)(ca)b入手。

学力练习

基础夯实

1、（1）设x为正实数，则函数yxx （2）函数yx2、

3、若实数x、y满足方程xy3xy35，则xy的最大值为

2221的最小值是 。

x918(x0)的最大值是

x（第19届香港中学竞赛题）

4、

5、已知实数a、b、c满足abc0,abc6，则a的最大值为

222

（第17届江苏省竞赛题）

6、已知x、y、z为三个非负实数，且满足3x2yz5,xyz2，若s2xyz，则s的最大值与最小值的和为（ ）

A、5 B、232735 C、 D、

444（天津市选拔赛试题）

y1z2222，则xyz可取得的最小值为（ ）

23599A、3 B、 C、 D、6

2147、若x18、正实数x、y满足xy1，那么11的最小值为（ ）

44x4y A、155 B、 C、1 D、 E、2

284（黄冈市竞赛题）

9、（1）求函数y3x5在3x5时的最值。

x23x23x4 （2）求y的最大值。

2xx110、求y3x26x5的最小值。

11、

12、在直角坐标系xoy中，一次函数ykxb2(k0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别 交于点A、B，且使得SOABOAOB3.

（1）用b表示k；（2）求OAB面积的最小值。

（浙江竞赛题）

能力拓展

210、设x1，x2是关于x的一元二次方程xaxa2的两个实数根，则(x12x2)(x2x1)的最大值为

11、若抛物线yx(k1)xk1与x轴的交点为A、B，顶点为C，则ABC的面积2最小值为

12、

13、已知实数a、b满足aabb1，且tabab，则t的最大值为 最2222小值为 （“TI杯”全国初中数学竞赛题）

14、设x、y、z为正数，且xyz(xyz)4 ，则(xy)(yz)的最小值是

（“宇振杯”上海市竞赛题） 15、已知a3，b3，且abk1，ab3，则k的最小整数值是

（海南省竞赛题）

16、已知yx14x，那么y的最大值和最小值的差为

（武汉市竞赛题）

17、已知x1，x2，xm都是正整数，且x1x2xm58，若x1x2xm的最大值为A，最小值为B，则A+B的值为

（全国初中数学竞赛题）

18、设实数a、b满足3a10ab8b5a10b0，求u9a72b2的最小值。

222222（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）

19、已知a、b、c是正整数，且二次函数yaxbxc的图象与x轴有两个不同的交点2A、B，若点A、B到原点的距离都小于1，求abc的最小值。

（天津市竞赛题）

综合创新

20、设x1，x2，xn是整数，并且满足：

（1）1xi2，i1,2,,n； （2）x1x2xn19

（3）x1x2xn99.

222求x1x2xn的最大值和最小值。

（国家理科实验班招生试题）

20、已知实数a、b、c、d使得方程(xa)(xb)24(xc)(xd)对一切实数x均成立，那么当代数式abcdabcd4a4b8c8d10取得最小值时，2222333abcd的值为多少？ （河南省竞赛题）


更多推荐

竞赛题,最值,数学,全国,实数,方法