2024年3月27日发(作者：2022沈阳高考数学试卷)
2021
年四川省成都市高考数学二诊试卷〔文科〕
一、选择题：本大题共
12
小题，每题
5
分，共
60
分．在每题给出的四个选项
中，只有一个是符合题目要求的．
1
．设集合
A=
[﹣
1
，
2
]，
B=
{
y
|
y=x
2
，
x
∈
A
}，那么
A
∩
B=
〔 〕
A
．[
1
，
4
]
B
．[
1
，
2
]
C
．[﹣
1
，
0
]
D
．[
0
，
2
]
为纯虚数，那么
z
1
在复平面内所
2
．假设复数
z
1
=a
+
i
〔
a
∈
R
〕，
z
2
=1
﹣
i
，且
对应的点位于〔 〕
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
3
．平面向量，的夹角为
A
．
1 B
．
C
．
2
，且||
=1
，||
=
，那么|﹣
2
|
=
〔 〕
D
．
4
．在等比数列{
a
n
}中，
a
3
=6
，
a
3
+
a
5
+
a
7
=78
，那么
a
5
=
〔 〕
A
．
12 B
．
18 C
．
24 D
．
36
5
．假设实数
x
，
y
满足不等式
A
．﹣
5 B
．
2 C
．
5 D
．
7
，那么
x
﹣
y
的最大值为〔 〕
6
．两位同学约定下午
5
：
30
～
6
：
00
在图书馆见面，且他们在
5
：
30
～
6
：
00
之
间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，
15
分钟后还未见面便离开，那
么两位同学能够见面的概率是〔 〕
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．
m
，
n
是空间中两条不同的直线，
α
、
β
是两个不同的平面，且
m
⊂
α
，
n
⊂
β
．有
以下命题：
①假设
α
∥
β
，那么
m
∥
n
；
②假设
α
∥
β
，那么
m
∥
β
；
③假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
n
⊥
l
，那么
α
⊥
β
；
④假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
m
⊥
n
，那么
α
⊥
β
．
其中真命题的个数是〔 〕
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
8
．
2
]时，
f
函数
f
〔
x
〕的定义域为
R
，当
x
∈[﹣
2
，〔
x
〕单调递减，且函数
f
〔
x
+
2
〕
为偶函数，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A
．
f
〔
π
〕＜
f
〔
3
〕＜
f
〔
〔
3
〕＜
f
〔
π
〕
D
．
f
〔
〕
B
．
f
〔
π
〕＜
f
〔
〕＜
f
〔
π
〕＜
f
〔
3
〕
〕＜
f
〔
3
〕
C
．
f
〔〕＜
f
9
．执行如下图的程序框图，假设输入
a
，
b
，
c
分别为
1
，
2
，
0.3
，那么输出的结
果为〔 〕
A
．
1.125 B
．
1.25 C
．
1.3125 D
．
1.375
﹣
=1
〔
a
＞
0
，
b
＞
0
〕的左右顶点分别为
A
1
，
A
2
，左右焦
10
．设双曲线
C
：
F
2
，点分别为
F
1
，以
F
1
F
2
为直径的圆与双曲线左支的一个交点为
P
，假设以
A
1
A
2
为直径的圆与
PF
2
相切，那么双曲线
C
的离心率为〔 〕
A
．
B
．
C
．
2 D
．
11
．函数
f
〔
x
〕
=sin
〔
ωx
+
2φ
〕﹣
2sinφcos
〔
ωx
+
φ
〕〔
ω
＞
0
，
φ
∈
R
〕在〔
π
，
上单调递减，那么
ω
的取值范围是〔 〕
A
．〔
0
，
2
]
B
．〔
0
，]
C
．[，
1
]
D
．[，]
〕
12
．把平面图形
M
上的所有点在一个平面上的射影构成的图形
M′
叫作图形
M
在
这个平面上的射影．如图，在长方体
ABCD
﹣
EFGH
中，
AB=5
，
AD=4
，
AE=3
，
那么△
EBD
在平面
EBC
上的射影的面积是〔 〕
A
．
2
B
．
C
．
10 D
．
30
二、填空题：本大题共
4
小题，每题
5
分，共
20
分〕
.
13
．设抛物线
C
：
y
2
=2x
的焦点为
F
，假设抛物线
C
上点
P
的横坐标为
2
，那么
|
PF
|
=
．
14
．在一个容量为
5
的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为
10
，但墨水
污损了两个数据，其中一个数据的十位数字
1
未污损，即
9
，
10
，
11
，
那么这组数据的方差
s
2
可能的最大值是 ．
15
．假设曲线
y=lnx
+
ax
2
﹣
2x
〔
a
为常数〕不存在斜率为负数的切线，那么实数
a
的取值范围是 ．
16
．在数列{
a
n
}中，
a
1
=1
，
a
1
+
项公式
a
n
=
．
三、解答题：本大题共
5
小题，共
70
分．解答写出文字说明、证明过程或演算
过程．
17
．〔
12
分〕如图，在平面四边形
ABCD
中，∠
A=
，∠
B=
，
AB=6
，在
．
++
…
+
=a
n
〔
n
∈
N
*
〕，那么数列{
a
n
}的通
，
AB
边上取点
E
，使得
BE=1
，连接
EC
，
ED
．假设∠
CED=
〔
Ⅰ
〕求
sin
∠
BCE
的值；
〔
Ⅱ
〕求
CD
的长．
，
EC=
18
．〔
12
分〕某项科研活动共进行了
5
次试验，其数据如表所示：
特征量
x
y
第
1
次
555
601
第
2
次
559
605
第
3
次
551
597
第
4
次
563
599
第
5
次
552
598
〔
Ⅰ
〕从
5
次特征量
y
的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于
600
的概率；
〔
Ⅱ
〕求特征量
y
关于
x
的线性回归方程
=x
+；并预测当特征量
x
为
570
时特征量
y
的值．
〔附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
=
，
=
﹣〕
19
．〔
12
分〕如图，梯形
CDEF
与△
ADE
所在的平面垂直，
AD
⊥
DE
，
CD
⊥
DE
，
AB
∥
CD
∥
EF
，
AE=2DE=8
，
AB=3
，
EF=9
，
CD=12
，连接
BC
，
BF
．
〔
Ⅰ
〕假设
G
为
AD
边上一点，
DG=DA
，求证：
EG
∥平面
BCF
；
〔
Ⅱ
〕求多面体
ABCDEF
的体积．
20
．〔
12
分〕在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
E
： +
=1
〔
a
＞
b
＞
0
〕，圆
O
：
x
2
+
y
2
=r
2
〔
0
＜
r
＜
b
〕．当圆
O
的一条切线
l
：
y=kx
+
m
与椭圆
E
相交于
A
，
B
两点．
〔
Ⅰ
〕当
k=
﹣，
r=1
时，假设点
A
，
B
都在坐标轴的正半轴上，求椭圆
E
的方
程；
b
，
r
是否满足〔
Ⅱ
〕假设以
AB
为直径的圆经过坐标原点
O
，探究
a
，
并说明理由．
21
．〔
12
分〕函数
f
〔
x
〕
=
〔
a
+〕
lnx
﹣
x
+，其中
a
＞
0
．
〔
Ⅰ
〕假设
f
〔
x
〕在〔
0
，+∞〕上存在极值点，求
a
的取值范围；
+
=
，
〔
Ⅱ
〕设
a
∈〔
1
，
e
]，当
x
1
∈〔
0
，
1
〕，
x
2
∈〔
1
，+∞〕时，记
f
〔
x
2
〕﹣
f
〔
x
1
〕
的最大值为
M
〔
a
〕，那么
M
〔
a
〕是否存在最大值？假设存在，求出其最大值；
假设不存在，请说明理由．
[选修
4-4
：坐标系与参数方程选讲]
22
．〔
10
分〕在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为〔
α
为
参数〕，直线
l
的参数方程为〔
t
为参数〕，在以坐标原点
O
为极
点，
x
轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点
O
的射线与曲线
C
相交于不同
于极点的点
A
，且点
A
的极坐标为〔
2
〔
Ⅰ
〕求
θ
的值；
〔
Ⅱ
〕假设射线
OA
与直线
l
相交于点
B
，求|
AB
|的值．
[选修
4-5
：不等式选讲]
23
．函数
f
〔
x
〕
=4
﹣|
x
|﹣|
x
﹣
3
|
〔
Ⅰ
〕求不等式
f
〔
x
+〕≥
0
的解集；
〔
Ⅱ
〕假设
p
，
q
，
r
为正实数，且
++
=4
，求
3p
+
2q
+
r
的最小值．
，
θ
〕，其中
θ
∈〔，
π
〕
2021
年四川省成都市高考数学二诊试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共
12
小题，每题
5
分，共
60
分．在每题给出的四个选项
中，只有一个是符合题目要求的．
1
．设集合
A=
[﹣
1
，
2
]，
B=
{
y
|
y=x
2
，
x
∈
A
}，那么
A
∩
B=
〔 〕
A
．[
1
，
4
]
B
．[
1
，
2
]
C
．[﹣
1
，
0
]
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合
A
和
B
，由此利用交集定义能求出
A
∩
B
．
【解答】解：∵集合
A=
[﹣
1
，
2
]，
B=
{
y
|
y=x
2
，
x
∈
A
}
=
[
0
，
4
]，
∴
A
∩
B=
[
0
，
2
]．
应选：
D
．
【点评】此题考查交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的
合理运用．
2
．假设复数
z
1
=a
+
i
〔
a
∈
R
〕，
z
2
=1
﹣
i
，且
对应的点位于〔 〕
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
为纯虚数，那么
z
1
在复平面内所
D
．[
0
，
2
]
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法那么、纯虚数的定义、几何意义即可得出．
ia
∈
R
〕
z
2
=1
﹣
i
，【解答】解：复数
z
1
=a
+〔，且
为纯虚数，∴
∴
a=1
．
那么
z
1
在复平面内所对应的点〔
1
，
1
〕位于第一象限．
应选：
A
．
=0
，≠
0
，
===
+
i
【点评】此题考查了复数的运算法那么、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理
能力与计算能力，属于根底题．
3
．平面向量，的夹角为
A
．
1 B
．
C
．
2
，且||
=1
，||
=
，那么|﹣
2
|
=
〔 〕
D
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣
2
的坐标，从而求出﹣
2
的模即
可．
【解答】解：平面向量，的夹角为
不妨设
=
〔
1
，
0
〕，
=
〔，
那么﹣
2=
〔，﹣
故|﹣
2
|
=
应选：
A
．
【点评】此题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道根底题．
4
．在等比数列{
a
n
}中，
a
3
=6
，
a
3
+
a
5
+
a
7
=78
，那么
a
5
=
〔 〕
A
．
12 B
．
18 C
．
24 D
．
36
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设公比为
q
，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解：设公比为
q
，
∵
a
3
=6
，
a
3
+
a
5
+
a
7
=78
，
∴
a
3
+
a
3
q
2
+
a
3
q
4
=78
，
∴
6
+
6q
2
+
6q
4
=78
，
解得
q
2
=3
∴
a
5
=a
3
q
2
=6
×
3=18
，
应选：
B
【点评】此题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于根底题．
=1
，
〕，
〕，
，且||
=1
，||
=
，
5
．假设实数
x
，
y
满足不等式
A
．﹣
5 B
．
2 C
．
5 D
．
7
，那么
x
﹣
y
的最大值为〔 〕
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得
到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
由图得
A
〔
0
，﹣
2
〕，
令
z=x
﹣
y
，化为
y=x
﹣
z
，由图可知，当直线
y=x
﹣
z
过
A
时，直线在
y
轴上的
截距最小，
z
有最大值为
2
．
应选：
B
．
【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6
．两位同学约定下午
5
：
30
～
6
：
00
在图书馆见面，且他们在
5
：
30
～
6
：
00
之
间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，
15
分钟后还未见面便离开，那
么两位同学能够见面的概率是〔 〕
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】几何概型．
【分析】由题意知此题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是
Ω
：{〔
x
，
y
〕|
0
≤
x
≤
30
，
0
≤
y
≤
30
}，做出集合对应的面积是边长为
30
的正方
形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．
【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，
故样本点由两个数〔甲、乙两人各自到达的时刻〕组成；
以
5
：
30
作为计算时间的起点建立如下图的平面直角坐标系，
设甲、乙各在第
x
分钟和第
y
分钟到达，那么样本空间为：
Ω
：{〔
x
，
y
〕|
0
≤
x
≤
30
，
0
≤
y
≤
30
}，画成图为一正方形；
会面的充要条件是|
x
﹣
y
|≤
15
，即事件
A=
{可以会面}所对应的区域是图中的阴
影线局部，
∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，
即
P
〔
A
〕
=
应选：
D
．
=
．
【点评】此题考查了把时间分别用
x
，
y
坐标来表示，把时间一维问题转化为平
面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．
7
．
m
，
n
是空间中两条不同的直线，
α
、
β
是两个不同的平面，且
m
⊂
α
，
n
⊂
β
．有
以下命题：
①假设
α
∥
β
，那么
m
∥
n
；
②假设
α
∥
β
，那么
m
∥
β
；
③假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
n
⊥
l
，那么
α
⊥
β
；
④假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
m
⊥
n
，那么
α
⊥
β
．
其中真命题的个数是〔 〕
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，
即可得出结论．
【解答】解：①假设
α
∥
β
，那么
m
∥
n
或
m
，
n
异面，不正确；
②假设
α
∥
β
，根据平面与平面平行的性质，可得
m
∥
β
，正确；
③假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
n
⊥
l
，那么
α
与
β
不一定垂直，不正确；
④假设
α
∩
β=l
，且
m
⊥
l
，
m
⊥
n
，
l
与
n
相交那么
α
⊥
β
，不正确．
应选：
B
．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行
或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决此题的关键．
8
．
2
]时，
f
函数
f
〔
x
〕的定义域为
R
，当
x
∈[﹣
2
，〔
x
〕单调递减，且函数
f
〔
x
+
2
〕
为偶函数，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A
．
f
〔
π
〕＜
f
〔
3
〕＜
f
〔
〔
3
〕＜
f
〔
π
〕
D
．
f
〔
〕
B
．
f
〔
π
〕＜
f
〔
〕＜
f
〔
π
〕＜
f
〔
3
〕
〕＜
f
〔
3
〕
C
．
f
〔〕＜
f
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的奇偶性，推导出
f
〔﹣
x
+
2
〕
=f
〔
x
+
2
〕，再利用当
x
∈[﹣
2
，
2
]时，
f
〔
x
〕单调递减，即可求解．
【解答】解：∵
y=f
〔
x
+
2
〕是偶函数，∴
f
〔﹣
x
+
2
〕
=f
〔
x
+
2
〕，
∴
f
〔
3
〕
=f
〔
1
〕，
f
〔
π
〕
=f
〔
4
﹣
π
〕，
∵
4
﹣
π
＜
1
＜，当
x
∈[﹣
2
，
2
]时，
f
〔
x
〕单调递减，
〕，
∴
f
〔
4
﹣
π
〕＞
f
〔
1
〕＞
f
〔
∴
f
〔〕＜
f
〔
3
〕＜
f
〔
π
〕，
应选
C
．
【点评】此题考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
9
．执行如下图的程序框图，假设输入
a
，
b
，
c
分别为
1
，
2
，
0.3
，那么输出的结
果为〔 〕
A
．
1.125 B
．
1.25 C
．
1.3125 D
．
1.375
【考点】程序框图．
b
的值，
b=1.5
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的
a
，当
a=1.25
，
时满足条件|
a
﹣
b
|＜
0.3
，退出循环，输出
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=1
，
b=2
，
c=0.3
执行循环体，
m=
，不满足条件
f
〔
m
〕
=0
，
满足条件
f
〔
a
〕
f
〔
m
〕＜
0
，
b=1.5
，不满足条件|
a
﹣
b
|＜
c
，
m=1.25
，不满足条件
f
〔
m
〕
=0
，不满足条件
f
〔
a
〕
f
〔
m
〕＜
0
，
a=1.25
，满足条
件|
a
﹣
b
|＜
c
，
退出循环，输出
应选：
D
．
【点评】此题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环
得到的
a
，
b
的值是解题的关键，属于根底题．
10
．设双曲线
C
：﹣
=1
〔
a
＞
0
，
b
＞
0
〕的左右顶点分别为
A
1
，
A
2
，左右焦
的值为
1.375
．
的值为
1.375
．
F
2
，点分别为
F
1
，以
F
1
F
2
为直径的圆与双曲线左支的一个交点为
P
，假设以
A
1
A
2
为直径的圆与
PF
2
相切，那么双曲线
C
的离心率为〔 〕
A
．
B
．
C
．
2 D
．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得
PF
1
=2a
，
PF
2
=4a
，再根据
勾股定理得到
a
，
c
的关系式，即可求出离心率．
【解答】解：如下图，由题意可得
OQ
∥
F
1
P
，
OQ=OA
2
=a
，
OF
2
=C
，
F
1
F
2
=2c
，
∴
==
，
∴
PF
1
=2a
，
∵点
P
为双曲线左支的一个点，
∴
PF
2
﹣
PF
1
=2a
，
∴
PF
2
=4a
，
∵以
F
1
F
2
为直径的圆与双曲线左支的一个交点为
P
，
∴∠
F
1
PF
2
=90°
∴〔
2a
〕
2
+〔
4a
〕
2
=
〔
2c
〕
2
，
∴
=3
，
，
∴
e==
应选：
B
【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|
2a
|的点所组成的
图形即为双曲线．考查了数形结合思想、此题凸显解析几何的特点：
“
数研究形，
形助数〞，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．
11
．函数
f
〔
x
〕
=sin
〔
ωx
+
2φ
〕﹣
2sinφcos
〔
ωx
+
φ
〕〔
ω
＞
0
，
φ
∈
R
〕在〔
π
，
上单调递减，那么
ω
的取值范围是〔 〕
A
．〔
0
，
2
]
B
．〔
0
，]
C
．[，
1
]
D
．[，]
〕
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用积化和差公式化简
2sinφcos
〔
ωx
+
φ
〕
=sin
〔
ωx
+
2φ
〕﹣
sinωx
．可将
函数化为
y=Asin
〔
ωx
+
φ
〕的形式，在〔
π
，
图象和性质，建立关系可求
ω
的取值范围．
【解答】解：函数
f
〔
x
〕
=sin
〔
ωx
+
2φ
〕﹣
2sinφcos
〔
ωx
+
φ
〕〔
ω
＞
0
，
φ
∈
R
〕．
化简可得：
f
〔
x
〕
=sin
〔
ωx
+
2φ
〕﹣
sin
〔
ωx
+
2φ
〕+
sinωx
=sinωx
，
由
得：
+
+
，〔
k
∈
Z
〕上单调递减，
，
，]，〔
k
∈
Z
〕．
〕上单调递减，结合三角函数的
∴函数
f
〔
x
〕的单调减区间为：[
∵在〔
π
，〕上单调递减，
可得：
∵
ω
＞
0
，
ω
≤
1
．
应选
C
．
【点评】此题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，
利用三角函数公式将函数进行化简是解决此题的关键．属于中档题．
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