2023年安徽省中考数学真题+答案解析

2024年1月23日发(作者：宝应中学高一数学试卷)

2023年安徽省中考数学真题+答案解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1．（4分）﹣5的相反数是（ ）

A．﹣5 B． C． D．5

2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A． B．

C． D．

3．（4分）下列计算正确的是（ ）

A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝a16 C．（a4）4＝a16 D．a8÷a4＝a2

4．（4分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

5．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）

A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1

6．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（

1

）

A．60° B．54° C．48° D．36°

7．（4分）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）

A． B． C． D．

8．（4分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（ ）

A．2 B． C．+1 D．

9．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．2

10．（4分）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）

A．PA+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2

C．△CDE周长的最小值为6

D．四边形ABCD面积的最小值为3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）计算：+1＝ ．

12．（5分）据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为 ．

13．（5分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+CD＝ ．

）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，

14．（5分）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．

（1）k＝ ；

（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．

3

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．

16．（8分）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；

（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；

（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．

18．（8分）【观察思考】

【规律发现】

请用含n的式子填空：

（1）第n个图案中“◎”的个数为 ；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图，第4个图案中“★”的个数可表示为4

，……，第n个图案中“★”

的个数可表示为 ．

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．

参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．

20．（10分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；

（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．

六、（本题满分12分）

21．（12分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级10名学生活动成绩统计表

5

成绩/分

人数

6

1

7

2

8

a

9

b

10

2

已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 分；

（2）a＝ ，b＝ ；

（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

七、（本题满分12分）

22．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．

（1）如图1，求∠ADB的大小；

（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．

（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；

（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．

八、（本题满分14分）

23．（14分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．

（1）求a，b的值；

（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．

6

（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；

（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．

7

2023年安徽省中考数学真题答案解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1．（4分）﹣5的相反数是（ ）

A．﹣5 B． C． D．5

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．

【解答】解：﹣5的相反数是5．

故选：D．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．

【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是B选项，

故选：B．

3．（4分）下列计算正确的是（ ）

A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝a16 C．（a4）4＝a16 D．a8÷a4＝a2

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．

【解答】解：A．a4+a4＝2a4，故此选项不合题意；

B．a4•a4＝a8，故此选项不合题意；

C．（a4）4＝a16，故此选项符合题意；

D．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意．

故选：C．

8

4．（4分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：x﹣1＜0，

x＜1，

＜0，

在数轴上表示为故选：A．

，

5．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）

A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1

【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．

【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；

选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；

选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；

选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；

故选：D．

6．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（ ）

A．60°

B．54° C．48°

9

D．36°

【分析】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，

∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，

故选：D．

7．（4分）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】先罗列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．

【解答】解：用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：

123、132、213、231、312、321，

其中恰好是“平稳数”的有123、321，

所以恰好是“平稳数”的概率为＝，

故选：C．

8．（4分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（ ）

A．2 B． C．+1 D．

，根据相【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝3似三角形的性质求得AE＝2，CE＝，证得△ADE∽△CFE，根据相似三角形的性质得到CM＝＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，

∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，

∴AC＝∵EF⊥AB，

10

＝3，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ACB，

∴∴＝，

＝，

∴EF＝2，

∴AE＝∴CE＝AC﹣AE＝∵AD∥CM，

∴△ADE∽△CFE，

∴∴＝＝，

＝2，

＝2，

，

∴CM＝＝BM，

在△CDM和△BGM中，

，

∴△CDM≌△BGM（SAS），

∴CD＝BG＝3，

∴MG＝故选：B．

9．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）

＝＝．

11

A． B．

C． D．

【分析】根据反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．

【解答】解：∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，

∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，

由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），

∴﹣1+b＝k，

∴k﹣b＝﹣1，

∴b＝k+1，

∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，

∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），

∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，

∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，

∴k﹣1≠0，

∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，

∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，

∴符合以上条件的只有A选项．

12

故选：A．

10．（4分）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）

A．PA+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2

C．△CDE周长的最小值为6

D．四边形ABCD面积的最小值为3

【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A\'，连接A\'B，当P运动到A\'B与直线l的交点，即A\'，P，B共线时，PA+PB＝PA\'+PB最小，即可得PA+PB最小值A\'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当，判断选项BM，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．

【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：

∵△ADE和△BCE是等边三角形，

∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，

∴DE∥BM，CE∥AM，

∴四边形DECM是平行四边形，

∵P为CD中点，

13

∴P为EM中点，

∵E在线段AB上运动，

∴P在直线l上运动，

由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，

， ∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为作A关于直线l的对称点A\'，连接A\'B，当P运动到A\'B与直线l的交点，即A\'，P，B共线时，PA+PB＝PA\'+PB最小，

此时PA+PB最小值A\'B＝∵PM＝PE，

∴PE+PF＝PM+PF，

∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，

∵F为AB的中点，

∴MF⊥AB，

∴MF为等边三角形ABM的高，

∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；

＝＝2，故选项A错误，符合题意；

过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，

∵△ADE和△BCE是等边三角形，

∴KE＝AE，TE＝BE，

∴KT＝KE+TE＝AB＝2，

∴CD≥2，

∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，

∴DE+CE+CD≥6，

∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；

设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，

∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，

14

∴S△ADK＝m•＝（m+2m＝﹣m2+m2，S△BCT＝（2﹣m）（2m）•2＝2m2﹣2，

m+2+2＝﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC∴S四边形ABCD＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，

∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3故选：A．

，故选项D正确，不符合题意；

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）计算：+1＝ 3 ．

【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．

【解答】解：原式＝2+1

＝3．

故答案为：3．

12．（5分）据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为 7.45×109 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：74.5亿＝7450000000＝7.45×109．

故答案为：7.45×109．

13．（5分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+CD＝ 1 ．

）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，

【分析】根据BD＝（BC+BC的长，即可计算出CD的长．

15

）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据

【解答】解：∵BD＝（BC+∴BD＝（6+）＝5，

），AB＝7，BC＝6，AC＝5，

∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，

故答案为：1．

14．（5分）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．

（1）k＝ ；

（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 4 ．

【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．

（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．

【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，

∴∴∵C是OB的中点，

∴OC＝BC＝AC＝2，

如图，过点C作CP⊥OA于P，

，

，

∴△OPC≌△APC（HL），

∴，

，

16

在Rt△OPC中，PC＝

∴C（，1）．

∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，

∴解得k＝故答案为：，

．

．

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

则，

解得，

x+2， ∴AC的解析式为y＝﹣∵AC∥BD，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，

∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，

∴联立得，

解得当D的坐标为（2BD2＝（∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；

当D的坐标为（2BD2＝（﹣2，2，

+2，）时，

2+＝9+3＝12，

）时，

＝9+3＝12， +∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；

综上，OB2﹣BD2＝4．

故答案为：4．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17

15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．

【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，把已知数据代入得出答案．

【解答】解：原式＝当x＝原式＝＝．

﹣1时，

﹣1+1

＝x+1，

16．（8分）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

【分析】设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．

【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，

由题意得：解得：，

，

答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；

（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；

（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．

【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；

18

（2）根据平移的性质画出图形即可；

（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．

【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；

（2）线段A2B2如图所示；

（3）直线MN即为所求．

18．（8分）【观察思考】

【规律发现】

请用含n的式子填空：

（1）第n个图案中“◎”的个数为 3n ；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为案中“★”的个数可表示为的个数可表示为

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．

19

，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图，第4个图案中“★”的个数可表示为 ．

，……，第n个图案中“★”

【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，…，从而可求第n个图案中“◎”的个数；

（2）根据所给的规律进行总结即可；

（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．

【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，

第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，

第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1，

…，

∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，

故答案为：3n；

（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：故答案为：（3）由题意得：；

＝2×3n，

；

解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．

参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．

【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．

【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，

在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，

∴OA＝sin∠ORA×AR

20

＝sin24.2°×40

≈16.4（m），

OR＝cos24.2°×40

≈36.4（m），

在Rt△BOR中，

OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），

∴AB＝OB﹣OA

＝27.3﹣16.4

＝10.9（m），

答：无人机上升高度AB约为10.9m．

20．（10分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．

（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；

（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．

【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；

（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，

∴＝，

∴∠ACB＝∠ACD，

21

即CA平分∠BCD；

（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，

∵AE⊥BC，CE⊥AB，

∴∠AMB＝∠CNB＝90°，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，

∴AD∥NC，CD∥AM，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE＝CD＝3，

∴BC＝＝＝3．

六、（本题满分12分）

21．（12分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级10名学生活动成绩统计表

成绩/分

人数

6

1

7

2

8

a

9

b

10

2

已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 1 ，七年级活动成绩的众数为 8 分；

（2）a＝ 2 ，b＝ 3 ；

（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否22

平均成绩也高，并说明理由．

【分析】（1）分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩为7分的学生数，然后根据众数定义即可求得众数；

（2）根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，9，再根据表格中数据即可求得答案；

（3）结合（1）（2）中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可．

【解答】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%＝5（人），

成绩为9分的人数为10×20%＝2（人），

成绩为10分的人数为10×20%＝2（人），

则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人），

∵出现次数最多的为8分，

∴七年级活动成绩的众数为8分，

故答案为：1；8；

（2）由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，

∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，

∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，

∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，

∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），

∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人），

即a＝2，b＝3，

故答案为：2；3；

23

（3）不是，理由如下：

结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为七年级的平均成绩为＝8.3（分），

∵40%＜50%，8.5＞8.3，

∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．

七、（本题满分12分）

22．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD．

（1）如图1，求∠ADB的大小；

（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB．

（i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD；

（ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值．

×100%＝40%，八年级的优秀率为×100%＝50%，

＝8.5（分），八年级的平均成绩为

【分析】（1）证MA＝MD＝MB，得∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，再由三角形内角和定理得∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°即可；

（2）（i）证四边形EMBD是平行四边形，得DE＝BM＝AM，再证四边形EAMD是平行四边形，进而得平行四边形EAMD是菱形，则∠BAD＝∠CAD，然后证A、C、D、B四点共圆，由圆周角定理得＝，即可得出结论；

（ii）过点E作EH⊥AB于点H，由勾股定理得AB＝10，再由菱形的性质得AE＝AM＝5，进而由锐角三角函数定义得EH＝3，则AH＝4，BH＝6，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．

【解答】（1）解：∵M是AB的中点，

∴MA＝MB，

由旋转的性质得：MA＝MD＝MB，

∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD，

∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°，

24

∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，

即∠ADB的大小为90°；

（2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，

∴AD⊥BD，

∵ME⊥AD，

∴ME∥BD，

∵ED∥BM，

∴四边形EMBD是平行四边形，

∴DE＝BM＝AM，

∴DE∥AM，

∴四边形EAMD是平行四边形，

∵EM⊥AD，

∴平行四边形EAMD是菱形，

∴∠BAD＝∠CAD，

又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴A、C、D、B四点共圆，

∵∠BCD＝∠CAD，

∴＝，

∴BD＝CD；

（ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H，

则∠EHA＝∠EHB＝90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝∵四边形EAMD是菱形，

∴AE＝AM＝AB＝5，

∴sin∠CAB＝

＝＝10，

＝＝，

25

∴EH＝AE•sin∠CAB＝5×＝3，

∴AH＝＝＝4，

∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，

∴tan∠ABE＝＝＝，

即tan∠ABE的值为．

八、（本题满分14分）

23．（14分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．

（1）求a，b的值；

（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．

（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；

（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）由题意得B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系数法可得OA的解析式为y＝x，则D（t，t），E（t+1，t+1），

（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，则M（t，0），N（t+1，3），利用S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE即可求得答案；

（ii）分两种情况：①当2＜t＜3时，②当t＞3时，分别画出图象，利用S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，建立方程求解即可得出答案．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，

∴解得：，

；

（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，

∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t，

当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，

26

∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），

设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k，

∴k＝1，

∴OA的解析式为y＝x，

∴D（t，t），E（t+1，t+1），

（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，

则M（t，0），N（t+1，3），

∴S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE＝（﹣t2+4t﹣t）•t+（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）＝（﹣t3+3t2）+（t3﹣3t2+4）＝﹣t3+t2+t3﹣t2+2＝2；

（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图，

则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1，

∴S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，

即＝（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，

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解得：t＝；

②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，

则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，

∴S四边形DBCE＝（BD+CE）•DH，

即＝（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，

解得：t1＝+1（舍去），t2＝﹣+1（舍去）；

综上所述，t的值为．

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