2024年1月11日发(作者：期中考数学试卷教案模板)
七年级上册压轴题数学考试试卷含答案
一、压轴题
1．已知∠AOB和∠AOC是同一个平面内的两个角,OD是∠BOC的平分线.
(1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD的度数；
(2)若∠AOB=m度,∠AOC=n度,其中0＜m＜90，0＜n＜90，mn＜180且m＜n，求∠AOD的度数(结果用含m、n的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．
2．已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB．
（1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）．
3．如图所示，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数x的值．
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
(3)点A，B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以5个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间．当点A与点B重合时，点P经过的总路程是多少？
4．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，b(a 请你用以上知识解决问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点． （1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置． （2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒． ①当t=2时，求AB和AC的长度； ②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 5．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。 已知：点C在直线AB上，ACa，BCb，且a下面步骤探究线段MC的长度。 （1）特值尝试 若a10，b6，且点C在线段AB上，求线段MC的长度. （2）周密思考： 若a10，b6，则线段MC的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由. （3）问题解决 类比（1）、（2）的解答思路，试探究线段MC的长度（用含a、b的代数式表示）. 6．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，-4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动． b，点M是AB的中点，请按照 （1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是______； （2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 7．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点． （1）求点K的坐标； （2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 8．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC． ①求t的值； ②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由； （2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）． 9．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3． 问题解决： (1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)； (2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t>0)． ①当b=4时，问t为何值时，点A到点B的d追随值d[AB]=2； ②若0 10．如图，数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度 向左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)． 1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______； 2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； 3求当t为何值时，PQAB？ 124若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长． 11．已知：OC平分AOB，以O为端点作射线OD，OE平分AOD. （1）如图1，射线OD在AOB内部，BOD82，求COE的度数. （2）若射线OD绕点O旋转，BODα，（α为大于AOB的钝角），COEβ，其他条件不变，在这个过程中，探究α与β之间的数量关系是否发生变化，请补全图形并加以说明. 12．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ （3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 13．借助一副三角板，可以得到一些平面图形 （1）如图1，∠AOC＝ 度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？ （2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数； （3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数． 14．已知AOD，OB、OC、OM、ON是AOD内的射线． (1)如图1，当160，若OM平分AOB，ON平分BOD，求MON的大小； (2)如图2，若OM平分AOC，ON平分BOD，BOC20，MON60，求． 15．如图，已知数轴上有三点 A，B，C ，若用 AB 表示 A，B 两点的距离，AC 表示 A ，C 两点的 距离，且 BC 2 AB ，点 A 、点C 对应的数分别是a 、c ，且| a 20 | | c 10 | 0 . （1）若点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发向右运动，速度分别为 2 个单位长度/秒、5个单位长度/ 秒，则运动了多少秒时，Q 到 B 的距离与 P 到 B 的距离相等？ （2）若点 P ，Q 仍然以（1）中的速度分别从 A ，C 两点同时出发向右运动，2 秒后，动点 R 从 A点出发向左运动，点 R 的速度为1个单位长度/秒，点 M 为线段 PR 的中点，点 N为线段 RQ的中点，点R运动了x 秒时恰好满足 MN AQ 25，请直接写出x的值. 16．数轴上A、B两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE＝8，点F是AE的中点． （1）如图1，当线段CE运动到点C、E均在A、B之间时，若CF＝1，则AB＝ ，AC＝ ，BE＝ ； （2）当线段CE运动到点A在C、E之间时, ①设AF长为x，用含x的代数式表示BE＝ （结果需化简）； ．．．．．②求BE与CF的数量关系； （3）当点C运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P从点E出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B后，立即以原来一半速度返回，同时点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设它们运动的时间为t秒（t≤8），求t为何值时，P、Q两点间的距离为1个单位长度． 17．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足a6+|2b+12|+（c﹣4）2＝0． （1）求B、C两点的坐标； （2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积； （3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的标． 18．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数______；点P表示的数______（用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ （3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？ （4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 1？直接写出此时点P的坐3 19．如图，直线l上有A、B两点，点O是线段AB上的一点，且OA=10cm，OB=5cm． （1）若点C是线段 AB 的中点，求线段CO的长． （2）若动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，向右运动，点P的速度为4cm/s，点Q的速度为3cm/s，设运动时间为 x 秒， ①当 x=__________秒时，PQ=1cm； ②若点M从点O以7cm/s的速度与P、Q两点同时向右运动，是否存在常数m，使得 4PM+3OQ﹣mOM为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． （3）若有两条射线 OC、OD 均从射线OA同时绕点O顺时针方向旋转，OC旋转的速度为6度/秒，OD 旋转的速度为2度/秒.当OC与OD第一次重合时，OC、OD 同时停止旋转，设旋转时间为t秒，当t为何值时，射线 OC⊥OD？ 20．如图，数轴上有A、B两点，且AB=12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点 (1)若AP=2时，PM=____； (2)若点A表示的数是-5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM=2PM，请求出点F表示的数； (3)若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直向右．．运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM=2PM. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题 1．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°； （2）图1中∠AOD=【解析】 【分析】 （1）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可得解； （2）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m，则∠BOD=∠AOD=∠AOB+∠BOD=nmnm；图2中∠AOD=. 22n﹣m，故2nmnm；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n，则∠BOD=，故22nm. 2∠AOD=∠BOD﹣∠AOB= 【详解】 解：（1）图1中∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=70°﹣50°=20°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1∠BOC=10°， 2∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°； 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1∠BOC=60°， 2∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=60°﹣50°=10°； 且m＜n， （2）根据题意可知∠AOB=m度，∠AOC=n度，其中0＜m＜90，0＜n＜90，mn＜180如图1中， ∠BOC=∠AOC﹣∠AOB=n﹣m， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1n﹣m∠BOC=， 22nm； 2∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=如图2中， ∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD=1nm∠BOC=， 22∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=【点睛】 nm. 2本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑， 切勿遗漏. 2．（1）见解析；（2）∠OQP=180°+【解析】 【试题分析】（1）分下面两种情况进行说明； ①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°， ②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， （2）分两种情况讨论，如图3和图4. 【试题解析】 （1）分两种情况： ①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°， 证明：∵四边形AOBP的内角和为（4﹣2）×180°=360°， ∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO； 1111x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°． 2222 ②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， 证明：延长AP交ON于点D， ∵∠ADB是△AOD的外角， ∴∠ADB=∠PAO+∠AOD， ∵∠APB是△PDB的外角， ∴∠APB=∠PDB+∠PBO， ∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO； （2）设∠MON=2m°，∠APB=2n°， ∵OC平分∠MON， ∴∠AOC=∠MON=m°， ∵PQ平分∠APB， ∴∠APQ=∠APB=n°， 分两种情况： 第一种情况：如图3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°① ∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°， ∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②， ①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°， ∴∠OQP=180°+x°﹣y°； 第二种情况：如图4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO， 即∠OQP+n°=m°+x°， ∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①， ∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO， ∴2n°=2m°+x°+y°②， ①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°， ∴∠OQP=x°﹣y°， 综上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°． 3．(1)x=1;(2) x＝－3或x＝5;(3) 30. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得4－x＝x－（－2），解出x的值； （2）此题分为两种情况，当点P在B的右边时，当点P在B的左边时，分别列出方程求解即可； （3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x＝6＋x进而求出即可. 【详解】 （1）4－x＝x－（－2），解得：x＝1，（2）①当点P在B的右边时得：x－（－2）＋x－4＝8，解得：x＝5，②当点P在B的左边时得：－2－x＋4－x＝8，解得：x＝－3，则x＝－3或x＝5.（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2x＝6＋x，解得：x＝6，则5x＝30，故答案为30个单位长度. 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置. 4．（1）详见解析；（2）①16；②在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变 【解析】 【分析】 （1）根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可； （2）①当t=2时，先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长即可； ②先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长，代入3AC－4AB即可得到结论． 【详解】 （1）A，B，C三点的位置如图所示： ． （2）①当t=2时，A点表示的数为－4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴AB=5－(－4)=9，AC=12－(－4)=16． ②3AC－4AB的值不变． 当移动时间为t秒时，A点表示的数为－t－2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t＋6，则：AC=(3t＋6)－(－t－2)=4t＋8，AB=(2t＋1)－(－t－2)=3t＋3，∴3AC－4AB=3(4t＋8)－4(3t＋3)=12t＋24－12t－12=12． 即3AC﹣4AB的值为定值12，∴在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变． 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题．表示出对应点所表示的数是解答本题的关键． 5．（1）2（2）8或2；（3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据线段之间的和差关系求解即可； （2）由于B点的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论； （3）由（1）（2）可知MC=【详解】 解：解：（1）∵AC=10，BC=6， ∴AB=AC+BC=16， ∵点M是AB的中点， ∴AM=11 (a+b)或 (a-b）. 221 AB 2∴MC=AC-AM=10-8=2． （2）线段MC的长度不只是（1）中的结果， 由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况： ①当B点在线段AC上时， ∵AC=10，BC=6， ∴AB=AC-BC=4， ∵点M是AB的中点， ∴AM=1 AB=2， 2∴MC=AC-AM=10-2=8． ②当B点在线段AC的延长线上， 此时MC=AC-AM=10-8=2． （3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-1 AB 2因为当B点在线段AC的上，AB=AC-BC， 故MC=AC-1111 (AC-BC)= AC+ BC= (a+b) 2222当B点在线段AC的延长线上，AB=AC+BC， 故MC=AC-【点睛】 主要考察两点之间的距离，但是要注意题目中的点不确定性，需要分情况讨论. 6．（1）1；（2）点P运动5秒时，追上点R；（3）线段MN的长度不发生变化，其长度为5. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件得到AB=10，由PA=PB，于是得到结论； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，于是得到AC=6x BC=4x，AB=10，根据AC-BC=AB，列方程即可得到结论； （3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时，求得线段MN的长度不发生变化． 试题解析：解：（1）（1）∵A，B表示的数分别为6，-4， ∴AB=10， ∵PA=PB， ∴点P表示的数是1， （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R（如图） 1111（AC+BC）= AC- BC= (a-b） 2222 则：AC＝6x BC＝4x AB＝10 ∵AC－BC＝AB ∴ 6x－4x＝10 解得，x＝5 ∴点P运动5秒时，追上点R. （3）线段MN的长度不发生变化，理由如下： 分两种情况： 点P在A、B之间运动时： MN＝MP＋NP＝AP＋BP＝（AP＋BP）＝AB＝5 点P运动到点B左侧时： MN＝MP－NP＝AP－BP＝（AP－BP）＝AB＝5 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5. 点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． 7．（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒 【解析】 【分析】 （1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K的坐标； （2）根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S； （3）存在两种情况： ①如图2，当点B在OD上方时 ②如图3，当点B在OD上方时， 过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论． 【详解】 （1）由题意得：PM＝4， ∵K是PM的中点， ∴MK＝2， ∵点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6）， ∴MN∥y轴， ∴K（4，8）； （2）如图1所示，延长DA交y轴于F， 则OF⊥AE，F（0，8﹣t）， ∴OF＝8﹣t， ∴S△OAE＝11OF•AE＝（8﹣t）×2＝8﹣t； 22（3）存在，有两种情况：， ①如图2，当点B在OD上方时， 过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，0）， ∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6， S△OBD＝S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH， ＝＝111OG•BG+（BG+DH）•GH﹣OH•DH， 222111×2（6-t）+×4（6﹣t+8﹣t）﹣×6（8﹣t）， 222＝10﹣2t， ∵S△OBD＝S△OAE， ∴10﹣2t＝8﹣t， t＝2； ②如图3，当点B在OD上方时， 过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H， 则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t）， ∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6， S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG， ＝＝111OH•DH﹣（BG+DH）•GH﹣OG•BG， 222111×2（8-t）﹣×4（6﹣t+8﹣t）﹣×2（6﹣t）， 222＝2t﹣10， ∵S△OBD＝S△OAE， ∴2t﹣10＝8﹣t， t＝6； 综上，t的值是2秒或6秒． 【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 8．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；（3）t＝70秒． 3【解析】 【分析】 （1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可； （2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t； （3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解． 【详解】 （1）①∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°, ∵OP平分∠BOC， ∴∠COP＝1∠BOC＝75°, 2∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°, ∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5； ②是，理由如下： ∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°， ∴OQ平分∠AOC； （2）∵OC平分∠POQ， ∴∠COQ＝1∠POQ＝45°． 2设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t， 由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45， 解得：t＝5， 当30+6t﹣3t＝225，也符合条件， 解得：t＝65， ∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ； （3）设经过t秒后OC平分∠POB， ∵OC平分∠POB， ∴∠BOC＝1∠BOP， 2∵∠AOQ+∠BOP＝90°， ∴∠BOP＝90°﹣3t， 又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t， ∴180﹣30﹣6t＝1（90﹣3t）， 270解得t＝． 3【点睛】 本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键. 9．(1)1＋a或1－a；(2)【解析】 【分析】 (1)根据d追随值的定义，分点N在点M左侧和点N在点M右侧两种情况，直接写出答案即可； (2)①分点A在点B左侧和点A在点B右侧两种情况，类比行程问题中的追及问题，根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可；② 【详解】 解：(1)点N在点M右侧时，点N表示的数是1+a； 点N在点M左侧时，点N表示的数是1-a； (2)①b=4时，AB相距3个单位， 当点A在点B左侧时，t=(3-2)÷(3-1)=当点A在点B右侧时，t=(3+2)÷(3-1)=15或；(3)1≤b≤7. 221， 25； 2②当点B在点A左侧或重合时，即d≤1时，随着时间的增大，d追随值会越来越大， ∵0 ∴1-d+3×(3-1)≤6， 解得d≥1， ∴d=1， 当点B在点A右侧时，即d>1时，在AB重合之前，随着时间的增大，d追随值会越来越小， ∵点A到点B的d追随值d[AB]≤6，∴d≤7 ∴1 综合两种情况，d的取值范围是1≤d≤7. 故答案为(1)1＋a或1－a；(2)①【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题. 10．（1）20,6；（2）43t，162t；（3）t2或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由数轴上两点距离先求得A，B两点间的距离，由中点公式可求线段AB的中点表示的数； （2）点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，向右为正，所以-4+3t； Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t. （3）由题意,PQ15或；②1≤b≤7. 221AB表示出线段长度，可列方程求t的值； 2（4）由线段中点的性质可求MN的值不变． 【详解】 解：1点A表示的数为4，点B表示的数为16， A，B两点间的距离等于41620，线段AB的中点表示的数为故答案为20，6 4166 22点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， 点P表示的数为：43t， 点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 点Q表示的数为：162t， 故答案为43t，162t 3PQ1AB 243t162t10 t2或6 答：t2或6时，PQ1AB 24线段MN的长度不会变化， 点M为PA的中点，点N为PB的中点， PM11PA，PNPB 22 MNPMPN1PAPB 2MN1AB10 2【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键． 11．(1)41°;(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得AOC∠COE=11AOB，AOEAOD，进而可得221AOBAOD，即可得答案；（2）分别讨论OA在∠BOD内部和外部的2情况，根据求得结果进行判断即可. 【详解】 （1）∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB，AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ====11AOBAOD 221AOBAOD 21BOD 21820 2=41° （2）与之间的数量关系发生变化， 如图，当OA在BOD内部， ∵射线OC平分AOB、 射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB,AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ==11AOBAOD 221AOBAOD 2 =1 2 如图，当OA在BOD外部， ∵射线OC平分AOB、射线OE平分AOD， ∴AOC11AOB,AOEAOD， 22∴COEAOCAOE ====11AOBAOD 221AOBAOD 213600BOD 213600 20=1801 2 ∴与之间的数量关系发生变化. 【点睛】 本题考查角平分线的定义，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． 12．（1）﹣14，8﹣5t；（2）2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）点P运动11秒时追上点Q；（4）线段MN的长度不发生变化，其值为11，见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；（2）设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况求t值即可；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可． 【详解】 （1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22， ∴点B表示的数是8﹣22=﹣14， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是8﹣5t． 故答案为：﹣14，8﹣5t； （2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5； ②点P、Q相遇之后， 由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3． 答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB， ∴5x﹣3x=22， 解得：x=11， ∴点P运动11秒时追上点Q； （4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： MN=MP+NP=11111AP+BP=（AP+BP）=AB=×22=11； 22222②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP﹣NP=1111AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=11， 2222∴线段MN的长度不发生变化，其值为11． 【点睛】 本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 13．（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°. 【解析】 【分析】 （1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和； （2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可； （3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF. 【详解】 解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°， ∴∠AOC＝75°， ∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°； 答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°； 故答案为：75； （2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴x+3x+30°＝90°， ∴x＝15°， ∴∠2＝15°， 答：∠2的度数是15°； （3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°， ∵OE为∠BOM的平分线，OF为∠COM的平分线， ∴∠MOF＝11∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°， 22∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°． 【点睛】 本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键. 14．（1）80°；（2）140° 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义得∠BOM=11∠AOB，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得22∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠MON=∠BOM+∠BON，结合三式求解；（2）根据角平分线的定11∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC，22∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解. 【详解】 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， 11∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD， 22义∠MOC=∴∠MON=∠BOM+∠BON=111∠AOB+∠BOD=(∠AOB+∠BOD). 222∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°， ∴∠MON=1×160°=80°； 211∠AOC，∠BON=∠BOD， 22（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠MOC=∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC， 111∠AOC+∠BOD -∠BOC=(∠AOC+∠BOD )-∠BOC. 222∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∴∠MON=11(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=(∠AOD+∠BOC )-∠BOC， 22∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°, ∴∠MON=1(α+20°)-20°, 2∴α=140°. 【点睛】 ∴60°=本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键. 15．（1）【解析】 【分析】 （1）由绝对值的非负性可求出a，c的值，设点B对应的数为b，结合BC 2 AB，求出b的值，当运动时间为t秒时，分别表示出点P、点Q对应的数，根据“Q到B的距离与P到B的距离相等”列方程求解即可； （2）当点R运动了x秒时，分别表示出点P、点Q、点R对应的数为，得出AQ的长， 由中点的定义表示出点M、点N对应的数，求出MN的长．根据MN+AQ=25列方程，分三1014114秒或10秒；（2）或． 71313 种情况讨论即可． 【详解】 （1）∵|a-20|+|c+10|=0， ∴a-20=0，c+10=0， ∴a=20，c=﹣10． 设点B对应的数为b． ∵BC=2AB，∴b﹣（﹣10）=2（20﹣b）． 解得：b=10． 当运动时间为t秒时，点P对应的数为20+2t，点Q对应的数为﹣10+5t． ∵Q到B的距离与P到B的距离相等， ∴|﹣10+5t﹣10|=|20+2t﹣10|， 即5t﹣20=10+2t或20﹣5t=10+2t， 解得：t=10或t=答：运动了10． 710秒或10秒时，Q到B的距离与P到B的距离相等． 7 （2）当点R运动了x秒时，点P对应的数为20+2（x+2）=2x+24，点Q对应的数为﹣10+5（x+2）=5x，点R对应的数为20﹣x，∴AQ=|5x﹣20|． ∵点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点， ∴点M对应的数为点N对应的数为∴MN=|2x2420x44x=， 2220x5x2x+10， 244x﹣（2x+10）|=|12﹣1.5x|． 2∵MN+AQ=25，∴|12﹣1.5x|+|5x﹣20|=25． 分三种情况讨论： ①当0＜x＜4时，12﹣1.5x+20﹣5x=25， 解得：x=14； 1366＞8，不合题意，舍去； 7114． 1314114或． 1313当4≤x≤8时，12﹣1.5x+5x﹣20=25， 解得：x=当x＞8时，1.5x﹣12+5x﹣20=25， 解得：x综上所述：x的值为 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．（1）16,6,2；（2）①162x②BE2CF；（3）t=1或3或【解析】 【分析】 (1)由数轴上A、B两点对应的数分別是-4、12，可得AB的长;由CE＝8，CF＝1，可得EF的长，由点F是AE的中点，可得AF的长，用AB的长减去2倍的EF的长即为BE的长； (2)设AF＝FE＝x，则CF＝8-x，用含x的式子表示出BE，即可得出答案 (3)分①当0＜t≤6时； ②当6＜t≤8时，两种情况讨论计算即可得解 【详解】 （1）数轴上A、B两点对应的数分别是-4、12， ∴AB=16， ∵CE=8，CF=1，∴EF=7， ∵点F是AE的中点，∴AF=EF=7， ,∴AC=AF﹣CF=6，BE=AB﹣AE=16﹣7×2=2， 故答案为16，6，2； (2)∵点F是AE的中点，∴AF=EF， 设AF=EF=x,∴CF=8﹣x， ∴BE=16﹣2x=2（8﹣x）， ∴BE=2CF. 故答案为①162x②BE2CF； (3) ①当0＜t≤6时，P对应数：-6+3t，Q对应数-4+2t， 4852或 77PQ=﹣＋42t﹣（﹣6＋3t）=2﹣t=1， 解得：t=1或3； ②当6＜t≤8时，P对应数1233t6＝21t ， Q对应数-4+2t， 2237PQ=﹣＋42t﹣（21t）=25﹣t=1， 22解得：t=4852或； 77故答案为t=1或3或【点睛】 4852. 或77本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关健 17．（1）B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）（2）S△OPM＝4t或S△OPM＝﹣ 3t+21（3）当t为2秒或83131秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的坐33标是（0，﹣4）或（，﹣6） 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值、平方和算术平方根的非负性，求得a，b，c的值，即可得到B、C两点的坐标； （2）分两种情况：①P在OB上时，直接根据三角形面积公式可得结论；②P在BC上时，根据面积差可得结论； （3）根据已知条件先计算三角形OPM的面积为8，根据（2）中的结论分别代入可得对应t的值，并计算此时点P的坐标． 【详解】 （1）∵a6|2b+12|+（c﹣4）2=0，∴a+6=0，2b+12=0，c﹣4=0，∴a=﹣6，b=﹣6，c12t×4=4t； 2=4，∴B点坐标为（0，﹣6），C点坐标为（4，﹣6）． （2）①当点P在OB上时，如图1，OP=2t，S△OPM②当点P在BC上时，如图2，由题意得：BP=2t﹣6，CP=BC﹣BP=4﹣（2t﹣6）=10﹣2t，DM=CM=3，S△OPM=S长方形OBCD﹣S△0BP﹣S△PCM﹣S△ODM=6×41116×（2t﹣6）3×（10﹣2t）4×3=﹣3t+21． 222（3）由题意得：S△OPM11S长方形OBCD（4×6）=8，分两种情况讨论： 33①当4t=8时，t=2，此时P（0，﹣4）； ②当﹣3t+21=8时，t13261888，此时P（，﹣6）． ，PB=2t﹣633333131秒时，△OPM的面积是长方形OBCD面积的．此时点P的33综上所述：当t为2秒或坐标是（0，﹣4）或（8，﹣6）． 3 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，还考查了绝对值、平方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． 18．（1）-12,8-5t；（2）【解析】 【分析】 (1)根据已知可得B点表示的数为8﹣20；点P表示的数为8﹣5t； (2)运动时间为t秒，分点P、Q相遇前相距2，相遇后相距2两种情况列方程进行求解即可； (3)设点P运动x秒时追上Q，根据P、Q之间相距20，列方程求解即可； (4)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可． 【详解】 (1)∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20， ∴点B表示的数是8﹣20=﹣12， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒， ∴点P表示的数是8﹣5t， 故答案为﹣12，8﹣5t； (2)若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2； 分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得3t+2+5t=20，解得t=②点P、Q相遇之后， 由题意得3t﹣2+5t=20，解得t=答：若点P、Q同时出发，911或；（3）10；（4）MN的长度不变，值为10. 449； 411， 4911或秒时P、Q之间的距离恰好等于2； 44(3)如图，设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 则AC=5x，BC=3x， ∵AC﹣BC=AB， ∴5x﹣3x=20， 解得：x=10， ∴点P运动10秒时追上点Q； (4)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： 1111AP+BP=(AP+BP)=AB=10， 2222②当点P运动到点B的左侧时： MN=MP+NP= 1111AP﹣BP=(AP﹣BP)=AB=10， 2222∴线段MN的长度不发生变化，其值为10． 【点睛】 MN=MP﹣NP=本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 19．（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5 【解析】 【分析】 （1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可； （2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可； ②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm． ∵点C是线段 AB 的中点，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）． （2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16． ②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解得：m=3，此时定值为55． （3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t-2t=90，解得：t=22.5； ②如图2，根据题意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5． 综上所述：当t=22.5秒和67.5秒时，射线 OC⊥OD． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是分类讨论． 20．(1)5 ；(2)点F表示的数是11.5或者-6.5；(3)t【解析】 【分析】 12或t6. 7（1）由AP=2可知PB=12-2=10，再由点M是PB中点可知PM长度； （2）点P运动3秒是9个单位长度，M为PB的中点，则可求解出点M表示的数是2.5，再由FM=2PM可求解出FM=9，此时点F可能在M点左侧，也可能在其右侧； （3）设Q运动的时间为t秒，由题可知t=4秒时，点P到达点A，再经过4秒点P停止运动；则分0t4和4t8两种情况分别计算，由题可知即可QM=2PM=BP，据此进行解答即可. 【详解】 (1)5 ； (2)∵点A表示的数是5 ∴点B表示的数是7 ∵点P运动3秒是9个单位长度，M为PB的中点 1PB=4.5，即点M表示的数是2.5 2∵FM=2PM ∴FM=9 ∴点F表示的数是11.5或者-6.5 ∴PM=(3)设Q运动的时间为t秒， 当0t4时，由题可知QM=2PM=BP，故点Q位于点P左侧， 则AB=AQ+QP+PB，而QP=QM-PM=2PM-PM= t=11BP，则可得12=2.5t+3t+3t=7t，解得2212； 7当4t8时，由题可知QM=2PM=BP，故点Q位于点B右侧， 则PB=2QB， 则可得，123t422.5t12，整理得8t=48，解得t6. 【点睛】 本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，第3问要根据题干条件分情况进行讨论，作出图形更易理解.
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长度,表示,数轴,线段
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