高考全国卷文科数学带答案

2023年12月2日发(作者：西安职高数学试卷真题)

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共23题,共150分,共4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．i(2+3i)

A．32i B．32i C．32i

2．已知集合A1,3,5,7,B2,3,4,5则AB

A．3

3．函数exexf(x)x2D．32i

D．1,2,3,4,5,7 B．5

的图象大致为

C．3,5

4．已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)

A．4 B．3 C．2 D．0

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中2人都是女同学的概率为

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

x2y26．双曲线221(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为

abA．y2x

2B．y3x

5C．y2x

2D．y3x

27．在△ABC中,cosC5,BC1,AC5,则AB

A．42 B．30 C．29 D．25 8．为计算S111111,设计了右侧23499100开始N0,T0i1是1ii100否的程序框图,则在空白框中应填入

A．ii1

B．ii2

C．ii3

D．ii4

9．在长方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为

A．2

10．若B．3 C．5

NNTTSNT输出S结束1i1222f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是

D．7

2A．π

4B．π

2C．3π

4D．π

11．已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F160,则C的离心率为

A．13

12．已知D．31

22f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x)．若f(1)2,则f(50)

B．23 C．31

f(1)f(2)f(3)A．50 B．0 C．2 D．50

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13．曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．

x2y5≥0,14．若x,y满足约束条件x2y3≥0,则zxy的最大值为__________．

x5≤0,5π115．已知tanα,则tanα__________．

4516．已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为__________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.

一必考题：共60分. 17．12分

记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a17,S315．

1求{an}的通项公式；

2求Sn,并求Sn的最小值．

18．12分

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y单位：亿元的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据时间变量t的值依次为1,2,,17建ˆ30.413.5t；根据2010年至2016年的数据时间变量t的值依次为立模型①：y1,2,ˆ9917.5t．

,7建立模型②：y1分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由．

19．12分

如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,

PAPBPCAC4,O为AC的中点．

P1证明：PO平面ABC；

2若点M在棱BC上,且MC2MB,求点C到平面POMABOMC的距离．

20．12分

设抛物线C：y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8．

1求l的方程；

2求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程．

21．12分

已知函数f(x)x3a(x2x1)．

1若a3,求f(x)的单调区间；

132证明：f(x)只有一个零点．

二选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22．选修4－4：坐标系与参数方程10分

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为方程为x1tcosα,t为参数．

y2tsinα,x2cosθ,θ为参数,直线l的参数y4sinθ,1求C和l的直角坐标方程；

2若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率．

23．选修4－5：不等式选讲10分

设函数f(x)5|xa||x2|．

1当a1时,求不等式f(x)≥0的解集；

2若f(x)≤1,求a的取值范围．

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题

1．D

7．A

二、填空题

13．y=2x–2

三、解答题

17．解：

1设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15．

14．9 15．3

22．C

8．B

3．B

9．C

4．B

10．C

5．D

11．D

6．A

12．C

6．8π 由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

2由1得Sn=n–8n=n–4–16．

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16．

18．解：

1利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=–+×19=亿元．

22利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

y=99+×9=亿元．

2利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

i从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–+上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠．

ii从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：

1因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以⊥AC,且OP=23．

OP连结OB．因为AB=BC=等腰直角三角形,且2AC,所以△ABC21OB⊥AC,OB=2AC=2．

为由OP2OB2PB2知,OP⊥OB．

由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

2作CH⊥OM,垂足为H．又由1可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°．

233所以OM=253,CH=OCMCsinACB45=OM5．

所以点C到平面POM的距离为20．解：

455．

1由题意得F1,0,l的方程为y=kx–1k>0．

设Ax1,y1,Bx2,y2．

由yk(x1)y4x22得k2x2(2k24)xk20．

2k24．

16k160,故x1x2k2所以4k24．

ABAFBF(x11)(x21)k24k24由题设知28,解得kk=–1舍去,k=1．

因此l的方程为y=x–1．

2由1得AB的中点坐标为3,2,所以AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5．

设所求圆的圆心坐标为x0,y0,则

y0x05，x03，x011，2解得或

(y0x01)2y2y6.16.00(x01)2因此所求圆的方程为

(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144．

21．解：

1当a=3时,fx=x33x23x3,f

′x=x26x3．

令f

′x=0解得x=32当x∈–∞,32当x∈323或13x=323．

3∪323,+∞时,f

′x>0；

3,323时,f

′x<0．

3,323,+∞单调递增,在323,323单调递减．

故fx在–∞,3222由于xx10,所以设g(x)=x33a,则x2x1f(x)0等价于g

′x=x33a0．

x2x1x2(x22x3)≥0,仅当x=0(x2x1)2时g

′x=0,所以gx在–∞,+∞单调递增．故gx至多有一个零点,从而fx至多有一个零点．

又f3a–1=6a22a6(a)20,f3a+1=0,故fx有一个零点．

综上,fx只有一个零点．

注因为f(x)(x2x1)(x13a),x2x1(x)20,所以f(13a)10,f(23a)(x2x1)0．

331234综上,fx只有一个零点．

22．解： 1曲线C的直角坐标方程为x2y21．

416当cos0时,l的直角坐标方程为ytanx2tan,

当cos0时,l的直角坐标方程为x1．

2将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得t的方程

(13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1t20．

又由①得t1t2ktan2．

4(2cossin)13cos2,故2cossin0,于是直线l的斜率23．解：

1当a1时,

可得f(x)0的解集为{x|2x3}．

2f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|,且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4．

由|a2|4可得a6或a2,所以a的取值范围是(,6][2,)．