高中数学奥林匹克竞赛试题

2023年12月11日发(作者：二中的数学试卷)

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题

一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）

1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

2. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆

= 15d，则a₇的值为：

A. 8d B. 9d C. 10d D. 11d

3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

4. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：

A. [0, -4/3] B. [0, -2] C. (-∞, -2] D. (-∞, 0]

5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：

A. 1/2 B. 2/3 C. 3/2 D. 3/5

二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）

6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。

7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。

8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。

9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。

10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。

三、证明题（共2道证明题，每题20分，共40分）

11. 证明：在一个平面内，四边形的内角和等于720度。

12. 设a、b、c为正实数，证明：(a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)。

四、应用题（共2道应用题，每题30分，共60分）

13. 已知等差数列{an}首项为a₁，公差为d。若$frac{sum_{i=1}^{n}

a_i}{sum_{i=1}^{n} i} = 2$，求a₃的值。

14. 设函数f(x) = a sin(x + b)，其中a、b为常数，且f(π/2) - f(-π/2) = 5，求a² + b²的值。

五、作文题（共选择1道，满分30分）

15. 高中数学奥林匹克竞赛对学生的数学能力提出了更高的要求，你是一位参与了数学奥林匹克竞赛的学生，请写一篇短文，谈谈你参与竞赛的收获和体会。

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解析：

本套高中数学奥林匹克竞赛试题共包含15道题目，分为选择题、填空题、证明题、应用题和作文题五个部分。每道题目都是需要考生动脑筋思考并灵活运用数学知识解决问题。选择题和填空题考查运算规律和基本概念的掌握，证明题和应用题要求考生运用推理与证明方法解决问题，作文题为开放性问题，需要考生自由发挥表达能力。希望各位考生能够认真思考，给出准确的答案和充实的作文内容。祝各位考试顺利！