2021年江苏省镇江市中考数学真题试卷

2023年12月2日发(作者：广东小升初数学试卷及答案)

2021年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）

1．﹣5的绝对值等于 ．

2．使有意义的x的取值范围是 ．

3．8的立方根是 ．

4．如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ．

5．一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 ．

6．小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．

7．某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是

环．

8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．

9．如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ．

10．已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即可）

11．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为 ．

12．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 ．

二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

13．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆

14．（3分）2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（ ）

A．25.9×103 B．2.59×104 C．0.259×105 D．2.59×105

15．（3分）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）

A．27° B．29° C．35° D．37°

16．（3分）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）

A．1840 B．1921 C．1949 D．2021

17．（3分）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）

A．有最大值π

C．有最大值π

B．有最小值π

D．有最小值π

18．（3分）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3

三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；

（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．

20．（10分）（1）解方程：﹣（2）解不等式组：＝0；

．

21．（6分）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．

22．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形． 23．（6分）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．

24．（6分）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．

年份 我国大陆人口总数 其中具有大学文化程每10万大陆人口中具度的人数 有大学文化程度的人数

1990年

2000年

2010年

2020年

1133682501

1265830000

1339724852

1411778724

16124678

45710000

119636790

218360767

1422

3611

8930

15467

（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有a，b的代数式表示）

（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）

（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）

25．（6分）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．

（1）k＝ ；

（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；

（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ． 26．（8分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．

（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

27．（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．

（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；

（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 ．

③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

28．（11分）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．

请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】

如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】 在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．

（1）如图4，CD＝AF＝1．

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；

②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．

（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ． 2021年江苏省镇江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分）

1．﹣5的绝对值等于 5 ．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：﹣5的绝对值|﹣5|＝5．

故答案是：5．

2．使有意义的x的取值范围是 x≥7 ．

【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．

【解答】解：使解得：x≥7．

故答案为：x≥7．

3．8的立方根是 2 ．

【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．

【解答】解：8的立方根为2，

故答案为：2．

4．如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 120° ．

有意义，则x﹣7≥0，

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．

【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，

则6x＝（6﹣2）•180°，

解得x＝120°．

故答案为：120°．

5．一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 x1＝0，x2＝﹣1 ．

【分析】利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程x（x+1）＝0， 可得x＝0或x+1＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣1．

故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．

6．小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 96 分．

【分析】根据加权平均数的定义计算可得．

【解答】解：小丽的平均成绩是故答案为：96．

7．某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是 9

环．

＝96（分），

【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是9，9，然后计算它们的平均数即可得到相应的中位数．

【解答】解：由统计图可得，

中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）÷2＝9（环），

故答案为：9．

8．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．

【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出于相似比的平方解答即可．

，根据相似三角形面积的比等【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，

∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，

∵△ADE∽△ABC，

∴＝＝，

）2＝， ∴＝（故答案为：．

9．如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为 ．

【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．

【解答】解：连接PQ，AM，

由图形变换可知：PQ＝AM，

由勾股定理得：AM＝∴PQ＝故答案为：．

．

，

10．已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 y＝﹣x+3 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k＝﹣1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝﹣1+b，解之即可得出b值，进而可得出符合条件的一次函数表达式．

【解答】解：设一次函数表达式为y＝kx+b．

∵函数值y随自变量x的增大而减小，

∴k＜0，取k＝﹣1．

又∵一次函数的图象经过点（1，2），

∴2＝﹣1+b，

∴b＝3，

∴一次函数表达式为y＝﹣x+3．

故答案为：y＝﹣x+3．

11．一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为 2 ．

【分析】放入的红球个数为2，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．

【解答】解：假设袋中红球个数为1，

此时袋中由1个黄球、1个红球，

搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．

假设袋中的红球个数为2，

列树状图如下：

由图可知，共有9种情况，其中两次摸到红球的情况有4种，摸出一红一黄的有4种结果，

∴P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红）＝，符合题意，

所以放入的红球个数为2，

故答案为：2．

12．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 9 ．

【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．

【解答】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，

∴BP＝PD，

∴△BPD是等腰三角形，

∴∠PBD＝30°，

过点P作PH⊥BD于点H，

∴BH＝DH，

∵cos30°＝∴BH＝∴BD＝＝，

BP，

BP，

∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，

过点A作AG⊥BC于点G，

∵AB＝AC，AG⊥BC，

∴BG＝BC＝3，

∵cos∠ABC＝，

∴， ∴AB＝9，

∴BD最大值为：故答案为：9．

BP＝9．

二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

13．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A．正方形 B．长方形 C．三角形 D．圆

【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．

【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．

故选：C．

14．（3分）2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（ ）

A．25.9×103 B．2.59×104 C．0.259×105 D．2.59×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：25900＝2.59×104，

故选：B．

15．（3分）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）

A．27° B．29° C．35° D．37° 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．

【解答】解：连接OD，

∵⊙O与边AC相切于点D，

∴∠ADO＝90°，

∵∠BAC＝36°，

∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，

∴∠AFD＝故选：A．

AOD＝54°＝27°，

16．（3分）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）

A．1840 B．1921 C．1949 D．2021

【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．

【解答】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，

把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000， 则输出结果为1921+100＝2021．

故选：D．

17．（3分）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）

A．有最大值π

C．有最大值π

B．有最小值π

D．有最小值π

【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π（r﹣）2+π，再根据二次函数的性质即可求解．

【解答】解：∵2r+l＝6，

∴l＝6﹣2r，

∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr（6﹣2r）＝﹣2π（r2﹣3r）＝﹣2π[（r﹣）2﹣]＝﹣2π（r﹣）2+π，

∴当r＝时，S侧有最大值π．

故选：C．

18．（3分）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3

【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．

【解答】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789， 整理得：2n＝260，

则n不是整数，故A1的值不可以等于789；

A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，

整理得：2n＝254，

则n不是整数，故A2的值不可以等于789；

B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，

整理得：2n＝256＝28，

则n是整数，故B1的值可以等于789；

B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，

整理得：2n＝252，

则n不是整数，故B3的值不可以等于789；

故选：B．

三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；

（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．

【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝1﹣2×（2）原式＝（x+1）（x﹣1）÷＝（x+1）（x﹣1）•＝x（x+1）﹣x

＝x（x+1﹣1）

＝x2．

20．（10分）（1）解方程：﹣（2）解不等式组：＝0；

．

﹣x

+﹣x

＝1．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0， 去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，

解得：x＝6，

检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0，

∴分式方程的解为x＝6；

（2）由①得：x≥1，

由②得：x＞2，

则不等式组的解集为x＞2．

21．（6分）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．

【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图得：

，

共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，

所以这三人在同一个献血站献血的概率为＝．

22．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ 10 °时，四边形BFDE是菱形．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；

（2）通过证明BE＝DE，可得结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，

∴∠1＝∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，

理由如下：∵∠1＝30°，∠2＝20°，

∴∠ABD＝∠1﹣∠2＝10°，

∴∠DBE＝20°，

∴∠DBE＝∠EDB＝20°，

∴BE＝DE，

∴平行四边形BFDE是菱形，

故答案为10．

23．（6分）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．

【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，

依题意得：解得：．

，

答：共33人合伙买金，金价为9800钱．

24．（6分）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．

年份 我国大陆人口总数 其中具有大学文化程每10万大陆人口中具度的人数 有大学文化程度的人数

1990年

2000年

2010年

1133682501

1265830000

1339724852

16124678

45710000

119636790

1422

3611

8930 2020年

1411778724 218360767 15467

（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为

b的代数式表示）

（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）

（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）

【分析】（1）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可；

（2）求出2020年，“具有大学文化程度”的人数所占总人数的百分比，即可求出相应的圆心角度数；

（3）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论．

【解答】解：由题意得，

下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为故答案为：（2）360°×；

≈56°，

，

；（用含有a，答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°；

（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．

25．（6分）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．

（1）k＝ 2 ；

（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；

（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： （，） ． 【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；

（2）根据AAS可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；

（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．

【解答】解：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，

∴＝1，

解得k＝2，

故答案为：2；

（2）在△BDF和△ACF中，

，

∴△BDF≌△ACF（AAS），

∴S△BDF＝S△ACF，

即a×（﹣m）＝a×（+m），

整理得am＝﹣2；

（3）设A点坐标为（a，），

则C（0，），D（0，﹣），

∵E（2，1），∠CED＝90°，

∴CE2+DE2＝CD2， 即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，

解得a＝﹣2（舍去）或a＝，

∴A点的坐标为（，）．

26．（8分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⨀O经过A，B，P三点．

（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．

（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．

【解答】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，

∴AP＝∵OH⊥AB，

∴AH＝AB，

∵OA＝OP，AH＝HB，

＝＝5， ∴OH＝PB＝，

∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，

∴四边形AHED是矩形，

∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，

∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，

∴OE＝OP，

∴直线CD与⊙O相切．

（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，

∴△ADE≌△TCE（ASA），

∴AD＝CT＝4，

∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，

∵∠ABT＝90°，

∴AT＝∵AP是直径，

∴∠AQP＝90°，

∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，

∴PB＝PQ，

设PB＝PQ＝x，

∵S△ABT＝S△ABP+S△ABT，

＝＝4， ∴×4×8＝×4∴x＝2﹣2，

×x+×4×x，

∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．

27．（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．

（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；

（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 A，D ．

③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．

（2）①根据要求作出图形即可．

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．

③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣求出m即可．

+m，m），构建方程【解答】解（1）由题意得：，

解之得：a＝，b＝，c＝2，

∴y＝+，

＝﹣， ∴当x＝﹣4时，y＝∴D（﹣4，﹣）．

（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，很高点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．

由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，

∵MN∥AB，

∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，

由，解得，

∴M（，），

由．解得，

∴N（∴Q（（，，），

），

∵QJ⊥CD，QT⊥MH，

∴QJ＝∴QJ＝QT，

∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，

∴△PJQ≌△MTQ（AAS），

∴PQ＝MQ，

∵∠PQM＝90°，

∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，

∵PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴＝，故选项D正确，B，C错误，

+4＝，QT＝﹣＝，

∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，

∴折痕与AB垂直，故选项A正确，

故答案为：A，D．

③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，

∴△PDQ是等腰直角三角形，

∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，

∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣把Q的坐标代入y＝++m，m），

，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，

整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，

解得m＝∴Q（2，或﹣（舍弃），

），

）也满足条件，

）或（﹣10，）．

根据对称性可知Q′（﹣10，综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，28．（11分）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．

【活动】

小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．

请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹） 【思考】

如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ 是 （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．

【应用】

在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．

（1）如图4，CD＝AF＝1．

①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；

②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为

（2）设 ．

＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与＜t＜ ． 边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围

【分析】【活动】如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；

【思考】如图2，证明△OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；

【应用】

（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论； ②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；

（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等式可得t的取值．

【解答】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；

【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，

∴AF∥BC，

∴∠NQO＝∠MPO，

∵点O是MN的中点，

∴ON＝OM，

在△OQN和△OPM中，

，

∴△OQN≌△OPM（AAS），

∴S△OQN＝S△OPM，

∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，

∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，

即SABPON＝SCDEFQOM，

∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，

即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，

∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线． 故答案为：是；

【应用】

（1）①如图3﹣1，以直线OC为x轴，OA为y轴，以B为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L图形ABCDEF的面积平分线：直线O1O2，

∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1，

∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），

∴线段BF的中点O1的坐标为（，2），线段DK的中点O2的坐标为（，），

设直线O1O2的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴直线O1O2的解析式为：y＝﹣x+，

当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，

∴Q（，0），

当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，

∴P（，1），

∴PQ＝＝；

如图3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出L图形ABCDEF的面积平分线：直线O3O4， ∵G（0，1），F（1，4），C（6，0），

∴线段GF的中点O3的坐标为（，），线段CG的中点O4的坐标为（3，），

设直线O3O4的解析式为：y＝mx+n，

则，解得：，

∴直线O3O4的解析式为：y＝﹣x+当y＝0时，﹣x+∴Q（，0），

＝1，解得：x＝＝0，解得：x＝，

，

当y＝1时，﹣x+∴P（∴PQ＝∵＜；

，1），

，

＝；

∴PQ长的最大值为；

②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M， 设BG＝x，则MG＝1﹣x，

根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，

解得x＝，即BG＝；

故答案为：；

（2）∵＝t（t＞0），

∴CD＝tAF，

在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，

如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，

即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF，

∴AF＞﹣6，

∵0＜AF＜6，

∴0＜﹣6＜6， ∴＜t＜．

故答案为：＜t＜．