【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
0，求代数式19.
已知x+2y−1=【答案】2
【解析】
2x+4y的值．
x2+4xy+4y20变形整体代入化简好的分式计算即可．
【分析】先将分式进行化简，再将x+2y−1=【详解】解：原式=2(x+2y)(x+2y)2=2，
x+2y0可得x+2y=1，
由x+2y−1=1代入原式可得，原式=将x+2y=2=2．
1【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
20.
如图，在YABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
，求BC的长．
（2）AE=BE，AB=2，tan∠ACB=【答案】（1）见解析
（2）32
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF=EC，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；
（2）证明ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE=【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
122，然后再解直角三角形求出EC即可．
11 ∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）知四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
∵AE=BE，AB=2，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=2AB=22，
又∵tan∠ACB=AE1=，
EC2∴21=，
EC2∴EC=22，
∴BC=BE+EC=2+22=32．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
21.
对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的1．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求10边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
12
【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm
【解析】
【分析】设天头长为xcm，则地头长为1212xcm，再分别表示础装裱后xcm，边的宽为x+xcm=10363的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．
【详解】解：设天头长为xcm，
由题意天头长与地头长的比是6:4，可知地头长为2xcm，
3121x+x=xcm，
cm边的宽为1036装裱后的长为25x+x+100cm=x+100cm，
33装裱后的宽为111x+x+27cm=x+27cm，
66351x+100=x+27×4
33由题意可得：解得x=24，
∴1x=4，
6答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关 13 系．
kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2)，与过点(0,4)且平22.
在平面直角坐标系xOy中，函数y=行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
=y（2）当x<3时，对于x的每一个值，函数接写出n的值．
【答案】（1）y=x+1，C(3,4)；
（2）n=2．
【解析】
2kx+b(k≠0)的值且小于4，直x+n的值大于函数y=3【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；
=y（2）根据函数图象得出当【小问1详解】
2x+n过点(3,4)时满足题意，代入(3,4)求出n的值即可．
3b=1A0,1y=kx+bk≠0B1,2解：把点()，()代入，
()得：2k+b=解得：k=1，
b=1∴该函数的解析式为y=x+1，
由题意知点C的纵坐标为4，
当y=x+1=4时，
解得：x=3，
∴C(3,4)；
【小问2详解】
解：由（1）知：当x=3时，y=x+1=4，
=y因为当x<3时，函数=y所以如图所示，当代入(3,4)得：4=2×3+n，
32x+n过点(3,4)时满足题意，
32x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4，
3 14 解得：n=2．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
23.
某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数
中位数
众数
166.75
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高
162 165 165 166 166
乙组学生的身高
161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为m n
32．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学932，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均9生的身高的方差小于数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
15 【答案】（1）m=166，n=165；
（2）甲组
（3）170， 172
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数n=165，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
32，结合其余学生的身高即可做出选择．
9=m∴中位数166+166=166，
2∴m=166，n=165；
【小问2详解】
解：甲组身高的平均数为甲组身高的方差为1164.8，
(162+165+165+166+166)=5122222162−164.8)+(165−164.8)+(165−164.8)+(166−164.8)+(166−164.8)=2.16
(5乙组身高的平均数为乙组身高的方差为1165.4，
(161+162+164+165+175)=5122222161−165.4)+(162−165.4)+(164−165.4)+(165−165.4)+(175−165.4)=25.04，
(5∵25.04>2.16
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
16 解：168，168，172的平均数为11(168+168+172)=169
3332，
9∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
24.
如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
【答案】（1）见解析，∠BAD=90°
（2）4
【解析】
，则∠ADB=【分析】（1）根据已知得出∠CDB，即可证明DB平分∠ADC，进而根据BD平AB=BC，得出BD是直径，进而可得∠BAD=，推出BAD分∠ABC，得出90°；
=BCDAD=CD（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，∠F=90°，△ADC是等边三角形，进而得出11∠CDB=∠ADC=°30，由BD是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=BD，在22Rt△BFC中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC的长，进而即可求解．
【小问1详解】
解：�∠BAC=∠ADB
17 ∴AB=BC，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC．
∵BD平分∠ABC，
�∠ABD=∠CBD，
�AD=CD，
�AB+AD=BC+CD，即BAD=BCD，
�BD是直径，
�∠BAD=90°；
【小问2详解】
解：∵∠BAD=90°，CF∥AD，
�∠F+∠BAD=180°，则∠F=90°．
�AD=CD，
�AD=DC．
�AC=AD，
∴AC=AD=CD，
∴△ADC是等边三角形，则∠ADC=60°．
∵BD平分∠ADC，
∴∠CDB=12∠ADC=°30．
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，则BC=12BD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，则∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，
∴∠FCB=90°−60°=30°，
∴FB=12BC．
∵BF=2，
∴BC=4，
∴=BD2=BC8．
18
∵BD是直径，
∴此圆半径的长为1BD=4．
2【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25.
某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为(x1+x2)个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C�记录的部分实验数据如下：
x1
x2
x1+x2
C
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.990
0.989
0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
19
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：
x1
x2
x1+x2
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
20 C
0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
√ √ √ √ √ √ √ √ √
（Ⅱ）函数图象如下：
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.990，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
26.
在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线yax+bx+c(a>0)上任意两点，设2抛物线的对称轴为x=t．
（1）若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
（2）若对于0【答案】（1）t=（2）t≤1
23
2【解析】
21 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得(x,y)离对称轴更近，x111t，即可求解．
2222【小问1详解】
解：∵对于x1=1，x2=2有y1=y2，
x1+x23=，
22∴抛物线的对称轴为直线x∵抛物线的对称轴为x=t．
∴t=3；
2【小问2详解】
解：∵当0
∴1x1+x23<<，x1222∵y10，
∴(x,y)离对称轴更近，x111∴x1+x2>t，
21．
2即t≤【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
27.
在ABC中、∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
22 90°，证明见解析
【答案】（1）见解析
（2）∠AEF=【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得DM利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，2α，=DE，∠MDE=可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；
连接CH，AH，可得DE是VFCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，（2）延长FE到H使FE=EH，设DM=DE=m，CD=n，求出BFmCH，证明ABF≅ACH(SAS)，得到AF=AH，再根=2=据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，
∵∠C=α，
∴∠=DEC∠MDE=−∠Cα，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DM=DC，即D是MC的中点；
【小问2详解】
∠AEF=90°；
证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，
∵DF=DC，
∴DE是VFCH的中位线，
∴DE∥CH，CH=2DE，
由旋转的性质得：DM=DE，∠MDE=2α，
∴∠FCH=2α，
∵∠B=∠C=α，
∴∠ACH=α，ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACH，AB=AC，
设DM=DE=m，CD=n，则CH=2m，CM=m+n，
∴DF=CD=n，
∴FM=DF−DM=n−m，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=m+n，
23 ∴BF=BM−FM=m+n−(n−m)=2m，
∴CH=BF，
AB=AC∠ACH，
在△ABF和ACH中，∠B=BF=CH∴ABF≅ACH(SAS)，
∴AF=AH，
∵FE=EH，
90°．
∴AE⊥FH，即∠AEF=
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
28.
在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．对于O的弦AB和O外一点C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A(−1,0)，B1−2222B,−,
，22222�在点C1(−1,1)，C2(−2,0)，C30,2中，弦AB1的“关联点”是______．
�若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
（2）已知点M(0,3)，N()65,0．对于线段MN上一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的5“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
24 【答案】（1）C1，C2；OC（2）1≤t≤【解析】
=2
2326或≤t≤3．
33【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；
（2）根据M(0,3)，N655,0两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可．
【小问1详解】
解：�由关联点的定义可知，若直线CA，CB中一经过点O，另一条是O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，
22�点A(−1,0)，B1−2,2，C1(−1,1)，C2(−2,0)，C30,2，
�直线AC2经过点O，且BC2与O相切，
�C2是弦AB1的“关联点”，
()22y=−x上，
又�C1(−1,1)和A(−1,0)横坐标相等，与B1−2,2都位于直线�AC1与O相切，B1C1经过点O，
�C1是弦AB1的“关联点”．
22��A(−1,0)，B22,−2，
设C(a，b)，如下图所示，共有两种情况，
25
a、若C1B2与O相切，AC经过点O，
则Cy=x−1B2、AC1所在直线为：
2=0，
y解得：C1(2，0)，
�OC1=2，
b、若AC2与O相切，C2B2经过点O，
则Cx=−12B2、AC2所在直线为：y=−x，
解得：C2(−11，)，
�OC2=2，
综上，OC=2．
【小问2详解】
解：�线段MN上一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，
又�弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0,3)，N655,0，OM>ON，�S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，
26
�当S位于点M(0,3)时，MP为O的切线，作PJ⊥OM，
�M(0,3)，O的半径为1，且MP为O的切线，
�OP⊥MP，
�PJ⊥OM，
�MPO∽POJ，
�OPOJ=OM1OP，即=3，
解得OJ=1OJ3，
�根据勾股定理得，PJ=PO2−OJ2=223，Q1J=23
根据勾股定理，PQ231=Q1P2+Q1J2=3，同理，PQ2=Q2P2+Q62J2=23，�当S位于点M(0,3)时，PQ1的临界值为233和263．
�当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，
�点M(0,3)，N655,0，
�MN=OM2+ON2=955，
�OK=OM×ON÷MN=2，
27
又�O的半径为1，�∠OKZ=30°，
�三角形OPQ为等边三角形，
�在此情况下，PQ=1，PQ=3，
�当S位于经过点O的MN的垂直平分线上即点K时，PQ1的临界值为1和3，
�在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，
综上所述，t的取值范围为1≤t≤2323或63≤t≤3，
【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 28
29
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