2023年12月3日发(作者：数学试卷阳光夺冠)

一、选择题〔本大题共18小题,每小题3分,共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均你不得分。

1.已知集合A=｛1,2,3｝,B｛1,3,4,｝,则A∪B=

A.｛1,3｝ B.｛1,2,3｝ C.｛1,3,4｝ D.｛1,2,3,4｝

2.已知向量a=〔4,3,则|a|=

A.3 B.4 C.5 D.7

3.设为锐角,sin=1,则cos=

322622 A. B. C. D.

21=

411 C. D.2

22x

2 A.-2 B.-5.下面函数中,最小正周期为π的是

A.y=sinx B.y=cosx C.y=tanx D.y=sin6.函数y=2x1的定义域是

x1 A.<-1,2] B.[-1,2] C.<-1,2> D.[-1,2>

7.点〔0,0到直线x+y-1=0的距离是

A.23 B. C.1 D.2

228.设不等式组 内的个数为

xy＞0,所表示的平面区域为M,则点〔1,0〔3,2〔-1,1中在M

2xy4＜0 A.0 B.1 C.2 D.3

9.函数f=x·1n|x|的图像可能是

10.若直线l不平行于平面a,且la则

A.a内所有直线与l异面 B.a内只存在有限条直线与l共面

C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内存在无数条直线与l相交

11.图〔1是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体,将其绕1 / 6 着棱DD1逆时针旋转45°,得到如图〔2的集合体的正视图为

〔1 〔2

〔第11题图

12.过圆x=y-2x-8=0的圆心,且与直线x=2y=0垂直的直线方程是

A.2x=y=2=0 B.x=2y-1=0

C.2x=y-2=0 D.2x-y-2=0

13.已知a,b是实数,则\"|a|＜1且|b|＜1”是\"a+b＜1”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2222x2y214.设A,B为椭圆22=1〔a＞b＞0的左、右顶点,P为椭圆上异于A,B的点,直线

ab PA,PB的斜率分别为k1k2.若k1·k2=-3,则该椭圆的离心率为

4 A.3111 B. C. D.

243215.数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3an-n·n∈N﹡,则下列为等比数列的是

2 A.{an+1} B.{an-1} C.{Sn+1} D.{Sn-1}

16.正实数x,y满足x+y=1,则1y1的最小值是

xy11

2 A.3+2 B.2+22 C.5 D.217.已知1是函数f=ax+bx+c的一个零点,若存在实数x0,使得f

＜0,则f的另一个零点可能是

13 C.x0+ D.x0+2

22118.等腰直角△ABC斜边BC上一点P满足CP≤CB,将△CAP沿AP翻折至△C′AP,使两面

4 A.x0-3 B.x0-角C′—AP—B为60°记直线C′A,C′B,C′P与平面APB所成角分别为a,β,,则

A.a＜β＜ B.a＜＜β C.β＜a＜ D.＜a＜β

二、填空题〔本大题共4小题,每空3分,共15分。

19.设数列{an}的前n项和Sn,若an=2n-1,n∈N﹡,则a1=▲,S3=▲.

2 / 6 x2y220.双曲线=1的渐近线方程是▲.

91621.若不等式∣2x-a∣+∣x+1∣≥1的解集为R,则实数a的取值范围是▲.

22.正四面体A—BCD的棱长为2,空间动点P满足PBPC=2,则AP·AD的取值范围是

▲.

三、解答题〔本大题共3小题,共31分。

23.〔本题10分在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知cos A= 〔1求角A的大小；

〔2若b=2,c=3,求a的值；

1.

2+B的最大值.

6224.〔本题10分如图,抛物线x=y与直线y=1交于M,N两点.Q为抛物线上异于M,N的

〔3求2sinB+cos〔 任意一点,直线MQ与x轴、y轴分别交于点A,B,直线NQ与x轴、y轴分别交于C,D.

〔1求M,N两点的坐标；

〔2证明：B,D两点关于原点O对称；

〔3设△QBD,△QCA的面积分别为S1,S2,

若点Q在直线y=1的下方,求S2-S1的最小值.

25.〔本题11分已知函数g =-t·2x1-3x1,h=t·2x3x,

其中x,t∈R. 〔第24题图

〔1求<2>-h<2>的值〔用t表示；

〔2定义[1,+∞上的函数f(x)如下：

g(x)x2k1.2k,〔k∈N﹡.

f(x)h(x)x2k,2k1 若f(x)在[1,m上是减函数,当实数m取最大值时,求t的取值范围.

一、选择题〔本大题共18小题,每小题3分,共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均你不得分。

题号

答案

1

D

2

C

3

D

4

A

5

C

6

A

7

A

8

B

9

D

10

D

3 / 6 题号

答案

11

B

12

D

13

B

14

C

15

A

16

B

17

B

18

C

二、填空题〔本大题共4小题,每空3分,共15分。

19. 1,9 20.y=4x 21.<-∞,-4]∪[0,+∞> 22.[0,4]

31,且A是三角形的内角.

2三、解答题〔本大题共3小题,共31分。

23.解：〔1因为cos A- 因此

A= 〔2由余弦定理知

a=b+c-2bccosA

=7.

因此

a=7

〔3因为

2sin B+cos<222

333+B>=sin B+cos B

262 =3sin

0＜B＜ 所以,当B->.

62.

3时,2sinB+cos<+B>取最大值3.

36yx2x1x124.解：〔1由,解得,或.

y1y1y1 因此M,N的坐标为M〔-1,1,N〔1,1.

〔2设点Q的坐标为Q〔x0,x0,则

直线MQ的方程为

y=〔x+1+1.

24 / 6 令x=0.得点B的坐标为B〔0,x0.

直线NQ的方程为

y=〔x-1+1.

令x=0.得点D的坐标为D〔0,-x0.

综上所述,点B,D关于原点O对称.

〔3由〔2得∣BD∣=2∣x0∣,因此S1=12.∣BD∣·∣x0∣=x0.

2x0,0

1x0 在直线MQ的方程中,令y=0,得A〔 在直线NQ的方程中,令y=0,得C〔x0,0.

1x0 因此

2x0x02x0 |AC|=|-|=,

21x01x01x04x012 S2=·|AC|·x0=,

221x044x02x02 S2-S1=-x0=,

221x01x0 令t=1-x0,由题意得-1＜x0＜1,所以0＜t≤1,

因此

S2-S1=〔2t+>-3≥22-3,

当且仅当t=2,即x0=22时取等号.

22 综上所述,S2-S1的最小值是22-3.

25.解：〔1g<2>-h<2>=-12t-18.

〔2由g<2>≥h<2>及h<3>≥g<3>,得- 此时

g<4>-h<4>=-48t-162＜0,

21t39≤t≤-,

245 / 6 所以

m≤4.

①任取x1x2∈[1,+∞,且x1＜x2,那么2 因为

〔 所以

2 因此

g-g=<-t·2 =2 即

g＞g .

从而g在[1,+∞]上为减函数,故g在[3,4上都是减函数,

x21x11x21x11＞0.

93x213x1>+t＞<>1+t≥+t≥0,

4223x213x1x1>+t]＞21[<>1+t].

22[<-3x11>-<-t2x21-3x21>

[<3x213x1x1>+t]-21[<>1+t]＞0,

223xx②因为-9≤t≤-,所以h=t·2-3在[2,3上为减函数.

24 综上所述,f(x)在[1,m>上是减函数,实数m的最大值为4,此时t的取

值范围是[-9,-3].

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