2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

2023年12月11日发(作者：五四版四年级下册数学试卷)

2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则

{x|x0} R {x|x1} 

2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A.1

4 B.π8

C．

1

2 D.π4

3.设有下面四个命题

1p1：若复数z满足R，则zR；

z

p2：若复数z满足z2R，则zR；

p4：若复数zR，则zR.

p3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2；

其中的真命题为

A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4

4.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为

A.1 B.2 C.4 D.8

5．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是

A.[2,2]

6．(1 B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]

1)(1x)6展开式中x2的系数为

2x B.20 C.30 D.35 A.15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A.10

B.12 C.14 D.16 2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

B.A>1 000和n=n+2

D.A1 000和n=n+2

A.A>1 000和n=n+1

C.A1 000和n=n+1

9.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π)，则下面结论正确的是

3A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C2

6π个单位12B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移长度，得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的长度，得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的长度，得到曲线C2

1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位21210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A.16 B.14 C.12 D.10

11．设xyz为正数，且2x3y5z，则

A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N

：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A.440 B.330 C.220 D.110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= _____________ .

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x2y114.设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为_____________ .

xy0x2y215．已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆Aab与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为_____________ .

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____________ .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都须作答.第22、23题为选考题，考生据要求作答.

（一）必考题：共60分.

a217．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90o.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.

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19.（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.26

10.12

9.91

9.96 9.96 10.01

9.22

9.92 9.98 10.04

9.95

210.13 10.02 10.04 10.05

xi9.97，经计算得x其中xis(xix)(xi16x2)20.212，16i116i116i1为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是用样本平均数x作为的估计值ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，用剩下的数据估计和否需对当天的生产过程进行检查？剔除(（精确到0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

20.（12分）

33x2y2已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）22ab中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B斜率的和为–1，证明：l过定点.

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21.已知函数（fx)ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）讨论f(x)单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

ysin,xa4t,（t为参数）.

y1t,（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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2017年高考全国1卷理科数学参考答案

题号

答案

1

A

2

B

3

B

4

C

5

D

6

C

7

B

8

D

9

D

10

A

11

D

12

A

13.

23 14.-5 15．23 16．415

317.解：（1）由题意可得SABC1a2，化简可得2a23bcsin2A，根据正弦定理bcsinA23sinA化简可得：2sin2A3sinBsinCsin2AsinBsinC2.

32sinBsinC123（2）由，cosAcosABsinBsinCcosBcosCA123cosBcosC6因此可得B3C，将之代入sinBsinC23中可得：331C,B，利sinCsinCsinCcosCsin2C0，化简可得tanC366223用正弦定理可得ba31sinB3，同理可得c3，

sinA322故而三角形的周长为323.

18．解：（1）QAB//CD,CDPDABPD,又ABPA,PAPDP,PA、PD都在平面PAD内，故而可得ABPAD.又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD.

（2）不妨设PAPDABCD2a，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P0,0,2a,Auuur因此可得PAuuur2a,0,2a,PB2a,2a,uuur2a,PC2a,0,0,B2a,2a,2a，假设平面2a,2a,0,C2a,2a,0，uruurPAB的法向量n1x,y,1，平面PBC的法向量n2m,n,1，故而可得 uruuururn1PA2ax2a0x1，即n11,0,1，同理可得ruuurun1PB2ax2ay2a0y0uuruuurn2PC2am2an2a0m0uur2。因此法向量夹角余弦值：uruuuru2，即n20,2,1n2PB2am2an2a0n22019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

uruurcosn1,n2123233.很明显，这是个钝角，故而可得余弦为.

3319解：（1）PX11PX010.99741610.95920.0408

由题意可得，X满足二项分布X~B16,0.0016，因此可得EX16,0.0016160.00160.0256

（2）○1由（1）可得PX10.04085%，属于小概率事件，故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查.

µ9.97,µ0.212µ3µ9.334,µ3µ10.606，故而在9.334,10.606○2由题意可得范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查.此时：x9.97169.2210.02，

15115xx0.09.

15i120.解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，33）不可能同时在椭圆上，P3（–1，），22P4（1，333）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，），P4（1，），22213x2代入椭圆方程可得：b1,21a2，故而可得椭圆的标准方程为：y21.

4a4（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为：ykx1,P2B为： 2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

ykx122y1kx1.联立x24k1x8kx0，假设Ax1,y1，Bx2,y2此时可2y14得：

28k14k281k141kA2,2,，此时可求得直线的斜率为：

,B224k14k141k141k1141kkABy2y1x2x181k14k22241k14k18k2241k14k12，化简可得kAB112k2，此时满足k1.

2○1当k1时，AB两点重合，不合题意.

2118k14k2○2当k时，直线方程为：y，即x22224k14k112k4ky24k1x212k，当x2时，y1，因此直线恒过定点2,1.

21. 解：（1）对函数进行求导可得f\'x2ae2xa2ex1aex1ex1.

○1当a0时，f\'xaex1ex10恒成立，故而函数恒递减

○2当a0时，f\'xaex1ex10xln11，故而可得函数在,ln上aa单调递减，在ln1,上单调递增.

a11lna1，要使得函数aa（2）函数有两个零点，故而可得a0，此时函数有极小值fln有两个零点，亦即极小值小于0，故而可得lna数进行求导即可得到g\'a1110a0，令galna1，对函aaa10，故而函数恒递增，又g10，2agalna

110a1，因此可得函数有两个零点的范围为a0,1.

a 2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

x222．解：将曲线C 的参数方程化为直角方程为y21，直线化为直角方程为911yx1a

441313yx（1）当a1时，代入可得直线为yx，联立曲线方程可得：44

44x29y2921x25或x3，故而交点为21,24或，解得3,0

252524y0y253cos4sina411x3cos,（2）点到直线yx1a的距离为d17，即：ysin,44173cos4sina417，化简可得17a43cos4sin17a4，根据辅助角公式可得13a5sin21a，又55sin5，解得a8或者a16.

x12x23．解：将函数gxx1x1化简可得gx21x1

2xx1（1） 当a1时，作出函数图像可得fxgx的范围在F和G点中间，联立y2x2yxx4可得点G171，,1712因此可得解集为1,171.

2（2）即fxgx在1,1内恒成立，故而可得x2ax42x22ax恒成立，据图像可得：函数yax须在l1,l2之间，故而可得1a1.