2024年3月15日发(作者：高考数学试卷全国卷2讲解)
精心整理
初二数学经典题型
1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15．求证：△PBC是正三角形．
证明如下。
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又
PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
ADQ，连接PQ，则
AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，
-15°=75°。
A
P
D
那么∠
0
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△
2.已知：如图，在四边形
＝∠F．
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)
同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形
AB的一半．
M、O、N，
A
M
B
点P到边AB的距离等于
证明：分别过
N C
ACDE和正方形CBFGD ，点P是EF的中点．求证：
E
B
ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交
ABC是正三角形。
C
MN于E、F．求证：∠DEN
F
E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为
在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底
所以PQ为梯形MEFN中位线，
所以PQ＝（ME＋NF）/2
又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B＝角Rt＝角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC（同理）
所以EM＝AO，0B＝NF
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．
E；连接BE 过点P作DA的平行线，过点
因为DP//AE，AD//PE
所以，四边形AEPD为平行四边形
A
A作DP的平行线，两者相交于点
A
D
G
C
E
P
Q
B
F
所以，∠PDA=∠AEP
已知，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形
而，四边形
AEPD为平行四边形，所以：
ABCD为平行四边形，所以：
PE//AD，且PE=AD
AD//BC，且AD=BC
页脚内容
B
D
P
C
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所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
Q点，连接PQ ?解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
A
P
D
所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√(5＋2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为
解：设小水管进水速度为
由题意得：
解之得：
V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口
t分。求两根水管各自注水的速度。
x，则大水管进水速度为4x。
径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间
CQA＝90°
BPA＝∠BQC＝135°
B
C
vv
x
2x8x
5v
8t
x
5v
8t
t
经检验得：
是原方程解。
∴小口径水管速度为
5v
8t
，大口径水管速度为
5v
2t
。
（－2，
-
M
7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
为坐标平面上一动点，
1
），且
P
（
-1
，－2）为双曲线上的一点，
A
、
B
．
Q
PA
垂直于
x
轴，
QB
垂直于
y
轴，垂足分别是
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点
Q
在直线
MO
上运动时，直线
点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点
Q
在第一象限中的双曲线上运动时，作以
周长的最小值．
页脚内容
MO
上是否存在这样的点
Q
，使得△
OBQ
与△
OAP
面积相等？如果存在，请求出
OP、OQ
为邻边的平行四边形
OPCQ
，求平行四边形
OPCQ
...
y
y
解：（1）设正比例函数解析式为
y
（
2
，
1
）坐标代入得
k=
kx
，将点
M
1
，所以正比例函数解析式为
y=
1
x
B
Q
同样可得，反比例函数解析式为
A
O
y=
2
x
x
（2）当点
Q
在直线
DO
上运动时，
M
设点
Q
的坐标为
Q(m，
1
m)
，
P
2
于是
S=
1111
2
△
OBQ
图
2
OB?BQ
2
创
2
mm=
4
m
，
而
S
1
△
OAP
=
2
(-1)?(2)=1
，
所以有，
1
4
m
2
=1
，解得
m2
所以点
Q
的坐标为
Q
1
(2，1)
和
Q
2
(-2，-1)
（3）因为四边形
OPCQ
是平行四边形，所以
OP
＝
CQ
，
OQ
＝
PC
，
而点
P
（
1
，
2
）是定点，所以
OP
的长也是定长，所以要求平行四边形
值．
因为点
Q
在第一象限中双曲线上，所以可设点
Q
的坐标为
Q(n
，
2
n
)
，
由勾股定理可得
OQ
2
=n
2
+
42
2
n
2
=(n-
n
)+4
，
所以当
(n-
2
2
2
2
n
)=0
即
n-
n
=0
时，
OQ
有最小值4，
又因为
OQ
为正值，所以
OQ
与
OQ
2
同时取得最小值，
所以
OQ
有最小值2．
由勾股定理得
OP
＝
5
，所以平行四边形
OPCQ
周长的最小值是
8.如图，
P
是边长为1的正方形
ABCD
对角线
AC
上一动点（
P
与
A
、
C
不重合），点
（1）求证：①
PE=PD
；②
PE
⊥
PD
；
（2）设
AP
=
x
,△
PBE
的面积为
y
.
①求出
y
关于
x
的函数关系式，并写出
x
的取值范围；
②当
x
取何值时，
y
取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
①∵四边形
ABCD
是正方形，
AC
为对角线，
∴
BC=DC
,∠
BCP
=∠
DCP=
45°.
∵
PC
=
PC
，
∴△
PBC
≌△
PDC
（SAS）.
∴
PB
=
PD
，∠
PBC
=∠
PDC
.
又∵
PB
=
PE
，
∴
PE
=
PD
.
②（i）当点
E
在线段
BC
上(
E
与
B
、
C
不重合)时，
∵
PB
=
PE
，
...
2
B
Q
2
A
O
x
M
C
P
图
OPCQ
周长的最小值就只需求
OQ
的最小
E
在射线
BC
上，且
PE=PB
.
A
D
P
1
H
2
B
C E
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存在,水管,函数,容器,平行四边形,速度
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