高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

2024年3月7日发(作者：杭州统考初中数学试卷类型)

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式

1. 数列的概念

数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第

n 个数。

2. 数列的通项公式

数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。

3. 数列的递推公式

数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。

4. 常见数列的通项公式和递推公式

- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d

（递推公式）

- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q

（递推公式）

- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）

二、2-3数列的求和、数列的性质及应用

1. 数列的求和

- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2

- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

- 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 1

2. 数列的性质

- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。

- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。

- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。

- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。

- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。

- 正项数列：数列中的每一项都是正数。

- 负项数列：数列中的每一项都是负数。

3. 数列的应用

- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。

- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。

- 利用数列的规律，设计算法解决问题。

典型例题：

1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。

解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：

a2 = a1 + d = 1 + d

a3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d

将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：

a1 = a = 1

a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4

a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9

所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n

- 3

第 n 项的值为：an = 4n - 3

2. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。

解：该等差数列的首项为 a = 3，公差为 d = 6 - 3 = 3。

前 n 项和的公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2

代入 a1 = 3，an = 101，n 为任意正整数，可得：

Sn = (3 + 101) * n / 2 = 104n / 2 = 52n

所以等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和为 52n。

以上便是高中数学选修2-2 和 2-3的知识点、考点和典型例题的介绍。掌握了这些知识，我们可以理解数列的概念，求解数列的通项公式和递推公式，计算数列的前 n 项和，应用数列的性质解决问题。希望对你的学习有所帮助！