2024年1月23日发(作者：21高考数学试卷)

数学建模算法与应用

1.3、

某工厂生产三种产品I,II,III。每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1

,A2表示：有三种规格的设备能完成B工序，以B1

,

B2

,

B3表示。产品I可在A ,B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时、原材料费、产品销售价格、各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1.2所列，试安排最优的生产计划，是该厂利润最大。

设备

I

A1

A2

B1

B2

B3

单价（元/件）

5

7

6

4

7

1.25

II

10

9

8

0.35

2.00

产品

III

12

11

0.50

2.80

6000

10000

4000

7000

4000

设备有效台时 满负荷时的设备费用/元

300

321

250

783

200

原料费（元/件）

0.25

解：问题分析

这个优化问题的目标是使生产利润最大，要做的决策是生产计划，即如何安排生产计划使生产利润最大

基本模型

决策变量：设在A1工序上加工产品I的数量为x1

在A2工序上加工产品I的数量为x2

在B1工序上加工产品I的数量为x3

在B2工序上加工产品I的数量为x4

在B3工序上加工产品I的数量为x5

在A1工序上加工产品II的数量为x6

在A2工序上加工产品II的数量为x7

在B1工序上加工产品II的数量为x8

在A2工序上加工产品III的数量为x9

在B2工序上加工产品III的数量为x10

目标函数：设生产利润为z元,则z=（1.25-0.25）（x1+x2）+（2.00-0.35）（x6+x7）+（2.80-0.50）x9 –[300(x1+x6)/6000+321(x2+x7+x9)/10000+250(x3+x8)/4000+783(x4+x10)/7000+200x5/4000].

约束条件：

设备能力 设备的工作时间不能超过设备的有效台时

设备A1：5x1+10x6<=6000

设备A2：7x2+9x7+12x9<=10000

设备B1：6x3+8x8<=4000

设备B2：4x4+11x10<=7000

设备B3：7x5<=4000

产品的数量 产品I:

x1+x2=x3+x4+x5

产品II: x6+x7=x8

产品III:

x9=x10

非负约束 产量为非负数，即x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 ,x9 ,x10>=0

综上可得

max z=（1.25-0.25）（x1+x2）+（2.00-0.35）（x6+x7）+（2.80-0.50）x9

–[300(x1+x6)/6000+321(x2+x7+x)/10000+250(x3+x8)/4000+783(x4+x10)/7000+200x5/4000]

(1)

s.t. 5x1+10x6<=6000 (2)

7x2+9x7+12x9<=10000 (3)

6x3+8x8<=4000 (4)

4x4+11x10<=7000 (5)

7x5<=4000 (5)

x1+x2=x3+x4+x5

(6)

x6+x7=x8

(7)

x9=x10

(8)

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 ,x9 ,x10>=0 (10)

9LINGO软件实现

model:

max=x1+x2+1.65*(x6+x7)+2.3*x9-300*(x1+x6)/6000-321*(x2+x7+x9)/10000-250*(x3+x8)/4000-783*(x4+x10)/7000-200*x5/4000;

[A]5*x1+10*x6<6000;

[B]7*x2+9*x7+12*x9<10000;

[C]6*x3+8*x8<4000;

[D]4*x4+11*x10<7000;

[E]7*x5<4000;

[F]x1+x2=x3+x4+x5;

[G]x6+x7=x8;

[H]x9=x10;

end

软件实现所得结果

Global optimal solution found.

Objective value: 2714.606

Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost

X1 1200.000 0.000000

X2 230.0493 0.000000

X6 0.000000 0.1187034

X7 500.0000 0.000000

X9 324.1379 0.000000

X3 0.000000 0.2679802

X8 500.0000 0.000000

X4 858.6207 0.000000

X10 324.1379 0.000000

X5 571.4286 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 2714.606 1.000000

A 0.000000 0.3466897E-01

B 0.000000 0.2732069E-01

C 0.000000 0.1636892

D 0.000000 0.1661995

E 0.000000 0.1038079

F 0.000000 0.7766552

G 0.000000 1.372014

H 0.000000 1.940052

从软件实现所得结果来看，该模型的全局最优解为2714.606（即最大利润为2714.606元），这个线性规划的最优解为x1=1200,x2=230,x3=0, x4=858, x5=571, x6=0, x7=500, x8=500,

x9=324, x10=324（即在A1工序上加工产品I的数量为1200,在A2工序上加工产品I的数量为230,在B1工序上加工产品I的数量为0

,在B2工序上加工产品I的数量为858,

在B3工序上加工产品I的数量为571,在A1工序上加工产品II的数量为0,在A2工序上加工产品II的数量为500,

在B1工序上加工产品II的数量为500,在A2工序上加工产品III的数量为324,在B2工序上加工产品III的数量为324时可获最大利润。）


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加工,产品,设备,工序