2019考研数学一真题及参考答案解析参考

2023年12月10日发(作者：深圳初三二模数学试卷龙华)

2019年考研数学一真题

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k

A.1.

C.3.

2.设函数f(x)B.2.

D.4.

xx,x0,xlnx,x0,则x0是f(x)的

A.可导点，极值点.

C.可导点，非极值点.

B.不可导点，极值点.

D.不可导点，非极值点.

3.设un是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

uA.n.

n1nB.(1)nn11.

unun1C.u.

n1n1D.un12n12un.

4.设函数Q(x,y)x，如果对上半平面（y0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有y2P(x,y)dxQ(x,y)dy0，那么函数P(x,y)可取为

Cx2A.y3.

yC.1x2B.3.

yyD.x11.

xy1.

y25.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若AA2E，且A4，则二次型xTAx的规范形为

222A.y1y2y3.

222C.y1y2y3.

222B.y1y2y3.

222D.y1y2y3.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

欢迎阅读 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则A.r(A)2,r(A)3.

B.r(A)2,r(A)2.

C.r(A)1,r(A)2.

D.r(A)1,r(A)1.

7.设A,B为随机事件，则P(A)P(B)的充分必要条件是

A.P(AB)P(A)P(B).

B.P(AB)P(A)P(B).

C.P(AB)P(BA).

D.P(AB)P(AB).

8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(,)，则PXY1

A.与无关，而与2有关.

B.与有关，而与2无关.

C.与,都有关.

D.与,都无关.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.

9. 设函数f(u)可导，zf(sinysinx)xy,则22221z1z= .

cosxxcosyy10. 微分方程2yy\'y20满足条件y(0)1的特解y .

(1)nnx在11. 幂级数（0，)内的和函数S(x) .

(2n)!n012. 设为曲面xy4z4(z0)的上侧，则欢迎阅读

222z4x24z2dxdy= . （1，2，3）13. 设为3阶矩阵.若

性方程组x0的通解为 .

1，2线性无关，且3122，则线x,0x214. 设随机变量X的概率密度为f(x)2 为X的分布函数，F（x）0，其他，X1 .

X为X的数学期望，则PF（X）三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y\'xye（1）求y(x)；

（2）求曲线yy(x)的凹凸区间及拐点.

16.（本题满分10分）

设a,b为实数，函数z2axby在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l3i4j的方向导数最大，最大值为10.

（1）求a,b；

（2）求曲面z2axby（z0）的面积.

17.求曲线yesinx(x0)与x轴之间图形的面积.

18.设anx2222x22满足条件y(0)0的特解.

10xn1x2dx，n=（0，1，2…）

n1an2（n=2，3…）

n2（1）证明数列an单调减少，且an（2）求limannan1.

22219.设是锥面xy2(1z)(0z1)与平面z0围成的锥体，求的形心坐标.

20.设向量组1(1,2,1)T,2(1,3,2)T,3(1,a,3)TT(1,1,1)，为R的一个基，在3T(b,c,1)这个基下的坐标为.

欢迎阅读 （1）求a,b,c.

（2）证明a2,a3，为R3的一个基，并求a2,a3,到a1,a2,a3的过度矩阵.

221210x2与B010相似21.已知矩阵A2000y02

（1）求x,y.

（2）求可可逆矩阵P，使得P1APB.

22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PY1p,PY11p,(0p1),令ZXY

（1）求z的概率密度.

（2）p为何值时，X与Z不相关.

（3）X与Z是否相互独立?

23.（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

…Xn来自总体X的简单其中是已知参数，0是未知参数，是常数，X1，X2，随机样本.

（1）求；

（2）求2的最大似然估计量

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题解析（数学一）

1.C

9.2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A

yx

cosxcosyx10.3e2

欢迎阅读 12.32

3T13.

k(1,2,1)，k为任意常数.

xdx14. 解：（1）y(x)e(ex22edxc)exdxx22(xc)，又y(0)0，

故c0，因此y(x)xe（2）ye1x2221x22.

(1x)e321x22xe21x221x22，

y2xe1x22(1x)xe(x3x)e1x22x(x3)e21x22，

令y0得x0,3

凸

拐点

凹

拐点

凸

拐点

凹

所以，曲线yy(x)的凹区间为(3,0)和(3,)，凸区间为(,3)和(0,3),拐点为(0,0)，(3,3e32)，(3,3e).

(3,4)3215. 解：（1）gradz(2ax,2by)，gradz由题设可得，(6a,8b)，

6a8b，即ab，又gradz346a28b210，

所以，ab1.

（2）Sx2y221(z2z2)()dxdy=1(2x)2(2y)2dxdy

xyx2y2222=2xy2214x4ydxdy =d2200312214d=2(14)12220=13.

317.欢迎阅读

18.欢迎阅读

19.由对称性，x0,y2，

zdvzdzdxdyz(1z)dzz(1z)dz11z=12.

dvdzdxdy(1z)dz(1z)dz143102112Dz00112120Dz00111120.（1）=b1c23即b2c3a1，

1231a3解得b2.

c2111111（2）2，3，=331011，所以r2，3，3，则231001欢迎阅读 2，3，可为R3的一个基.

1101101. 则P=2，3，1，2，32100221.（1）A与B相似，则tr(A)tr(B)，AB，即（2）A的特征值与对应的特征向量分别为

x4y1x3，解得

4x82yy2121=11=2，1=；2，2=1；3=2，3=2.

204021.

1所以存在P1AP11=1,2,3，使得P2B的特征值与对应的特征向量分别为

110=11=2，1=；2，2=3；3=2，3=0.

001021.

1所以存在P2AP22=1,2,3，使得P21111P1AP 所以P2AP2=P1AP1，即BP2P1APP12111.

1其中PPP2121200422.解：（I）Z的分布函数FzPXYzPXYz,Y1PXYz,Y1pPXz1pPXzz

从而当z0时，当z0时，Fzpe；Fzp1p1ez11pez

欢迎阅读 z,z0pe则Z的概率密度为fz.

z1pe,z0（II）由条件可得EXZEXEZEX2EYE2XEYDXEY，又DX1,EY12p，从而当p（III）由上知当p11PX,Z2211F1e221时，X,Z211PX,XY221时，CovX,Z0，即X,Z不相关.

21相关，从而不独立；当p时，211111PX,XP,X22222X12111111111而PX1e2，PZPXPX2e2，显2222222然PX1111,ZPXPZ，即X,Z不独立. 从而X,Z不独立.

222223. 解：（I）由Ae2x22dx1，令2xt，则2Aetdt2A1，

022从而A2.

nn1xi22A2i1e,xi,i1,2,L,n2（II）构造似然函数Lx1,x2,L,xn,，当,其他0xi,i1,2,L,nn12时，取对数得lnLnlnAln222xii1n2，求导并令其dlnLn1为零，可得d222241n2x.

ini1

xii1n20，解得2的最大似然估计量为欢迎阅读