历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

2023年12月11日发(作者：深圳中考数学试卷简单吗)

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

希望杯全国中学生数学竞赛，简称希望杯，是全国性的高中生数学竞赛，目的是提高中学生的数学水平，发现和培养数学人才。该竞赛创立于1991年，得名于中国社会四大精神家之一的邓小平主席“希望工程”，每年都举办。

历届希望杯的试题融合了中外数学思想和实际应用，难度逐年增加，不仅考查了学生的基本数学素养，还着重考察了学生的解题能力、创新能力和数学思维，具有普及性和挑战性。

以2020年的希望杯高中组试题为例，该试题分为两个部分：第一部分是选择题，共8题，每题4分，答错不扣分；第二部分是非选择题，共4道大题，每题20分。

其中，在选择题部分，第4题和第8题具有代表性。第4题是一道比较经典的组合数学问题，给定$n$个线性方程和$n$个变量，每个方程只含有两个变量，求解是否可能使得每个方程恰好有一个解。此题除了需要运用组合数学的内容，在解决思路上也需要考虑细节，属于比较考验学生的解题能力的题目。而第8题则是一道难度较大的几何题目，给定三角形$ABC$，在弧$BC$上选取点$D$，$E$，在弧$AC$上选取点$F$，$G$，证明直线$BD$，$FG$，$CE$三线共点。此题需要学生在几何知识的基础上，结合创新思维解题，考验学生的应用数学、几何证明能力以及数学思维和想象力。

在非选择题部分，第1题和第2题也是有代表性的。第1题是一道较为基础的集合论问题，设$A$，$B$，$C$为任意三个集合，求证$Acap(B-C)=(Acap B)-(Acap C)$。第2题则是一道挑战性较大的数学分析问题，对以$2pi$为周期的函数$f(x)$，给定$p>1$，若$nin N^*$，则有$int_{0}^{2pi}f(nx)dx=0$，求证$int_{0}^{2pi}left| f(x)right|^pdx=kint_{0}^{2pi}left|

f\'(x)right|^pdx$，其中$k$是$p-1$次多项式，且系数为常数。

不难看出，历届希望杯的试题不仅考察了学生基础知识的掌握程度，还注重有挑战性和启发性的思维题目。竞赛的考试方法和试卷构成，培养了学生运用基础知识进行综合运用、创新思维等方面的能力，不仅考察了学生成果，也加强了对学生动机和素养的考察，对学生们的成长和发展具有积极的促进作用。