2023年12月2日发(作者：宁波小升初数学试卷及答案)

大学数学期末高等数学试卷（计算题）

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分)

1、(本小题5分)

求2、(本小题5分)

xdx.22(1x)

3、(本小题5分)

xx312x16求极限　lim3x22x9x212x4

求极限limarctanxarcsin1x

4、(本小题5分)

求5、(本小题5分)

xdx.1x

d求dxx201t2dt．

6、(本小题5分)

7、(本小题5分)

求cot6xcsc4xdx.

求218、(本小题5分)

11cosdx．2xx

9、(本小题5分)

30t2dyxecost设确定了函数yy(x),求．2tdxyesint

求x1xdx．10、(本小题5分)

11、(本小题5分)

求函数　y42xx2的单调区间

20求12、(本小题5分)

13、(本小题5分)

sinxdx．8sin2x

设　x(t)ekt(3cost4sint)，求dx．

设函数yy(x)由方程y2lny2x6所确定,求14、(本小题5分)

15、(本小题5分)

dy．dx

求函数y2exex的极值

16、(本小题5分)

(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限limx(10x1)(11x1)

求

二、解答下列各题

cos2xdx.1sinxcosx

第1页，共7页 (本大题共2小题，总计14分)

1、(本小题7分)

2、(本小题7分)

某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

x2x3求由曲线y和y所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28

设f(x)x(x1)(x2)(x3),证明f(x)0有且仅有三个实根.

三、解答下列各题

( 本 大 题6分 )

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分)

1、(本小题3分)

2、(本小题3分)

x(1x2)2dx

21d(1x)2(1x2)2

11c.221x

3x212解:原式lim2x26x18x12

6x　　　limx212x18

　　　2

3、(本小题3分)

因为arctanx2而limarcsinx故limarctanxarcsinx4、(本小题3分)

10x

10x

5、(本小题3分)

6、(本小题4分)

x1xdx

1x1dx1x

dxdx1x

xln1xc.

原式2x1x4

64cotxcscxdx

第2页，共7页

cot6x(1cot2x)d(cotx)11cot7xcot9xc.79

7、(本小题4分)

11原式1cosd()xx

1

8、(本小题4分)

21sinx21

9、(本小题4分)

2dye2t(2sintcost)解：　　dxet(cost22tsint2)

et(2sintcost)　　　　　(cost22tsint2)

令　1xu

原式2(u4u2)du1

10、(本小题5分)

uu2)153

11615

2(53函数定义域(,)

y22x2(1x)当x1，y0

,1当x1，　y0函数单调增区间为11、(本小题5分)

1,

当x1，y0函数的单调减区间为原式20dcosx9cos2x

12、(本小题6分)

13cosx2ln63cosx0

1ln2

6

dxx(t)dt

13、(本小题6分)

　ekt(43k)cost(4k3)sintdt

2yy2y6x5y

14、(本小题6分)

3yx5y2y1

定义域(，),且连续

第3页，共7页

15、(本小题8分)

1y2ex(e2x)2

11驻点：xln22

由于y2exex0

11故函数有极小值,,y(ln)2222

16、(本小题10分)

1111(1)2(2)2(3)2(10)2xxxx原式limx11(10)(11)xx

101121610117

2

cos2xcos2xdxdx1sinxcosx11sin2x2

d(1sin2x1)211sin2x2

1ln1sin2xc2

解:二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分)

1、(本小题5分)

设晒谷场宽为x,则长为L2x512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题8分)

512　　(x0)x

512L22　　　唯一驻点　x16x

1024L30　　　即x16为极小值点x

512故晒谷场宽为16米,长为32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

x2x3解:　,8x22x3　x10,x14.28

2344x4xx2x62Vx()()dx()dx0084642

三、解答下列各题

11117(x5x)456470

1151244()5735

第4页，共7页

4( 本 大 题10分 )

证明:f(x)在(,)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.又f(0)f(1)f(2)f(3)0

则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在

1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,

由上述f(x)有且仅有三个实根

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分）

1、e 2、k =1 ． 3、6x 4、y1 5、f(x)2cos2x

1x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

三．计算题（本题共56分，每小题7分）

1.解：limx0x12x14x2limlim

x0sin2xsin2x(4x2)2x0sin2x(4x2)811ex1xex1ex12.解 ：lim(x

)limlimlimx0xe1x0x(ex1)x0ex1xexx0exexxex2cosx23、解：

limtedt1x0x21sinxecoslimx02x(111x22x1

2e11x24、解：

yx1x2)

1dy1t21 5、解：2tdx2t1t2dyddy()2dtdxdx2dxdt122t1t23

2t4t21t6、解：1212212sin(3)dxsin(3)d(3)cos(3)C

x2x2x32x

第5页，共7页 7、 解：

xx

ecosxdxcosxdeexcosxexsinxdxexcosxsinxdex

excosxexsinxexcosxdx

ex(sinxcosx)C

8、解：20f(x1)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx…

1101011dxdx01x

11ex0ex1(1)dxln(1x)

x011e01ln(1e)x01ln2

1ln(1e1)ln(1e)

四． 应用题（本题7分）

22解：曲线yx与xy的交点为（1，1），

于是曲线yx与xy所围成图形的面积A为

22212112

A(xx)dx[x2x]0

3330A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

13y2y5324

V(y)ydy50102011五、证明题（本题7分）

证明： 设F(x)f(x)x，

显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导，

且

F()12121210，F(1)10.

2

第6页，共7页 由零点定理知存在x1[,1]，使F(x1)0.

由F(0)0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

12(0,x1)(0,1)，使F()f()10，即f()1 …

第7页，共7页


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