2023年12月3日发(作者：广西南宁中考数学试卷答案)

2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．不等式x1x3＞０的解集为

 A．｛ｘ｜ｘ＜１｝ B．｛ｘ｜ｘ＞３｝ C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是

Ａ．３π

 Ｂ．３3π

Ｃ．6π Ｄ．９π

２3．极坐标方程ρｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是

A．两条相交直线B．圆 C．椭圆 D．双曲线

4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是

 A．（０，12） Ｂ．（０，12] Ｃ．（1Z12，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）

5．已知复数ｚ＝2A．36i，则ａｒｇ53是

6 Ｂ．－ｘ Ｃ． Ｄ．1161

6．函数ｙ＝２＋１（ｘ＞０）的反函数是

1x11x1A．ｙ＝ｌｏｇ２ Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２7．若０＜α＜β＜4，ｘ∈（１，２）； Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）； Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２x11x1，ｘ∈（１，２）

，ｘ∈（１，２]

，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则

A．ａ＞ｂ  Ｂ．ａ＜ｂ

Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞2

8．在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为

 A．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°

9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是

①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；

②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；

③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；

④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减

A． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④

２10．对于抛物线ｙ＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是

A．（－∞,０） B．（－∞,２）  C．［０,２］ D．（０,２）

11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

A．P３＞P２＞P１

Ｂ．P３＞P２＝P１Ｃ．P３＝Ｐ２＞Ｐ１

Ｄ．P３＝P２＝P１

12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为

A．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)

13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能(用数字作答)

14．双曲线x29y2161的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为

15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝

16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

２２17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＋２ｃｏｓｘ的最小正周期．

18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０．

(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；

(Ⅱ)求lim(n1S11S21Sn)

19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，

∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝12．

(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

２20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[,]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?

342321．(本小题满分14分)已知椭圆x22y21的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相

交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴求证直线AC经过线段EF的中点．

22．(本小题满分14分)设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０，12］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．

(Ⅰ)求ｆ(),f()；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋241112n），求lim(lnan)．

n2001年广东普通高等学校招生统一考试数学试题参考答案

一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D

二、填空题13.4900 14.165 15.1 16.2n(n-1)

三、解答题

２２２17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＋２ｃｏｓｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓｘ

＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２＝2sin(2x)2 8分

4所以最小正周期Ｔ＝π． 10分

18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，

则a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０．

由已知有a+3a=2×４，解得首项a１＝ａ＝２，

公差d=a２－ａ１＝２． 2分

代入公式Sｋ＝ｋ·ａ１＋２k(k1)2d得k2k(k1)222550

∴ｋ＋ｋ－２５５０＝０解得k=50,k=-51(舍去)

∴a=2,k=50. 6分

(Ⅱ)由Snna11S11S21Snn(n1)2d得Sｎ＝ｎ（ｎ＋１），

112123n1111111(-)(-)(-)1

n1n(n1)1223nn11

lim(n1S11S21Sn)lim(11n134)1 12分

19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

M底面=(BCAD)AB=21313110.52341 2分

∴四棱锥S—ABCD的体积是

VSAM底面114 4分

(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分

∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ

∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.

又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ，

所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分

∵ＳＢ＝SAAB222,BC1,BCSB ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22BCSB22

即所求二面角的正切值为 12分

２20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ＝４８４０ 1分

设纸张面积为S，则有

２Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分

将ｘ＝2210代入上式得

5) 5分

Ｓ＝５０００＋４４10(8当８5,即55(1)时，S取得最小值，

88此时，高：ｘ＝如果λ∈［484088cｍ，宽：λｘ＝588855ｃｍ 8分

2323，可设12，则由S的表达式得

,］34345Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４10(815825) =4410(12)(812112)

由于12因此Ｓ（λ2358,故85120

23,］内单调递增.

34１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S（λ）在区间［从而，对于λ∈［223,］，当λ＝时，S（λ）取得最小值

334答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［223,］,当λ＝时，所334用纸张面积最小. 12分

21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(32，0) 3分

若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１），

∴AC中点为N(32，0)，即AC过EF中点N.

若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．

记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程

x22k(x1)1

２２２２22即（１＋２ｋ）ｘ－４ｋｘ＋２（ｋ－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝又ｘ２１4k2212k,x1x22(k21)212k １０分

＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－32≠０，

故直线AN，CN的斜率分别为

ｋ１＝y1x1322k(x11)2x13

k2y22322k(x21)

∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·(x11)(x21)(2x13)2x1322

∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４

＝112k2[12k24(k1)4(12k)]0

∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线.

所以，直线AC经过线段EF的中点N.

14分

22.(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，12］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,所以 f(x)f(xx22)f(x2)f(x2)0,x[0,1]f(1)f(1212)f(12)f(12)[f(122)]

f(11111122)f(44)f(4)f(4)[f(4)]ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分

∴f(11)a2,f(1124)a4 6分

(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，

故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R

又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，

∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，

将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ

这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分

（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］

∵f(1112)f(n2n)f[12n(n1)2n]f(12n)f[(n1)12n]

f(12n)f(12n)f(12n)[f(1n2n)]

f(11)a2 ∴f(11)a2n22n 12∵ｆ（ｘ）的一个周期是2

1∴ｆ（２ｎ＋12n）=ｆ（12n）,因此an=a2n

lim(lna1nn)lim(2nlna)0 14n分

分


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