数学中的悖论

2023年12月10日发(作者：今年甘肃平凉中考数学试卷)

悖论常识

数学中有许多著名的悖论，有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的.

There are many famous paradox in mathematics, Cantor maximum cardinality paradox,

bharara -- maximum number paradox, Richard\'s paradox Forti paradox, F Passos\'s paradox,

base set etc.. The history of mathematics of the crisis, the contradiction that logic

based endanger the whole theoretical system in the development of mathematics. The

fundamental contradiction can expose the limitations given stage of development of

mathematical logic based system, encourage people to overcome this limitation, so as

to promote the development of mathematics. Three times of crisis in the history of

mathematics is caused by mathematical paradox.

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。同时又带动了整个数学的发展，这便是数学悖论。

Mathematical paradox is a paradox, occurring mainly in mathematics study. According

to the general definition of paradox, the mathematical paradox, refers to occur both

mathematical specification can not solve the contradiction between the knowledge in

the field of mathematics, this contradiction can be resolved in the mathematical

specification of the new. At the same time also drives the development of the whole

mathematics, it is mathematics paradox.

几个小悖论

伽利略悖论Galileo\'s paradox

每个人都知道“整体大于部分”这个事实，而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。众所周知：1，4，9，16，„ ，„是自然数全体的一部分，或者说开方数的个数比自然数的个数要少些，一般人认为这是真理。首先对这事实怀疑的是伽利略，他利用关于数学上的“相等”这种方法，发现自然数的集合1，2，3，„与其平方数之集12，22，32，„可以建立一一对应关系，因此从个数上来说它们应当相等。

事实上，公理“整体大于部分”是从事物的有限量上总结出来的，而且仅适用于有限量，因此当被研究的对象是无限领域时，这条公理就失效了。

分球定理

如果有人说，你能将一个地球那么大的东西分解成若干（有限）个部分，然后将这些部分分别经过多次旋转或者平移（都是刚性的，不做任何变形），重新拼接在一起竟然可以变得像乒乓球那么大，你是不是觉得不可思议呢？

1924年，Banach-Tarski提出并证明的分球定理恰恰保证了这一点。该定理说：一个球U可以分解为两个不相交的集合X和Y的并，使得U全等于X，也全等于Y。两个集合全等就是说这两个集合可以分别分解为相同数目的有限个不相交的子集的并，其中对应的两个子集可以经旋转和平移完全重合。多次运用分球定理，当然就可以让地球这么大的东西全等于小小乒乓球啦。可谓“藏须弥于芥子”啊。 这个极度违背人们日常常识的东西竟然是数学的定理？！是的，令人惊讶，但它与所有其它的数学结论都没有任何矛盾。有时候，常识也未必像你想象的那样永远可靠呢。

简单的说，这个结论和大家的常识不一致的根本原因是两个集合虽然全等，但有可能它们都没有办法定义符合常识的体积（不是说体积为0哦，而是没有办法定义体积）。所以虽然地球和乒乓球全等，但它们的体积还是可以很悬殊的。

一块钱哪儿去了？

一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。

第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。

这一块钱到哪儿去了呢？

橡皮绳上的蠕虫

橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？

乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。

如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：

当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。

棘手的电灯

一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。

那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！