2023年12月10日发(作者：深圳高考数学试卷出题规律)
八年级下册数学难题精选
分式：
111一：如果abc=1,求证aba1+bcb1+acc1=1
911ba二：已知+=，则+等于多少？
2(ab)abab
三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
1 四：联系实际编拟一道关于分式方程充分并写出解答过程。
2xyx2y2五：已知M＝22、N＝22xyxy8x82的应用题。要求表述完整，条件2x，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2。
反比例函数：
一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
2 二：是一个反比例函数图象的一部分，点A(110)，，B(10，1)是它的两个端点．
（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y1x1
O 1
B
10
x
y
10
A
的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
yy
BQBAOQ
MAOxMxCPP图3
图五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．
(1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
勾股定理：
一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
4
S6二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，且A与B相距的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
C
乙
50米，若小明3A
B
甲
202010
5 四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2PAPB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
Y
B
A
P
图（1）
X
P
图（2）
B
A
B
Q
A
X
O
P
图（3）
X
A
6 五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC．
（1）求证：BGFG；
（2）若ADDC2，求AB的长．
四边形：
一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB
=
AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
E
F
A
F
B
E
G
D
C
A
D
7
B
C 二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
8 三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋33
PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
9 五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
．．．2224
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
BEC
10
FA（第23题）D七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFB
EHDAFBEDAFH(A)E(B)DG图（1）
CGCB图（2）
GC
11 八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①
PE=PD ； ②
PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
B
A
P
D
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
12
E
C 十：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb
(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2DG2的值．
13
12数据的分析：
一：4．为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利．息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人，．图1是该校各年级学生人数比例．．．．分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款．．．．情况的条形统计图.
（1）九年级学生人均存款元；
（2）该校学生人均存款多少元？
（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%
（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。
14
二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好。
15
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲
乙
60
65
三：如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系y5x．若要使1006
5
4
3
2
1
2002 2003 2004 2005 2006 年
万人
A
B
A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？
16 八年级下册数学难题精选
分式：
111一：如果abc=1,求证aba1+bcb1+acc1=1
解：原式= =aba1++2
aba1abcabaabcabcab1+a+ab
aba11abaa1ababa1 =
aba1 =1
911ba二：已知+=ab2(ab)，则a+b等于多少？
解：+=1a1b9
2(ab)9ab=
2(ab)ab2(ab)2=9ab
2a2+4ab+2b2=9ab
2（a2b2）=5ab
a2b25=
ab2ba5+=
ab2三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
由题意得：vvt
2x8x17 5v
8t5v经检验得：x是原方程解。
8t5v5v∴小口径水管速度为，大口径水管速度为。
8t2t88四：联系实际编拟一道关于分式方程2的应用题。要求表述完整，条件x2x解之得：x充分并写出解答过程。
解略
2xyx2y2五：已知M＝22、N＝22xyxy，用“+”或“－”连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2。
2xyx2y2(xy)2xy解：选择一：MN2222，
xyxy(xy)(xy)xy5yy57当x∶y=5∶2时，xy，原式=2．
52yy322xyx2y2(xy)2yx选择二：MN2222，
xyxy(xy)(xy)xy5y523． 当x∶y=5∶2时，xy，原式=527yy2yx2y22xy(xy)2xy选择三：NM2222，
xyxy(xy)(xy)xy5yy53当x∶y=5∶2时，xy，原式=2．
52yy72反比例函数：
一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
18 （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
解：（1）设函数关系式为y
∵函数图象经过（10，2） ∴2 （2）∵yk20 ∴k=20， ∴y
10xkx202 ∴xy=20， ∴SES正2xy16220216
x2010 （3）当x=6时，y
63205 当x=12时，y
123510 ∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为ycm
33二：是一个反比例函数图象的一部分，点A(110)，，B(10，1)是它的两个端点．
（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
解：（1）设y，A(110)，在图象上，10，即k11010，
y10，其中1≤x≤10；
x1
O
1
B
10
x
y
10
A
kxk1（2）答案不唯一．例如：小明家离学校10km，每天以vkm/h10的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间t．
v三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y1x的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
19 yB
答案：r=1
S=πr²=π
四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
yy
MBQBQAOxAOxM
CPP解：（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得k所以正比例函数解析式为y1x
22
x图图1，2同样可得，反比例函数解析式为y（2）当点Q在直线DO上运动时，
设点Q的坐标为Q(m，m)，
20
12于是S△OBQ而S△OAP1OBBQ211mm2212m，
41(1)(2)1，
21所以有，m21，解得m2
41)和Q2(2，1) 所以点Q的坐标为Q1(2，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（1，是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ2）周长的最小值就只需求OQ的最小值．
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)，
由勾股定理可得OQ2所以当(n22)n0即nn22n4n2(n22)n4，
2n0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2．
由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
2(OPOQ)2(52)254．
五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．
(1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
21 勾股定理：
一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
解：（1）当S=150时，k=m=S15025=5，
66S6所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；
（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
设为k倍，则三边为3k，4k，5k，•
而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
其面积S=（3k）·（4k）=6k2，
22
12所以k2=，k=S6S（取正值），
6即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
答案：C
三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，且A与B相距的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．
C
乙
50米，若小明3A
B
甲
202010
答案：40米
四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2PAPB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、23 Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
Y
B
A
P
图（1）
X
P
图（2）
B
A
B
Q
A
X
O
P
图（3）
X
A
解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,
∴AC＝30
在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40
∴ BP＝CP2BC2402
S1＝40210
⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又BC＝40
∴BA\'＝4025021041
由轴对称知：PA＝PA\'
∴S2＝BA\'＝1041
∴S1﹥S2
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA\'，由轴对称知MA＝MA\'
∴MB+MA＝MB+MA\'﹥A\'B
∴S2＝BA\'为最小
Y（3）过A作关于X轴的对称点A\', 过B作关于Y轴的对称点B\'，
BB\'连接A\'B\',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求
Q过A\'、 B\'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,
24
APA\'XA\'B\'＝1002502505
∴所求四边形的周长为50505
五：已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC．
（1）求证：BGFG；
（2）若ADDC2，求AB的长．
解：（1）证明：ABC90°，DE⊥AC于点F，
ABCAFE．
ACAE，EAFCAB，
△ABC≌△AFE
D
A
F
A
F
B
E
G
C
D
ABAF．
连接AG，
AG＝AG,AB＝AF，
Rt△ABG≌Rt△AFG．
BGFG．
B
G
C
E
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
AF11ACAE．
22E30°．
FADE30°，
AF3．
ABAF3．
四边形：
25 一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB
=
AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
E
F
解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB
=
BE
=
AE，BC
=
CF
=
FB，∠ABE
= ∠CBF
= 60°.
∴∠FBE
= ∠CBA.
∴△FBE
≌△CBA.
∴EF
=
AC.
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD
=
AD
=
AC.
∴EF
=
AD.
同理可得AE
=
DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
B
A
D
C
当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，∠BAC
= 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.
二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
26 解：（1）（选证一）BDEFEC
ABC是等边三角形，BC=AC,ACB=600CDCE,BDAE,EDC是等边三角形
DEEC,CDEDEC600BDEFEC1200EFAE,BDFE,BDEFEC
（选证二）BCEFDC
证明：ABC是等边三角形,BCAC,ACB600
CDCE,EDC是等边三角形BCEFDC600,DECE
EFAE,EFDEAECE,FDACBCBCEFDC（选证三）ABEACF
证明：ABC是等边三角形,ABAC,ACBBAC600
CDCE,EDC是等边三角形AEFCED=600EFAE,AEF是等边三角形
AEAF,EAF600ABEACF（2）四边形ABDF是平行四边形。
由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形。
CDEABCEFA600ABDF,BDAF,四边形ABDF是平行四边形
（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。
EFAB,EFAB,四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则EGAEsin600S四边形ABEF23
BC233211EGABEF236410322
27 三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
解：(1) 内.
(2) 证法一：连接CD，
∵
DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
又∵ 点D是△ABC的内心，
∴
CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴
FC＝FD，
∴
□DECF为菱形．
证法二：
过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
图7
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，
DG=DH．
∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH
=CF·DI，
∴CE=CF．
∴□DECF为菱形．
四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋33
PQ；
（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF28 ⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。
解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=PE=3PQ
33 PQ
33PE ∴2 ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+12 （2）解：由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时（如图1）
过点Q做QH⊥AD于点H
QH=PQ=x
由（1）得PD=BE- ∴y=PD·QH=1233PQ=4-x
33121232xx
1229 当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’=x
过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ= ∴PD=331x-4 y=PD·QH’=x2x
312233PQ ∴BE=PQ-PD
3312 （3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23
∴PC=PD2DC2=4 ∴cos∠DPC=DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1
QC=PQ2PC2=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC
∴
五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
．．．222PD1= ∴PC2∠1221PGPN127= ∴PG=
3QCPQ234
30 解：如图所示
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.
BEC
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD
∴∠BEF+∠BFE=90°
∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90°
∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE
又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE
∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45°
∴∠EAD=45°
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
31
FA（第23题）D(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFBEHDAFBEDAFH(A)E(B)DG图（1）
C
解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠GCB图（2）
GCHEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴EFEGAEGH,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.
2211(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；
连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,A由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE=AEAB22H(A)FOE(B)D=85，∴BGCBO=4
5，∴FG=2OG=2BG2BO2=45。
八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）
（2）写出你的作法．
32 解：（1）所作菱形如图①、②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；
连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．
四边形E1F1G1H1即为菱形．
图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；
以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；
以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；
连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①
PE=PD ； ②
PE⊥PD；
33
A
P
D
B
E
C （2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴
BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴
PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵
PB= PE
，
∴
PE=PD.
A
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
D
∵ PB=PE，
∴
∠PBE=∠PEB，
B
P
1
H
2
C E
∴
∠PEB=∠PDC，
∴
∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴
∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴
PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴
PE⊥PD.
34 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=A
FE.
D
∵
AP=x，AC=P
2，
∴
PC=2- x，PF=FC=22(2x)122x.
BF=FE=1-FC=1-(122B
F E
C
2x)=2x.
∴
S△PBE=BF·PF=22x(122x)122x22x.
即
y122x22x (0＜x＜2).
②
y12122x22x2(x2)214.
∵
a12＜0，
∴ 当x22时，y最大值14.
（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.
A
G
D
∵ 四边形ABCD是正方形，
3
2
P
∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
1
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
B
F E
C
∴
GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵
PB=PE，
∴
BF=FE，
∴
GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）.
∴
PE=PD.
② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴ ∠DPE=90°.
35
如图所示. ∴
PE⊥PD.
（2）①∵
AP=x，
∴
BF=PG=∴
S△PBE=BF·PF=即
y1x2222x，PF=1-x.
221222x(1x.
x)x222222x (0＜x＜2).
221221x(x).
2224②
y1x22∵
a1＜0，
2∴ 当x
22时，y最大值1.
4十：如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb
(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图536 为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，解: (1)①BGDE,BGDE
②BGDE,BGDE仍然成立
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形
∴
BCCD，CGCE，
BCDECG900
∴BCGDCE
∴BCGDCE （SAS）
∴BGDE
CBGCDE
又∵BHCDHO
CBGBHC900
∴CDEDHO900 ∴DOH900
∴BGDE
（2）BGDE成立，BGDE不成立
简要说明如下
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，
且ABa，BCb，CGkb，CEka(ab，k0)
37
=12，求BE2DG2的值．k ∴
BCCGb，BCDECG900
DCCEa∴BCGDCE
∴BCGDCE
∴CBGCDE
又∵BHCDHO
CBGBHC900
∴CDEDHO900 ∴DOH900
∴BGDE
（3）∵BGDE ∴BE2DG2OB2OE2OG2OD2BD2GE2
1236565 ∴
BD2GE2223212()2 ∴BE2DG2
244 又∵a3，b2，k
数据的分析：
一：4．为了帮助贫困失学儿童，某团市委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后可取回本金，而把利．息捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人，．图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计．．．．图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图.
．．．．（1）九年级学生人均存款元；
（2）该校学生人均存款多少元？
（3）已知银行一年期定期存款的年利率是2.25%
（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供
给一位失学儿童一学年的基本费用，那么该校一38
学年能帮助多少为贫困失学儿童。
解：（1）240
（2） 解法一：
七年级存款总额：400×1200×40％ = 192000（元）
八年级存款总额：300×1200×35％ = 126000 （元）
九年级存款总额： 240×1200×25％ = 72000 （元）
（192000+126000+72000）÷ 1200 = 325 （元）
所以该校的学生人均存款额为 325 元
解法二： 400×40％ + 300×35％ + 240×25％ = 325 元
所以该校的学生人均存款额为 325 元
（3）解法一： （192000+126000+72000）×2.25％ ÷351= 25（人）
解法二： 325×1200×2.25％÷351 = 25（人）。
二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格。
⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：
⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好。
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效39
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲
乙
60
65
果较好。
解：（1）如表所示：
体能测试成绩合格 平均数 中位数
次数
甲
乙
60
60
65
57.5
2
4
⑵ ①乙；②甲
⑶ 从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好。
三：如图所示，A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：
（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？
（2）求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；
（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系y5x．若要使1006
5
4
3
2
1
2002 2003 2004 2005 2006 年
万人
A
B
A旅游点的游客人数不超过4万人，则门40 票价格至少应提高多少？
解：(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．
(2)XA＝12345＝3（万元）
53324312XB＝＝3（万元）
SA＝[(-2)2＋(-1)2＋02＋12＋22]＝2
55S2125＋02＋(-1)2＋12＋02]＝2B＝[05
从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大．
(3)由题意，得 ５－x100≤４ 解得x≥100 100-80＝20
答：A旅游点的门票至少要提高20元。
41
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