2023年12月3日发(作者：数学试卷平阳县)
八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
2．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
3．平行四边形ABCD
中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
7．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．20
8．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ）
第 1 页 共 28 页 A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
A．x≥ B．x≤3 C．x≤ D．x≥3
10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
11．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式） ．
12．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）
第 2 页 共 28 页 13．方程x2﹣2x=0的根是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，则EF=
cm．
15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1
尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
17．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若第 3 页 共 28 页 AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为 ．
18．在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
AC边向BC边折叠，
（2）如图2，（1）使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是 ．
三、解方程：（本题共8分，每小题8分）
19．解方程：
（1）2x2﹣3x+1=0．
（2）x2﹣8x+1=0．（用配方法）
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
20．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）
每人加工零件54
45
30
24
21
12
数
人
数
1
1
2
6
3
2
第 4 页 共 28 页 （1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；
（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．
21．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
22．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
23．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）
24．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
第 5 页 共 28 页 25．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2•x1，求这个函数的表达式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是 ．
26．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为 ，矩形ABCD的面积为 ；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
第 6 页 共 28 页
第 7 页 共 28 页 八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．2，3，4 C．1，2，3 D．4，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、∵12+（∴以1、、）2=（）2，
为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、∵22+32≠42，
∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+22≠32，
∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选A．
2．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A．3300m B．2200m C．1100m D．550m
第 8 页 共 28 页 【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到AB=2DE，计算即可．
【解答】解：∵D，E为AC和BC的中点，
∴AB=2DE=2200m，
故选：B．
3．平行四边形ABCD
中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．
【解答】解：根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为X，
则有：x+2x=180°
∴x=60°，
即较小的内角是60°
故选B．
4．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【考点】统计量的选择．
【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，
而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，
第 9 页 共 28 页 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，
故选：A．
5．一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，判断出函数图象经过的象限，即可判断出一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是哪个．
【解答】解：∵一次函数y=﹣x+1中k=﹣＜0，b=1＞0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是第三象限．
故选：C．
6．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，
解得α=4．
故选C．
7．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．20
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】解：如图所示，
第 10 页 共 28 页 根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB==5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故选：D．
8．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：解得：a≥1且a≠5．
故选C．
9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）
，
A．x≥ B．x≤3 C．x≤ D．x≥3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】将点A（m，3）代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．
第 11 页 共 28 页 【解答】解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，
解得，m=，
∴点A的坐标为（，3），
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．
故选：A．
10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．
【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
面积由“增加→不变→减少”变化．
故选：C．
二、填空题：（本题共24分，每小题3分）
11．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）
第 12 页 共 28 页 y=2x ．
【考点】正比例函数的性质．
【分析】根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，
∴k＞0，
取k=2可得函数关系式y=2x．
故答案为：y=2x．
12．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）
【考点】方差；折线统计图．
【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性
越大，反之也成立．观察图中的信息可知小华的方差较小，故甲的成绩更加稳定．【解答】解：由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，
则S甲2＜S乙2，即两人的成绩更加稳定的是甲．
故答案为：甲．
13．方程x2﹣2x=0的根是
x1=0，x2=2 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
第 13 页 共 28 页 故答案为x1=0，x2=2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm，则EF=
6
cm．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=12cm，再根据中位线的性质可得EF=AB=6cm．
【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴AB=2CD，
∵CD=6cm，
∴AB=12cm，
∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴EF=AB=6cm，
故答案为：6．
15．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1
尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为
x2+52=（x+1）2 ．
第 14 页 共 28 页 【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2，再解即可．
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
则x+1=13，
答：水深12尺，芦苇长13尺，
故答案为：x2+52=（x+1）2．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （5，4） ．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
第 15 页 共 28 页 17．如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为
3 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC=x，则FE=DE=8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．
【解答】解：∵AB=8，S△ABF=24
∴BF=6．
∵在Rt△ABF中，AF=∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣6=4
设EC=x，则EF=DE=8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即（8﹣x）2=x2+42，解得，x=3．
∴CE=3．
故答案为：3．
18．在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC（BC＞AC）经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
AC边向BC边折叠，
（2）如图2，（1）使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是
CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一） ．
第 16 页 共 28 页
=10， 【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．
【解答】解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．
则四边形DECF恰为菱形．
故答案是：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．
三、解方程：（本题共8分，每小题8分）
19．解方程：
（1）2x2﹣3x+1=0．
（2）x2﹣8x+1=0．（用配方法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣3x+1=0，
（2x﹣1）（x﹣1）=0，
2x﹣1=0，x﹣1=0，
x1=，x2=1；
第 17 页 共 28 页 （2）x2﹣8x+1=0，
x2﹣8x=﹣1，
x2﹣8x+16=﹣1+16，
（x﹣4）2=15，
x﹣4=±x1=4+
四、解答题：（本题共18分，21-22每小题4分，23-24每小题4分）
20．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数．（如下表）
每人加工零件54
45
30
24
21
12
数
人
数
1
1
2
6
3
2
，
，x2=4﹣．
（1）写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；
（2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为24件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由．
【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数．
【分析】（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑．
【解答】解：（1）平均数=（件），
将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第8名工人的加工零件数为24件，且零件加工数为24的工人最多，
故中位数为：24件，众数为：24件．
答：这15人该月加工零件数的平均数为26件，中位数为24件，众数为24件．==26（2）24件较为合理，24既是众数，也是中位数，且24小于人均零件加工数，是大多数人能达到的定额．
第 18 页 共 28 页 21．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元，求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
22．如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
BE=DF，【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
第 19 页 共 28 页 ∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，
∴∠3=∠4，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=5．
23．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴解得，
，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．
第 20 页 共 28 页 （2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，
∴•2•x=2，
解得x=2，
∴y=2×2﹣2=2，
∴点C的坐标是（2，2）．
五、解答题：（本大题共20分，25-26题每题6分，27题8分）
24．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
AD=2从而得出AM=DM=（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=【解答】（1）如图1，延长EB交DG于点H，
即可．
，
第 21 页 共 28 页 ∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
在△ADG与△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE；
，
（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM=，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=，
+，
+）=1+．
∵DG=DM+GM=∴S△ADG=DG•AM=（
第 22 页 共 28 页 25．已知：关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2•x1，求这个函数的表达式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线a=2的左侧部分沿直线a=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a的函数y=2a+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围是 ﹣11＜b＜﹣5 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；根的判别式；根与系数的关系；一次函数的性质．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式判断即可；
（2）先根据一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函数函数关系式；
（3）画出新函数的图形和直线y=2a+b，利用图形和直线与y轴的交点坐标即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）是关于x的一元二次方程，
∴△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4＞0，
∴方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）有两个不相等的实数根．
（2）解：由求根公式，得x==．
第 23 页 共 28 页 ∴x=1或x=1﹣．
∵a＞0，x1＞x2，
∴x1=1，x2=1﹣，
∴y=ax2•x1=a×（1﹣）﹣1=a﹣3．
即函数的表达式y=a﹣3（a＞0），
（3）解：如图，直线BD刚好和折线CBA只有一个公共点，再向下平移，就和这些CBA有两个公共点，
继续向下平移到直线CE的位置和直线CBA刚好有1个公共点，再向下平移和这些CBA也只有一个公共点，
由（2）知，函数的表达式y=a﹣3（a＞0），
当a=2时，y=2﹣3=﹣1，
∴B（2，﹣1），
由折叠得，C（4，﹣3），
当函数y=2a+b的图象过点B时，
∴﹣1=2×2+b，
∴b=﹣5，
当函数y=2a+b的图象过点C时，
∴﹣3=2×4+b，
∴b=﹣11，
∴﹣11＜b＜﹣5．
故答案为：﹣11＜b＜﹣5．
第 24 页 共 28 页
26．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为 （1，0） ，矩形ABCD的面积为
8 ；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的第 25 页 共 28 页 坐标从而可求得b的值；
（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=SBEFG+SABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=SABCD﹣SCEF．
【解答】解：（1）令直线y=x﹣4的y=0得：x﹣4=0，解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，0）．
由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，
∴点A的坐标为（1，0）
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，
∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣1，
∴点A的坐标为
（1，0）；
由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，
∴点D的坐标为（﹣3，0）．
∴AD=4．
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×2=8．
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．
∵点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（1，2）
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；1+c=2．
∴c=1．
∴直线MN的解析式为y=x+1．
将y=0代入得：x+1=0，解得x=﹣1，
第 26 页 共 28 页 ∴点E的坐标为（﹣1，0）．
∴BE=∴a=2
==2．
如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．
∵点D的坐标为（﹣3，0），
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
设MN的解析式为y=x+d，将（﹣3，2）代入得：﹣∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=0代入得x+5=0，解得x=﹣5．
∴点F的坐标为（﹣5，0）．
∴b=4﹣（﹣5）=9．
（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．∴s=0．
当3≤t＜5时，如图3所示；
S===；
当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．第 27 页 共 28 页
3+d=2，解得d=5．
由（2）可知点G的坐标为（﹣1，0）．
∴FG=t﹣5．
∴S=SBEFG+SABG=2（t﹣5）+当7≤t≤9时，如图5所示．
=2t﹣8．
FD=t﹣7，CF=2﹣DF=2﹣（t﹣7）=9﹣t．
S=SABCD﹣SCEF=8﹣=．
综上所述，S与t的函数关系式为S=．
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