高中数学新课标新增内容

2024年1月26日发(作者：小学新课标数学试卷)

一．新课程教材新增内容考点共14 个,分别是:

1．幂函数

2．函数零点与二分法

3．三视图

4．算法程序框图与基本算法语句

5．茎叶图

6．随机数与几何概型

7．全称量词与存在量词

8．积分(理科)

9．合情推理与演绎推理

10．条件概率(理科)

11. 流程图与结构图(文科)

12. 正态分布(理科)

13. 独立性检验

14．不等式选讲(理科)

二、高考考纲说明要求、近两年高考试题的特点分析及教学建议

1．幂函数

(1)考纲要求：

① 了解幂函数的概念．

② 结合函数 的图象，了解它们的变化情况．

说明：对于幂函数高考要求非常低，\"高考只要求结合的图象,了解它们的变化情况\", 但是作为老师对幂函数是非常熟悉的，复习时一定要控制好题目的难度，注意不要超纲。

(2)近两年高考试题：

* （07山东理科4)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（ A ）

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3

分析：该题严格安照考纲要求，考查了幂函数的性质。

* (07年山东文科第13题)设函数，则 ．答案：

建议：从高考来看，两年来只有山东07年进行了考查，并且考查紧扣考纲，题目非常简单，对于这个考点突破关键是让学生记住幂指数分别是1,2,3,-1和时相应幂函数的图象,由图象来记忆性质。

2．函数零点与二分法

（1）考纲要求：

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

说明：考试说明删去了\"根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．\"对二分法求近似解高考已明确不考。

（2）近两年高考试题：

* （07山东理科第9题）下列各小题中，是的充要条件的是（ D ）

①：或；：有两个不同的零点．

②；是偶函数．

③；．

④；．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

* (07广东理科第20题)．（本题满分14分）

已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。

解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，

a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.

所以实数a的取值范围是或a≥1.

解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又

∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，

设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解<=>∈或。

建议：从高考题来看，该考点关键是掌握函数零点的性质，抓住零点与相应方程的根的联系和相应函数图象与x轴交点间的联系，学会用函数的图象研究零点的分布。

3．三视图

（1）考纲要求：

①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。

②会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

说明：删去了\"会画出某些建筑物的视图与直观图\".因为某些建筑物是比较复杂的组合体，画其三视图难度较大，我觉得删去的原因就在于\"该要求不切合实际。\"

（2）近两年高考试题：

* (07山东文科理科第3题)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

* (07年海南宁夏文科理科第8题)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ B ）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

* (07广东文科第17题)（本小题满分12分）

已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积；

（2）求该几何体的侧面积．

解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的

四棱锥V-ABCD ；

(1)

(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为

， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，

AB边上的高为

因此 .

* (08山东文科理科第6题)右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A． B． C． D．

解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

* (08广东理科第5题文科第7题)将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A ）

* （08海南宁夏理科第12题）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）

A． B． C． D．

解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图

设长方体的高宽高分别为，由题意得

，

，，所以

，

当且仅当时取等号。

* ( 08年海南宁夏文科第18题)．（本小题满分12分）

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）

（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（Ⅲ）在所给直观图中连结，证明：面．

解：（Ⅰ）如图

3分

（Ⅱ）所求多面体体积

． 7分

（Ⅲ）证明：在长方体中，

连结，则．

因为分别为，中点，

所以，

从而．又平面，

所以面． 12分

建议：从考题特点来看，对三视图的考查分为以下几类：

第一类：单纯的识三视图和画三视图问题；

第二类：通过三视图给出几何体的相关尺寸，与求几何体的表面积和体积累联系起来。

第三类：通过三视图给出几何体的相关尺寸和各元素间的位置关系，与线面位置关系的论证相结合。

突破考点的关键除了让学生掌握口诀\"主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽\"外，还要找准与投射面投射线平行或垂直的线和面。另外要重点训练一些组合体的三视图问题。

4．算法程序框图与基本算法语句

（1）考纲要求：

① 了解算法的含义，了解算法的思想．

② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．

③了解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

说明：今年的考试说明在这里有一处变化，对于基本算法语句考试说明的要求由\"理解\"变为\"了解\'.因为现在考算法语句存在着一定困难，一是A版和B版教材这部分内容差别较大，所用的程序语言不够通一， 二是考虑的考试的公平性，乡村与诚市孩子的差别。因此，高考这近两年一直未考，今年降低要求以后，考查的可能性就更小了。由此来看对算法的考查重点仍然是程序框图。

（2）近两年高考试题：

* （07山东文科理科第10题）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ D ）

A．2500，2500 B．2550，2550

C．2500，2550 D．2550，2500`

* (07年海南宁夏理科文科第5题)．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ C ）

Ａ．2450 Ｂ．2500

Ｃ．2550 Ｄ．2652

* （07年广东理第6题文第7题）．

图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）．

图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

(08山东理科第13题文科第14题)．执行右边的程序框图，若，则输出的 ．

解：，因此输出

* (08广东理科第9题文科第13题)．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出 ， ．

（注：框图中的赋值符号\"\"也可以写成\"\"或\"\"）

【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，

而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。

* (08海南宁夏理科第5题文科第6题).右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ A ）

A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c

解：变量的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为\"\"，满足\"是\"则交换两个变量的数值后输出的值结束程序，满足\"否\"直接输出的值结束程序。

建议：算法与框图是新高考考查的热点，对于算法与框图，应立足算法思想的渗透，并注意与其他知识进行交汇，如用循环语句表述递推数列、数列求和，用条件语句表述分段函数、方程或不等式等综合问题。

5．茎叶图

（1）考纲要求：

了解分布的意义和作用，会根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

说明：此处的变化是\"会列频率分布表、会画......\"，今年不要求会画频率分布表了，是直接根据频率分布表画频率分布直方图等。准确把握茎叶图的特点，明确其优势是解决问题的关键。

（2）近两年高考试题：

* （08山东理科第8题）右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ A ）

A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.6

解：

* （08海南宁夏文理第16题）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：

甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307

308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352

乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318

318

320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356

由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

① ；② ．

解：1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．

2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．

3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．

4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

建议：茎叶图主要考查学生采集和处理信息的能力。08年山东理科考了一次，09年理科再度考查的可能性减少，09年文科要适当注意。

6．几何概型

（1）考纲要求：

了解几何概型的意义．

（2）近两年高考试题：

* (07海南宁夏文科第20题第二问)（本小题满分12分）

设有关于的一元二次方程．

（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解：设事件为\"方程有实根\"．

当，时，方程有实根的充要条件为．

（Ⅰ）基本事件共12个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．

（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为．

构成事件的区域为．

所以所求的概率为．

建议：对于几何概型，应注意将概率知识与近似计算、函数、方程、解几等知

识的联系，复习时要让学生特别注意分清哪些概率问题是几何概型问题， 确定好 D和d的测度是何种几何量，到底是面积、还是长度、还是体积。

7．全称量词与存在量词

（1）考纲要求：

① 理解全称量词与存在量词的意义．

② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

说明：考纲的要求还是比较高的。

（2）近两年高考试题：

* （07山东理科第7题）命题\"对任意的，\"的否定是（ C ）

A．不存在，

B．存在，

C．存在，

D．对任意的，

* (07海南宁夏理科第1题文科第2题)．已知命题，，则（ C ）

Ａ．， Ｂ．，

Ｃ．， Ｄ．，

建议：该部分内容多以选择题形式进行考查，对于该部分内容要让学生注意命题的否定与否命题的区别，同时要让学生重点理解和记住一些常用的正面词语和否定词语间的对应关系。

8．积分(理科)

（1）考纲要求：

① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

② 了解微积分基本定理的含义．

说明：高考要求较低，复习不易做难题。

（2）近两年高考试题：

* (08山东理科第14题)．设函数，若，

，则的值为 ．

解：

* （08海南宁夏理科第10题）由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ D ）

A． B． C． D．

解：如图，面积

建议：考查积分的题目常见的有两类，一类是简单的积分的运算；另一类是求封闭图形的面积，建议重点训练求面积的问题，一举两得。

9．合情推理与演绎推理

（1）考纲要求：

① 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

②了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异，掌握演绎推理的\"三段论\"，能运用\"三段论\"进行一些简单的演绎推理。

说明：修改后的考试说明要求更加具体明确，尤其是对演绎推理只要求掌握\"三段论\"，那么对于假言推理、关系推理还有完全归纳推理，就不要再对学生提

了。

（2）近两年高考试题：

* （07广东理科第12题）．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)

答案：;8;n(n-2)。

解析：;;

建议：实际上数学问题的解决离不开推理，所以推理几乎渗透在每一道数学问题的解决过程中，因此高考即便不苛意命制考查推理的问题也是可能的。对于该考点复习过程中可适当穿查训练一些体现合情推理的题目。

10．条件概率(理科)

（1）考纲要求：

了解条件概率的概念。

说明：要求非常低，07年山东理科体现一下，估计再考的可能性不大。

（2）近两年高考试题：

* （07年山东高考第18题第三问）（本小题满分12分）

设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程有实根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．

解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记\"方程没有实根\"为事件，\"方程有且仅有一个实根\"为事件，\"方程有两个相异实数\"为事件，则，

，

，

，

所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个．

又因为是互斥事件，

故所求概率．

（Ⅱ）由题意，的可能取值为，则

，

，

，

故的分布列为：

所以的数学期望．

（Ⅲ）记\"先后两次出现的点数有中5\"为事件，\"方程有实数\"为事件，由上面分析得

，，

．

建议：对于条件概率的训练题较少，建议能让学生掌握了课本上的相关题目即可。

11. 流程图与结构图(文科)

（1）考纲要求：

①通过具体实例进一步认识程序框图。

②通过实例了解工序流程图（即统筹图）

③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．

④ 通过实例了解结构图。

⑤会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．

说明：要求与去年相比只是一些用词上略有变化，要求的层次上基本没变，对工序图和结构图的考查命制出好题的难度较大,考查的可能性较小。

（2）近两年高考试题：无

建议：该部分内容比较合适的训练题较少，建议考前让学生阅读一下课本即可。

12. 正态分布(理科)

（1）考纲要求：

借助直观直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

说明：对于该部分内容上套教材上就有，但是07年以前好象是高考一直不作要求，现在也算是高考新增内容吧。原考纲要求是: \"利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.\"现在是\"借助直观直方图\"，我觉得该处变化是不是要求对正态分布的考查要直接一点，不要设置过于复杂的实际背景。另外由\"了解\"变为\"认识\"，这两个词有点接近，我觉得要求似乎是降低了。

（2）近两年高考试题：新课程高考省份近两年没有考过。但是其他的省份08年考查过。

* （08年安徽卷第10题）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有（ A ）

A．

B．

C．

D．

* （08年重庆卷5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＝D

(A) (B) (C) (D)

建议：鉴于其他省份曾考过，09年进行的可能性就比较大一些，突破的关键在于记住符号所代表的量,明确正态分布区线的特征。

13. 独立性检验

（1）考纲要求：

了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用．

说明：以前的要求是 \"了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用．\" 删去了括号内的 \"只要求2×2列联表\", 另为\"简单\"改为\"初步\"。感觉似乎是题目可以不给出列表，可以要求学生自己画2×2列联表，但是应用只是初步的，降低要求。

（2）近两年高考试题：无

建议： 该部分内容一直未考，主要受到运算量较大的限制，估计要考也只能是选择或填空，难度不会超出课本，建议考前从课本中找一两个小题让学生训练一下即可。

14.不等式选讲(理科)

（1）考纲要求：

①理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

. .( )

②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

③通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.

说明：该处要求的变化是 对于. .( )这两个不等式原来的要求是\"能利用含绝对值不等式的几何意义证明\".现在不要求证明，只要求了解不等式成立的几何意义及等号成立的条件。

这部分内容，06年以前高考一直考，07年新课标高考没考，自08年又开始考了。老师们都非常熟悉，但是对学生来说不容易掌握，好在高考要求不高，高考题的难度不会太大,重点还的绝对值不等式的解法。

（2）近两年高考试题：

* (07广东理科第14题)．（不等式选讲选做题）

设函数，则 ；若，则的取值范围是 ．

答案：6；

* （07年海南宁夏理科第22题．Ｃ）（本小题满分10分）

设函数．

（I）解不等式；

（II）求函数的最小值．

解：

（Ⅰ）令，则

．．．．．．．．．．．．．．．3分

作出函数的图象，它与直线的交点为和．

所以的解集为．

（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．

* （08山东理科第16题）若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 ．

解：， 即范围为

* (08广东理科第14题)（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．

答案:

建议：《不等式选讲》的复习应通过一些不等式的证明，使学生理解不等式证明的本质及思想，了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法,理科适当注意放缩法、数学归纳法，提高逻辑思维能力和分析解决问题能力，不要对恒等变化做过高要求。

三、总的复习建议

1.由于近年来高考对新增内容的考查力度是比较大的，新增内容在高考中所占的分数比例远远超出其课时比例，因此对新增内容的复习不容忽视。

2．对于新增内容特点之一是新增内容大多与实际应用紧密相关,复习时要重视基本概念的应用背景,使学生在遇到相关问题时会合理利用相应的知识去处理,具备初步的数学建模思想。新增内容的特点之二是在新课标中，新增内容主要介绍基本概念及基本方法，所以复习时应突出对这些内容的理解与应用，紧扣课程标准

和考试大纲，针对典型问题讲清讲透，要准确与新增教学内容相关的题目的难度。