2023年12月10日发(作者：成都二诊数学试卷)

专题25 奔驰定理与三角形的四心

【方法点拨】

奔驰定理：设O是ABC内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作SA,SB,SC,则SAOASBOBSCOC0.

说明：

1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

（1）O是ABC的重心SCOSAASBBCSA:SB:SC1:1:1OAOBOC0.

SA:SB:SCa:b:ca•OAb•OBc•OC0.

SA:SB:SCsin2A:sin2B:sin2C（2）O是ABC的内心（3）O是ABC的外心sin2A•OAsin2B•OBsin2C•OC0.

（4）O是ABC的垂心SA:SB:SCtanA:tanB:tanCtanA•OAtanB•OBtanC•OC0.

3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

【典型例题】

例1

O为三角形内部一点，a､b､c均为大于1的正实数，且满足aOAbOBcOCCB，若SOAB第 1

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､SOAC､SOBC分别表示OAB､OAC､OBC的面积，则SOAB:SOAC:SOBC为（

）

A．(c1):(b1):a

C． B．c:b:a

D．c2:b2:a2

111::

ab1c1【答案】A

【解析一】由aOAbOBcOCCB，aOAbOBcOCOBOC，

aOA1bOB1cOC，aOAb1OB1cOC0，

如图设OA1aOA,OB1b1OB,OC11cOC

SOB1C1SOA1B1SOAC

OA1OB1OC10，即O是A1BC11的重心，11SOABSOA1B11OAOBsinAOBOAOB12

1OAOBab111OA1OB1sinAOB112SOAB111SOA1B1同理可得SOACSOA1C1，SOBCSOB1C1，

ab1a1cb11c111::

ab1a1cb11cSOAB:SOAC:SOBC所以SOAB:SOAC:SOBC(c1):(b1):a．故选：A．

【解析二】由aOAbOBcOCCB，aOAbOBcOCOBOC，

aOA1bOB1cOC，aOAb1OB1cOC0，

由奔驰定理得：SOAB:SOAC:SOBC(c1):(b1):a．故选：A．

例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中内切圆的圆心，若AIxAByAC，则x_____,y_____．

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【答案】x23,y

77【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）

易求得rABACtt

37，而AIt()，所以x,y647ABACABABACAC)AI， 另一方面，对上式两边同时作数量积得：AIAIt(易知AI32(2

ABAC37272，AI3，AI3)77ABAC所以t1223，所以x,y.

777【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将AIxAByAC转化为IAxIBIAyICIA

整理为：1xyIAxIByIC0

由奔驰定理得1xy:x:y4:4:6解之得x点评：

解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简

洁.例3 已知G是ABC的重心，且满足56sinA•GA= .

【答案】

23,y.

7740sinB•GB35sinC•GC0，则B

3【分析】要牢记OA,OB,OC前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.

GBGC0 【解析】∵G是ABC的重心，∴GA∴56sinA:40sinB:35sinC1:1:1

∴sinA:sinB:sinC5:7:8

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由正弦定理，a:b:csinA:sinB:sinC5:7:8

a2c2b25282721 由余弦定理，cosB2ac2582∵B(0,)，∴

B3.

例4

设H是△ABC的垂心，若3HA4HB5HC0，则cosBHC的值为（

）

A．305670 B． C． D．

105614【答案】D

【解析】因为3HA4HB5HC0，由三角形垂心的向量定理得tanA:tanB:tanC3:4:5

设tanA3x，tanB4x，tanC5x

由tanAtanBtanCtanAtanBtanC代入得60x312x，解之得x1

5所以tanA3

570.

14又因为BHCA，所以cosBHCcosA例5

已知点O为ABC所在平面内一点，且AO2OB3OC0，则下列选项正确的是（

）

A.

AO13ABAC B.

直线AO必过BC边中点

24C.

S△AOB:S△AOC3:2 D.

若OBOC1，且OBOC，则OA13

【答案】ACD

【解析】对于A，插入点A，AO2OAAB3OAAC0，所以AO13ABAC；

241311AOABAC，不成立；对于B，若直线AO过BC边的中点，则AOABAC，由上知

2422对于C，由奔驰定理知S△AOB:S△AOC3:2；

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对于D，由AO2OB3OC0得2OB3OCAO，两边平方得AO2OB3OC

2OB3OC24OB9OC12OBOC13.

22例6

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

b2a2ccosB，若△ABC的外接圆的圆cosBcosACBCA2mCO，则m的值为 . 心为O，且满足sinAsinB【答案】3

2【解析】∵b2a2ccosB

∴b2(ccosBbcosC)2ccosB，即b2bcosC

∵b0，∴cosC1，∵0C，∴C，

23cosBcosACBCA2mCO两边同时点乘CO得：

sinAsinB2cosBcosACBCOCACO2mCO

sinAsinB112112∵CBCOCB2CO=a，CACOCA2COb

222221cosB21cosA2ab2mCO， ∴2sinA2sinB对21a21b2cosAsinB2mCO即sinAcosB

2sin2A2sin2B2a2b24CO由正弦定理知

22sinAsinB∴msinAcosBcosAsinBsinAB3.

2

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【巩固练习】

→→→→→→1.已知P是△ABC所在平面内一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

→→→OB＋OC→2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝＋λAP，λ∈R，2则P点的轨迹一定经过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

→→→3．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S△ABC∶S△APC为( )

A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3

→→→4．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为( )

24421221A.， B.， C.， D.，

999999995.设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若AO2AB2AC则（

）

2221bbcc B．12 C．12 D．12

A．2c2c2b2b6.已知O为正ABC内的一点，且满足OAOB1OC0，若OAB的面积与OBC的面积的比值为3，则的值为（

）

A．1

2B．5

2C．2 D．3

B，C所对的边为a，b，c，a=5，b=12，c=13，7.在△ABC中，I是△ABC内切圆的圆心，角A，若AIt(则t=________．

ABABACAC)，AB=3，BC=4，AC=5，8.在△ABC中， I是△ABC内切圆的圆心，则12=________．

若AI1AB2BC，9.已知O是锐角ΔABC的外接圆圆心，A60,cosBcosCABAC2mAO,，则实数m的值为sinCsinB__________．

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10.已知D是ABC所在平面内一点，且满足ADS11ABAC，则BCD= .

32SACD【答案与提示】

1.【答案】 D

→→→→→→→→→→→→→→→【解析】 由PA·PB＝PB·PC，可得PB·(PA－PC)＝0，即PB·CA＝0，∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC.∴P是△ABC的垂心.

2.【答案】C

→→OB＋OC→【解析】 设BC的中点为M，则＝OM，

2→→→→→则有OP＝OM＋λAP，即MP＝λAP.

∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.

3.【答案】 C

【解析】 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.

4.【答案】 A

→→→→→→→→【解析】 根据奔驰定理，得3OA＋2OB＋4OC＝0，即3OA＋2(OA＋AB)＋4(OA＋AC)＝0，

→2→4→整理得AO＝AB＋AC，故选A.

995.【答案】A

【分析】根据奔驰定理的内心恒等式aOAbOBcOC0，利用向量的线性运算可以求得AObcABAC.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到1，2的值，进而得解.

abcabc【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a

则aOAbOBcOC0，所以aOAbOAABcOAAC0，

＝bAB＋cAC，所以AO所以abcAO又AO1AB2AC，所以16.【答案】C

bcABAC.

abcabcλ1bbc.

，2，所以cabcabc2第 7

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【解析】由奔驰定理得SOAB:SOBC1:13，解之得2，选C．

7.【答案】265

8.【答案】56

9.【答案】32

10.【答案】12

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