2023年12月11日发(作者：吉林三调数学试卷2023)
人教版九年级上册数学全册导学案（含答案）
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）x（x－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②
22探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．
(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
第 1 页 共 91 页 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；
13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
45 (4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；
(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，
∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；
12(3)2x2－3x－1＝0; (4)2－＝0；
xx(5)(x＋3)2＝(x－3)2;
(6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
第 2 页 共 91 页 ∴4a＋8－5＝0，
3 解得a＝－.
43．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(1)
1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．
重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
__10×6x2＝1500__，
由此可得__x2＝25__，
根据平方根的意义，得x＝__±5__，
即x1＝__5__，x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?
方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一1＋51－5次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．
22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．
方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__.
第 3 页 共 91 页 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
解下列方程：
(1)2y2＝8； (2)2(x－8)2＝50；
(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.
解：(1)2y2＝8， (2)2(x－8)2＝50，
y2＝4， (x－8)2＝25，
y＝±2， x－8＝±5，
∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5或x－8＝－5，
∴x1＝13，x2＝3；
(3)(2x－1)2＋4＝0， (4)4x2－4x＋1＝0，
(2x－1)2＝－4<0， (2x－1)2＝0，
∴原方程无解； 2x－1＝0，
1 ∴x1＝x2＝.
2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；
(3)9n2－24n＋16＝11.
－1±74±11解：(1)；(2)－1±26；(3).
33点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．
2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．
解：±1.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；
(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；
(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；
(7)x2＋2x＋1＝4.
解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；
(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；
1 (3)x1＝－1，x2＝；
311 (4)x1＝，x2＝－；
6699 (5)x1＝，x2＝－；
22 (6)x1＝0，x2＝－10；
第 4 页 共 91 页 (7)x1＝1，x2＝－3.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用直接开平方法解一元二次方程．
2．理解“降次”思想．
3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2.1 配方法(2)
1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．
重点：掌握配方法解一元二次方程．
难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．
(2分钟)
1．填空：
(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；
(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；
pp(3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2.
222．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？
设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．
探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项，得x2＋6x＝16，
6b两边都加上__9__即__()2__，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得
22__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成平方形式，得
__(x＋3)2＝25__，
开平方，得
__x＋3＝±5__， (降次)
即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，
解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．
第 5 页 共 91 页 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题2：解下列方程：
(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0；
(3)4x2＋16x＋16＝9.
15解：(1)x＝±2；(2)x1＝－，x2＝；
2271(3)x1＝－，x2＝－.
22归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
1．填空：
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；
11 (2)x2－x＋____＝(x－____)2；
42(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.
2．解下列方程：
(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.
解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，
配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，
由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.
(2)移项，得2x2＋6x＝－2，
二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，
335配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，
2243553由此可得x＋＝±，即x1＝－，
2222x2＝－53－.
22(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，
移项得x2＋4x＝1，
配方得(x＋2)2＝5，
x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.
点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
第 6 页 共 91 页 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：
111(8－x)(6－x)＝××8×6，
222即x2－14x＋24＝0，
(x－7)2＝25，
x－7＝±5，
∴x1＝12，x2＝2，
x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．
点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．用配方法解下列关于x的方程：
(1)2x2－4x－8＝0； (2)x2－4x＋2＝0；
1(3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.
2
解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；
(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；
117117(3)x1＝＋，x2＝－；
4444(4)x1＝66，x2＝－.
222．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．
解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.
1－∴(xy)z＝[2×(－3)]2＝.
36学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
第 7 页 共 91 页 21．2.2 公式法
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式的推导．
(2分钟)
用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0.
解：(1)x1＝－2，x2＝－1； (2)无解．
一、自学指导．(8分钟)
问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根－b＋b2－4acx1＝，x2＝2a－b－b2－4ac.
2a分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
2a－b±b2－4ac(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．
(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
(1)2x2－3x＝0； (2)3x2－23x＋1＝0；
(3)4x2＋x＋1＝0.
3解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；
2 (2)x1＝x2＝3；有两个相等的实数根；
3 (3)无实数根．
点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0 第 8 页 共 91 页 时，没有实数根．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
111解：(1)m＜； (2)m＝； (3)m ＞.
4443. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.
对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，
Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
3(1)2x2－3x－＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；
2(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x.
解：(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实数根；
(4)有两个不相等的实数根．
2．用公式法解下列方程：
1(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－＝0；
4(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.
解：(1)x1＝3，x2＝－4；
(2)x1＝2＋32－3，x2＝；
22 (3)x1＝1，x2＝－3；
(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；
(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．
点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把 第 9 页 共 91 页 －b±b2－4ac2a，b，c的值代入x＝(b－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；
2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1.求根公式的推导过程．
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定出b2－4ac的值、．a，b，c的值，再算．最后代入求根公式求解．
． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2.3 因式分解法
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
(2分钟)
将下列各题因式分解：
(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；
(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；
(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
一、自学指导．(8分钟)
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x
s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0， ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10－4.9x)＝0，
于是得x＝0或10－4.9x＝0， ②
∴x1＝__0__，x2≈2.04．
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.
点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
第 10 页 共 91 页 1．说出下列方程的根：
(1)x(x－8)＝0； (2)(3x＋1)(2x－5)＝0.
15解：(1)x1＝0，x2＝8； (2)x1＝－，x2＝.
322．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；
(3)5x2－20x＋20＝0.
77 解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝，x2＝－；
22(3)x1＝x2＝2.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．用因式分解法解下列方程：
(1)5x2－4x＝0； (2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)(x＋5)2＝3x＋15.
4解：(1)x1＝0，x2＝；
521(2)x1＝，x2＝－；
32(3)x1＝－5，x2＝－2.
点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)4x2－144＝0；
(2)(2x－1)2＝(3－x)2；
13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
44(4)3x2－12x＝－12.
解：(1)x1＝6，x2＝－6；
4(2)x1＝，x2＝－2；
311(3)x1＝，x2＝－；
22(4)x1＝x2＝2.
点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；
(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；
(5)(x－4)2＝(5－2x)2.
解：(1)x1＝0，x2＝－1；
(2)x1＝0，x2＝23；
(3)x1＝x2＝1；
第 11 页 共 91 页 1111(4)x1＝，x2＝－；
22(5)x1＝3，x2＝1.
点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为__0__；
(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；
(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为x m.
则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.
解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．
答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得 a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．
2．正确的因式分解是解题的关键．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系
bc1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
aa2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．
重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．
难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．
一、自学指导．(10分钟)
自学1：完成下表：
方程
x2－5x＋6＝0
x2＋3x－10＝0
x1
2
2
x2
3
－5
x1＋x2
5
－3
x1x2
6
－10
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．
②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.
答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
自学2：完成下表：
方程
2x2－3x－2＝0
x1
2
x2
1－
2x1＋x2
3
2x1x2
－1
第 12 页 共 91 页 3x2－4x＋1＝0
1
31
4
31
3问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律；
答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．
②ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律．
bc答：x1＋x2＝－，x1x2＝.
aa自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)
ax2＋bx＋c＝0－b＋b2－4ac－b－b2－4ac的两根x1＝____，x2＝____．
2a2abcx1＋x2＝－，x1x2＝.
aa二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－3x－1＝0 ； (2)2x2＋3x－5＝0；
1(3)x2－2x＝0.
3解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1；
35(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－；
22(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；
7(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3；
351(3)x1＋x2＝，x1x2＝.
44点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.
2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
3解：另一根为，k＝3.
2点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．
3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．
11(1)＋； (2)α2＋β2； (3)α－β.
αβ 第 13 页 共 91 页 3解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.
5二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；
(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.
解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；
(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；
(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；
(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.
2．两根均为负数的一元二次方程是( C )
A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0
点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．
1．先化成一般形式，再确定a，b，c.
2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．
bc3．要注意比的符号：x1＋x2＝－(比前面有负号)，x1x2＝(比前面没有负号)．
aa学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(1)
1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点：列一元二次方程解决实际问题．
难点：找出实际问题中的等量关系．
一、自学指导．(12分钟)
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：
①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；
②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．
则列方程：
第 14 页 共 91 页 __(x＋1)2＝121__，
解得__x＝10或x＝－12(舍)__，
即平均一个人传染了__10__个人．
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．
分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，
解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A．x(x＋1)＝2550
B．x(x－1)＝2550
C．2x(x＋1)＝2550
D．x(x－1)＝2550×2
分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，
即x2＋x－90＝0，
解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，
故每个支干长出9个小分支．
点拨精讲：本例与传染问题的区别．
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )
A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10
2．教材P21第2题、第3题
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；
(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；
(4)“解”：即求出所列方程的__根__；
(5)“检验”：即验证根是否符合题意；
(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．
第 15 页 共 91 页 2. 对于数字问题应注意数字的位置．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(2)
1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点：如何解决增长率与降低率问题．
难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．
一、自学指导．(10分钟)
自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：
①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．
依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．
解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，
列方程：__6000(1－y)2＝3600__．
解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．
答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．
点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，
12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．
由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．
点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．
第 16 页 共 91 页 增长率＝增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；
二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；
n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；
如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x，
则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，
整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，
解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.
答：所求的年利率是12.5%.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)
青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
解：设年平均增长率为x，
则有7200(1＋x)2＝8460，
解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．
即年平均增长率为8%.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.
点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．
2. 若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(3)
1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．
重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际 第 17 页 共 91 页 问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
一、自学指导．(10分钟)
问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积
是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．
探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．
解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80.
解得x1＝1，x2＝－8(不合题意，舍去)．
答：金色纸边的宽为1分米．
点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽．
解：假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x，则有
第 18 页 共 91 页 (40－2x)(26－x)＝144×6，
化简，得x2－46x＋88＝0，
解得x1＝2，x2＝44，
由题意：40－2x＞0，26－x＞0, 则x＜20.
故x2＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.
答：马路的宽为2 m.
点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．(精确到0.1 cm)
解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.
1根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－)×20×30.
4解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合题意，舍去)．
故3x＝1.8，2x＝1.2.
答：横彩条宽为1.8 cm，竖彩条宽为1.2 cm.
2．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法．
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大？最大面积为多少？
解：(1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20－x) cm.
根据题意，得x(20－x)＝75，
解得x1＝5，x2＝15(舍去)．
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．
(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.
由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知，当x＝10时，S的值最大，最大面积为100 cm2.
点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．
第 19 页 共 91 页 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．
重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．
难点：理解二次函数的有关概念．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．
总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．
A．y＝(x－3)2－1
B．y＝1－2x2
1C．y＝(x＋2)(x－2)
3D．y＝(x－1)2－x2
2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．
3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售 第 20 页 共 91 页 价为多少元？
解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50 (2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000， 化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80. ∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？ 12．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与成反比例，则y与x的函数关系是( A ) xA．二次函数 B．一次函数 C．正比例函数 D．反比例函数 3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数． (1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？ (2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？ 点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式． 点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0. 2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟) 22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质． 2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感． 重点：描点法作出函数的图象． 难点：根据图象认识和理解其性质． 一、自学指导．(7分钟) 自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空． (1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线； 第 21 页 共 91 页 1(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2和y＝2x2的图象； 2点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点． (3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)； (4)找出上述三条抛物线的异同：__________． 1(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同． 2点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律． 总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．教材P41习题22.1第3，4题． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 填空：(1)函数y＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______． 1(2)函数y＝x2，y＝x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 2解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上； (2)根据抛物线y＝ax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x2，开口大1的为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2. 2点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小． 探究2 已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？ 2m＋m－4＝2，解：(1)由题意得 m＋2≠0.m＝2或m＝－3，解得∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数． m≠－2. 第 22 页 共 91 页 (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大． (3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2<0，即m<－2， ∴只能取m＝－3. ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)， ∴m＝－3时，函数有最大值为0. ∴x>0时，y随x的增大而减小． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？ 2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)． (1)求a的值； (2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况． 3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__． 4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B ) 点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”； 2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1) 1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律． 重点：会作函数的图象． 难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空． 总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称 第 23 页 共 91 页 轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值． 抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是( C ) A．(4，4) B．(1，－4) C．(2，2) D．(0，4) 2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__． 点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标． 3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？ 点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟) 探究1 抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？ 解：(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同； (2)抛物线y＝ax2向上平移c个单位得到抛物线y＝ax2＋c； 抛物线y＝ax2向下平移c个单位得到抛物线y＝ax2－c. 探究2 已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x2＋4，试求a，c的值． a＝－2，a＝－2，解：根据题意，得解得 c＝6.c－2＝4，二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟) 1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D ) 2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B ) A．y＝x2－4 3B．y＝－x2＋3 43C．y＝(2－x)2 23D．y＝(x2－2) 2 第 24 页 共 91 页 3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大． 4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的． 5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4． 6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__． 点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解) 2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2) 1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象． 2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律． 重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象． 难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空． 111画函数y＝－x2、y＝－(x＋1)2和y＝－(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物2221线y＝－x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况． 总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．教材P35练习题； 第 25 页 共 91 页 12．抛物线y＝－(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平21移1个单位后，得到抛物线y＝－x2. 2 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图象． 2(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？ 11(3)怎样平移函数y＝x2的图象得到函数y＝(x＋3)2的图象？ 22解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y随x的增大而减1小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝x2的21图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝(x＋3)2的图象． 2点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重1合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－ 解：(1)∵y＝x＋1，∴令y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l是由抛物线y＝－2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y＝－2(x＋1)2. (2)由(1)可知，抛物线l的对称轴为x＝－1，∵a＝－2<0，∴当x>－1时，y随x的增1大而减小，又－ 2二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．不画图象，回答下列问题： (1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？ (2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)函数有哪些性质？ (4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？ 点拨精讲：性质从增减性、最值来说． 2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2． 3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0． 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9． 点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了． 第 26 页 共 91 页 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3) 1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象． 2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律． 重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象． 难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空． 总结归纳：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位． 抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟 1．教材P37练习题 2．函数y＝2(x＋3)2－5的图象是由函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的； 3．抛物线y＝－2(x－3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x＝3，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小． 一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 填写下表： 解析式 y＝－2x2 1y＝x2＋1 2y＝－5(x＋2)2 开口方向 向下 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 x＝－2 顶点坐标 (0，0) (0，1) (－2，0) (－1，－4) y＝3(x＋1)2－4 向上 x＝－1 点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a(x－h)2＋k的形式，便于解答． 1探究2 已知y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移21个单位长度得到的抛物线．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出y＝a(x－h)2 第 27 页 共 91 页 1＋k与y＝－x2的图象；(3)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增2大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？ 1解：(1)∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛211物线是y＝－(x－1)2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2； 2211(2)函数y＝－(x－1)2＋2与y＝－x2的图象如图； 221(3)观察y＝－(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随2x的增大而减小； 1(4)由y＝－(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2. 2二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2． 点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动． 2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限． 点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别． 3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3． 4．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2 点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 第 28 页 共 91 页 22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1) 1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法． 2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法． 3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题． 重点：会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法． 难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当x 用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k4ac－b2b的形式，则h＝－，k＝；则2a4ab4ac－b2bb二次函数的图象的顶点坐标是(－，)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函2a4a2a2a数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象． 点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴． 1(1)y＝x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22. 41解：(1)y＝x2－3x＋21 41＝(x2－12x)＋21 41＝(x2－12x＋36－36)＋21 41＝(x－6)2＋12 4∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6. 第 29 页 共 91 页 (2)y＝－3x2－18x－22 ＝－3(x2＋6x)－22 ＝－3(x2＋6x＋9－9)－22 ＝－3(x＋3)2＋5 ∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3. 点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解． 探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？ (1)S与l有何函数关系？ (2)举一例说明S随l的变化而变化？ (3)怎样求S的最大值呢？ 解：S＝l(30－l) ＝－l2＋30l(0＜l＜30) ＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225 画出此函数的图象，如图． ∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)． 点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1． 2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限． 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与xb轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x2a－b±b2－4ac轴有两个交点，交点坐标是(，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，2a若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)． 点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种． 注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 第 30 页 共 91 页 22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2) 能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式． 重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空． 总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22． 点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值． 2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D ) A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A ) A．0 B．－1 C．1 D．2 点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值． 5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1． 点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴． 解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，9a＋3b＋c＝0，C(0，－3)，则有4a＋2b＋c＝－3， c＝－3. 第 31 页 共 91 页 a＝1，解得b＝－2， c＝－3.∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1. 探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标． 解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有 a(2－3)(2＋1)＝9， ∴a＝－3， ∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)． 点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴 交点的坐标． 12．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图2象还必定经过原点． 13．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． 2(1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． 点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟) 22．2 二次函数与一元二次方程(1) 1．理解二次函数与一元二次方程的关系． 2．会判断抛物线与x轴的交点个数． 3．掌握方程与函数间的转化． 第 32 页 共 91 页 重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数． 难点：掌握方程与函数间的转化． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空． 总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根． 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1； 方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3； 方程x2－x＋1＝0的根是：无实根． 2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？ 点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根． 错误! 错误!根是x1＝x2＝1． ,第3题图) 3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟) 探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围． 解：根据题意知b2－4ac>0， 即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0， 9解得k>－. 8点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关 第 33 页 共 91 页 系． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟) 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1． 点拨精讲：根据对称性来求． 2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答： (1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0? (3)x取什么值时，函数值小于0? 点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值． 3．用函数的图象求下列方程的解． (1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0； (3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0. 点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根． 2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根． 3．有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 有两个公共点 只有一个公共点 无公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 b2－4ac的值 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．2 二次函数与一元二次方程(2) 1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解． 2．熟练掌握函数与方程的综合应用． 3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题． 重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集． 难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空． 总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线 y＝ax2＋bx＋cx＝0，与y轴的交点坐标实质上是的解；抛y＝ax2＋bx＋c第 34 页 共 91 页 物线y＝ax2＋bx＋cy＝kx＋b，与直线的交点坐标实质上是的解． 2y＝ax＋bx＋c二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D ) A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A ) A．无交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．交点个数无法确定 3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C ) A．23 B．0 C．22 D．无法确定 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值． 解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5， 由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3； (2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，4m＋n＝－1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即2 3m－2n＝－2，解得5n＝312m1＝－，3m2＝－2，或 n2＝7.点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法． 探究2 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A ) A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1 第 35 页 共 91 页 C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1 2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝－1． 点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解． 3．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若S△ABC＝2，求点C的坐标． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．3 实际问题与二次函数(1) 1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路． 2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题． 重难点：用抛物线知识解决实际问题． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P49～50，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义． 总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－h)2＋k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的32最大面积是_m2． 32．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A ) A．当C是AB的中点时，S最小 B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 第 36 页 共 91 页 D．当C是AB的三等分点时，S最大 第2题图 第3题图 3．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水2343渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是． 33点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟) 探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m) 15－6x－πx1解：由题意可知4y＋×2πx＋6x＝15，化简得y＝，设窗户的面积为S m2，2415－6x－πx115则S＝πx2＋2x×＝－3x2＋x，∵a＝－3<0，∴S有最大值．∴当x＝1.25 m242时，S最大值≈4.69(m2)，即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2. 点拨精讲：中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内． 探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？ 解：设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为－2a1111y＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2，当x＝－＝a时，y最小值＝2×(a)2－2a×a＋a2＝a2. 2222×22即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小． 点拨精讲：此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道 第 37 页 共 91 页 的宽度相等，设甬道的宽为x米． ①用含x的式子表示横向甬道的面积； ②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； ③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 点拨精讲：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形． 点拨精讲：解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式；4.利用抛物线解析式结合图象解决实际问题． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．3 实际问题与二次函数(2) 能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力． 重点：用函数知识解决实际问题． 难点：如何建立二次函数模型． 一、自学指导．(10分钟) 1．自学：自学课本P50，自学“探究2”，理解求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系，完成填空． 总结归纳：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，若a>0，当x＝h时，函数y有最小值，其值为y＝k；若a<0，当x＝h时，函数y有最大值，其值为y＝k． 点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是2，那么m的值是6． 2．边长为10 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是x cm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是y＝－x2＋100(0＜x＜10)． 3．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元． 第 38 页 共 91 页 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)． (1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； (2)求出y与x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围) (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ (4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 260－240解：(1)45＋×7.5＝60(吨)； 10260－x(2)y＝(x－100)(45＋×7.5)， 103化简，得y＝－x2＋315x－24000； 433(3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075 44此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． (4)我认为，王强说得不对． 260－x3理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋×7.5)＝－(x－160)2104＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对． 点拨精讲：要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(1，3)，则b＝________，c＝________． 2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 3．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出，若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床位每晚应提高多少元？ 点拨精讲：在根据实际问题建立函数模型时，要考虑自变量的取值范围．(3分钟) 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟) 第 39 页 共 91 页 22．3 实际问题与二次函数(3) 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题． 重难点：用抛物线知识解决实际问题． 一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P51，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系，完成填空． 总结归纳：建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的平面直角坐标系；②把已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数关系式；④利用待定系数法求出函数关系式；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟) 1．一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝1(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( A ) 90A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m 2．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为( B ) A．6.8米 B．6.9米 C．7.0米 D．7.1米 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ 解：由题意建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵抛物线经过点A(2，1－2)，∴－2＝4a，∴a＝－， 2 第 40 页 共 91 页 1即抛物线的解析式为y＝－x2，当水面下降1 m时，点B的纵坐标为－3.将y＝－3代211入二次函数解析式y＝－x2，得－3＝－x2，∴x＝±6，∴此时水面宽度为2|x|＝26 (m)．即22水面下降1 m时，水面宽度增加了(26－4) m. 点拨精讲：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便． 二、跟踪练习： 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(11分钟) 1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； (2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式； (3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 点拨精讲：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y＝ax2，则点B的坐标为(10，－4)，即可求出解析式． 2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看3成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图． 5(1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 第二十三章 旋转 第 41 页 共 91 页 23．1 图形的旋转(1) 1．了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念． 2. 了解旋转对应点的概念及应用它们解决一些实际问题． 重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 难点：从生活中抽象出数学概念． (2分钟) 请同学们完成下面各题． (1)将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形． ,第(1)小题图) ,第(2)小题图) (2)如图，已知△ABC和直线l，请你画出△ABC关于l的对称图形△A′B′C′. (3)①圆是轴对称图形吗？②等腰三角形呢？③你还能指出其他的吗？ 答：(1)①是；(2)②是；(3)③等腰梯形、长方形、正多边形等． 点拨精讲：(1)平移的有关概念及性质；(2)如何画一个图形关于一条直线(对称轴)的对称图形并口述它有哪些性质；(3)什么叫轴对称图形． 一、自学指导．(10分钟) 观察：让学生看转动的钟表和风车等． (1)上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？(指针、风车叶片分别绕中间点旋转) (2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？(形状、大小不变，位置发生变化) 问题： (1)从3时到5时，时针转动了多少度？(60°) (2)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了多少度？(60°) (3)以上现象有什么共同特点？(物体绕固定点旋转) 思考：在数学中如何定义旋转？ 归纳： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．下列物体的运动不是旋转的是( C ) A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 2．下列现象中属于旋转的有__4__个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的 第 42 页 共 91 页 运动；⑥荡秋千运动． 3．如图，如果把钟表的指针看成四边形AOBC， 它绕着O点旋转到四边形DOEF位置，在这个旋转过程中：旋转中心是点__O__，旋转角是__∠AOD(或∠BOE)，经过旋转，点A转到__D__点，点C转到__F__点，点B转到__E__点，线段OA，OB，BC，AC分别转到OD，OE，EF，DF，∠A，∠B，∠C分别与∠D，∠E，∠F__是对应角． 点拨精讲：旋转角指对应点与旋转中心的连线的夹角． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． (1)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ (2)请画出旋转中心和旋转角； (3)经过旋转，点A，B，C，D分别移到什么位置？ 解：(1)可以看做是由基本图案正方形ABCD通 过旋转而得到的；(2)画图略；(3)点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H. 点拨精讲：旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的． 2．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角， 点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点__A__；旋转的度数是__45°__． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合， 第 43 页 共 91 页 1不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心4旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由． 点拨精讲：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE′＝S△ODD′，即说明△OEE′≌△ODD′. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 23．1 图形的旋转(2) 1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质． 2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形． 重点：图形的旋转的基本性质及其应用． 难点：利用旋转的性质解决相关问题． 一、自学指导．(10分钟) 动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板． (分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明) 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？ 点拨精讲： (1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等． (2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． (3)△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等． 归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形． 4 第 44 页 共 91 页 (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ (4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以△AEF是等腰直角三角形． 解：(1)旋转中心是A点； (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的， ∴B是D的对应点， ∴∠DAB＝90°就是旋转角； 1(3)∵AD＝1，DE＝， 4∴AE＝11712＋（）2＝. 4417； 4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点， ∴AF＝(4)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE， ∴△EAF是等腰直角三角形． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°， 画出旋转后的图形． 点拨精讲：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置． 2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形． 作法：1.连接OA； 2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA； 3．连接OB； 4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB； 5．连接A′B′. 第 45 页 共 91 页 ∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段． 点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°. (1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？ (2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由． (3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点． 解：(1)能； (2)由△BCQ绕B点旋转得到．理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD. (3)90°.点C对应点A，点Q对应点P. 2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形． 解：(1)连接CD； (2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD； (3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点； (4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置． 3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形， ∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°， ∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的． ∴BK＝DM. 点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 第 46 页 共 91 页 1．问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？ 2．本节课要掌握： (1)旋转的基本性质． (2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 23．1 图形的旋转(3) 1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果． 2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案． 重点：用旋转的有关知识画图． 难点：根据需要设计美丽图案． 一、自学指导．(15分钟) 1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形． 点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′. 探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形． 1．旋转中心不变，改变旋转角． 2．旋转角不变，改变旋转中心． 我们可以设计成如下图美丽的图案． 第 47 页 共 91 页 归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟) 如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的． 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟) 1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③. 2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长． 解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形． 所以PP′＝PA2＋P′A2＝32＋32＝32. 解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向． 解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合． 旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针 方向．(也可看作△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE) 学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 第 48 页 共 91 页 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案． 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 23．2 中心对称 23. 2. 1 中心对称 1. 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念． 2. 掌握中心对称的基本性质． 重点：中心对称的性质及初步应用． 难点：中心对称与旋转之间的关系． 一、自学指导．(10分钟) 自学1：中心对称，对称中心，对称点等概念：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称(central symmetry)；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点． 自学2：中心对称的性质： (1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； (2)关于中心对称的两个图形是全等图形． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A，B，C，D关于中心对称的对称点是哪些点． 解：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点． (2)A，B，C，D关于中心D的对称点是A′，B′，C′，D′，这里的D′与D重合． 2．如图，已知AD是△ABC的中线，作出以点D为对称中心， 与△ABD成中心对称的三角形． 第 49 页 共 91 页
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