全国初中数学竞赛试题及解答

2023年12月2日发(作者：中考数学试卷沐川)

全国初中数学竞赛试卷及解析

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若abc，则M与P的大小关系是（ ）

A、MP B、MP C、MP D、不确定

答案：B

解析：∵M∵abc

∴MPabcabNcab2cab2c，N，P，MP

322212ab2ccc2c0，即MP0，即MP

12122、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（ba），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）

O

S S S S

t

A

O

B

t

O

C

t

O

D

t

答案：C

解析：因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）

A、甲比乙大5岁 B、甲比乙大10岁

C、乙比甲大10岁 D、乙比甲大5岁

答案：A

解析：由题意知3×（甲－乙）251015

∴甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线y595平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点x44（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

答案：B

解析：在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x14N，y255N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足14N0，且255N0，∴3，4，5

5、设a，b，c分别是ABC的三边的长，且1N5，即N1，2，4aab，则它的内角A、B的关系是babc（ ）

A、B2A B、B2A C、B2A D、不确定

答案：B

aabab得，延长CB至D，使BDAB，于是CDac

babcbacC

b

BCACa

在ABC与DAC中，CC，且

ACDC解析：由∴ABC∽DAC，BACD

∵BADD

∴ABCDBAD2D2BAC

A

c

B

D

6、已知ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且aa1，bb1，cc1，则S与S1的大小关系一定是（ ）

A、SS1 B、SS1 C、SS1 D、不确定

答案：D

Sa解析：分别构造ABC与A1B1C1如下：①作ABC∽A1B1C1，显然1，即S1a1SS1；②设ab101，c20，则hc1，S10，a1b1c110，则S12310010，4a1b129，即SS1；③设ab101，则hc1，则hc2，c110，S110，c20，S10，即SS1；因此，S与S1的大小关系不确定。

二、填空题

7、已知：a343231，那么答案：1

解析：∵33123_______.

aaa321a211，即1321

a33313a23a1a33a23a1a11∴23133aaaaaa2331211

8、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB8，BC62，BCD45，BAD120，则梯形ABCD的面积等于________.

答案：6663（平方单位）

解析：作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F

由BC62，BCD45，得AEBFFC6

D

E

F

C

A

B 由BAD120，得DAE30

因为AE6得DE23，ABEF8，DC23861423

∴S18142366663

29、已知关于x的方程a1x22xa10的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。

答案：5

解析：①当q1时，x1；②当a1时，易知x1是方程的一个整数根，再由1x21a且x是整数，知1a1，2，∴a1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个。

10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答案：2.4米

解析：作PQBD于Q，设BQx米，QDy米，PQh米

yhhx由AB//PQ//CD，得及

4xy6xyE

A

C

P

F

两式相加得5h1，由此得h2.4米

12B Q D

第10题图

即点P离地面的高度为2.4米。

注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b__________.

答案：y

C

D

D

1xb恰好31

21，故BD1

x通过点D（15，5）3111115两点 当b时，直线yx通过0，，15，22322解析：直线y则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

O

第11题图

A x

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________.

注：利润率答案：17%

解析：设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为价降低6.4%后，在销售时的利润率为销售价-进价100%

进价yx100%，原进xy93.6%x100%，依题意得：

93.6%xyxy93.6%x100%8%100%，解得y1.17x

x93.6%x故这种商品原来的利润率为三、解答题

13、设m是不小于1的实数，使得关于x的方程x22m2xm23m30有两个不相等的实数根x1，x2.

26，求m的值；

（1）若x12x21.17xx100%17%

x2mx12mx2（2）求的最大值。

1x11x2解：因为方程有两个不相等的实数根，则

4m24m23m34m40

2∴m1

根据题设，有1m1

2x1x22x1x24m22m23m32m210m10

（1）因为x12x222∴2m210m106，即m25m20

∴m517

2517

2由于1m1，故m221x1mx12x22x1x2x1x2mx12mx2mx121x2x2（2）

1x11x21x11x2x1x2x1x21m2m210m10m23m32m4

m23m32m41m2m38m28m2

m2m2mm1m23m1

mm12m23m1

35设y2m3m12m1m1

2222∵y在∵1m1上是递减的

∴当m1时，y取最大值10

2mx12mx2故的最大值为10

1x11x214、如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AEEC，AB2AE，且BD23，求四边形ABCD的面积。

解：由题设得AB22AE2AEAC

ABAE∴

ACAB又EABBAC

∴ABE∽ACB

∴ABEACB，从而ABAD

连结AD，交BD于H，则BHHD3

∴OHOB2BH2431，AHOAOH211

∴SABDB

A

H

E

D

C

O

11BDAH2313

22∵E是AC的中点

∴SABESBCE，SADESCDE

∴SABDSBCD

∴S四边形ABCD2SABD23

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）

解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，st.交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：

设电梯停在第x层。

①当xst时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t3s3x3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t3s3x3.

②当xst时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3t3.

③当sxt时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3txs3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3t3x3s3，前者比后者多4xs0.

④当sxt时，若住第层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为4ts3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3s3，前者比后者多4ts0. ⑤当stx时，若住第s层的人乘电梯，而住第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3txs3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3sxt3，前者比后者多4ts0.

今设电梯停在第x层，在第一层有y人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

S31233x312y12xy11

333x34x3yy1xy2xy1

2222x2xy102x2y23y1684

2x2y102x2y23y1684

y102122x15y180y3068

482y102122xy6316326

482当x27，y6时，s316

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。