数学分支

2023年12月31日发(作者：河南2011高考数学试卷)

数学分支学科的历史发展

摘要：

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本文简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

关键字：

代数学 几何学 分析学

代数学范畴

一、算术

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指研究自然数(正整数)、分数、小数的简单性质，及其加、减、乘、除、乘方、开方运算法则的一门学科,是数学中最基础的部分,中国古代将数学和数学书也统称为算术。如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其他分支的最坚实的基础。

二、代数学

数学的一门重要分科。由算术发展而来。用字母表示数，研究数和字母以及字母表达式的运算和变换。早期代数学围绕求解代数方程和方程组而展开，主要包括：方程根的个数及分布，方程可解性的条件，方程根与系数的关系等。19世纪后期，代

数学的研究对象扩大到向量、矩阵等更一般元素的运算规律，并采用公理化的方法，另：韦达在其《分析引论》中第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，有不同的字母代表已知量和未知量。他把符号性代数称作“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数。这就使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。

代数大致分为以下几类：

基本代数：学习以位置标志符标记常数和变数的符号，与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。 (通常也会涉及到中等代数和大学代数的部分范围。)

基本代数大体主要分为初等代数和高等代数。

（一）初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。

古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。

代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。探究群、环、域等抽象代数结构的本质特性，从而形成近世代数学(又称抽象代数学）。

16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。

“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。

（二）高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。

1683年关孝和(日本人)最早引入行列式概念。关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯雷在1855年引入了矩阵的概念，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的研究报告》。

19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了千余篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。

多项式代数的研究始于对3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题。1540年，费尔拉里成功地发现了一般4次方程的代数解法。人们继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在200多年中付诸东流。

1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明(有不完善之处)。这个定理断言：每一个实系数或复系数的n次代数方程，至少有一个实根或复根。因此，一般地说，n次代数方程应当有n个根。1799年，22岁的高斯在写博士论文中，

给出了这个定理的第一个严格的证明。1824年，22岁的阿贝尔证明了：高于4次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根。1828年，年仅17岁的伽罗华创立了“伽罗华理论”，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。

抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等。这些代数结构是在集合上定义运算而来，而集合上的运算则适合某些公理。

1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯雷设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是相容的)，就能研究出许多种代数体系。

1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。

1926年，诺特完成了理想(数)理论；1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。

到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。典型的代数系统有群、环、域等，它们主要起源于19世纪的群论，包含有群论、环论、伽罗华理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。

线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。是代数学的一个分支。早期研究线性方程组的解法，后来拓展为研究一般向量空间的结构，以及线性变换的标

准形式和不变量等。不仅在其他数学分支，而且在物理学、经济学和工程技术等方面都有广泛的应用。

线性代数的研究最初出现于对行列式的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。莱布尼茨在1693年使用了行列式。随后，加布里尔·克拉默在1750年推导出求解线性方程组的克莱姆法则。然后，高斯利用高斯消元法发展出求解线性系统的理论。这也被列为大地测量学的一项进展。现代线性代数的历史可以上溯到19世纪中期的英国。1843年，哈密顿发现了四元数。1844年，赫尔曼·格拉斯曼发表了他的著作《线性外代数》，包括了今日线性代数的一些主题。1848年，詹姆斯·西尔维斯特引入了矩阵。阿瑟·凯莱在研究线性变换时引入了矩阵乘法和转置的概念。很重要的是，凯莱使用了一个字母来代表一个矩阵，因此将矩阵当做了聚合对象。他也意识到矩阵和行列式之间的联系。不过除了这些早期的文献以外,线性代数主要是在二十世纪发展的。在抽象代数的环论开发之前，矩阵只有模糊不清的定义。随着狭义相对论的到来，很多开拓者发现了线性代数的微妙。进一步的，解偏微分方程的克莱姆法则的例行应用导致了大学的标准教育中包括了线性代数。

泛代数：讨论所有代数结构的共有性质。以一般代数系统为研究对象的一个数学分支。在诸如矩阵群、置换群、变换群等具体的群概念基础上，经过抽象概括而得出抽象群的概念；与此类似，可以在一般的群、环、布尔代数、模、格、半群等等概念之上再抽象，得出能概括它们的共性的更加一般的概念。这种方法和任务，早在1898年A.N.怀特海就已提出了，但是直到20世纪30年代末期在G.伯克霍夫的著名工作之后，泛代数才真正发展起来。

计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的演算法。

逻辑代数： 又称“布尔代数”、“开关代数”。研究逻辑问题的一门数学。是现代数学中的一个重要分支。由英国数学家布尔提出。其逻辑变量的取值仅为“0”和“1”。基本逻辑运算有“与”、“或”、“非”等。是设计计算机的有力工具。

三、数论

数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。 --卡尔·弗里德里希·高斯

数论是纯粹数学的分枝，专门研究整数的性质，产生了很多一般人也能理解而又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想。很多诸如此类的问题虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。

数论是数学的一个分科，主要研究正整数的性质及其有关的规律。按研究方法的不同，大致可分为初等数论﹑代数数论﹑几何数论﹑解析数论等。

初等数论：是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国余数定理、费马小定理、二次互逆律等等。古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

解析数论：是在初等数论无法解决的情况下发展起来的，因为，如果有了一个可以表达所有素数的素数普遍公式，一些由解析数论范围的内容，就自动转到初等数论的范围内。例如孪生素数猜想。以及哥德巴赫猜想。它借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。

代数数论：引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有相当关

联, 比如类域论(class field theory) 就是此间的颠峰之作.它是数论的一个重要分支。它以代数整数，或者代数数域为研究对象，不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之，代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P. de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时，在书边上写下了著名的\"大定理\"，即方程x^n + y^n = z^n(n>2)没有xyz≠0的整数解。

算术几何：研究有理系数多变数方程组的有理数点, 其结构(主要是个数)和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系,有名的费玛猜想 , Mordell 猜想, Weil 猜想, 和七个一百万问题中的 Birch-Swiner-Dyer 猜想都属此类。

几何数论：又称数的几何，应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。主要在于透过几何观点研究整数（在此即格点）的分布情形。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。最著名的定理为闵可夫斯基不等式（Minkowski 定理）。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才可以深入研究。

计算数论：借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。

超越数论：研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。

组合数论：利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。

以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。

早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》

中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7„„的倍数(各自的2倍，3倍，„„)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。

丢番图的《算术》中给出了求x?＋y?＝z?所有整数解的方法。费尔马指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。

数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。

几何学范畴

几何学（geometry）是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。几何是近代数学的两大领域之一，另外一个是研究数量关系的领域。现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大幅提高，并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合，很多分支几乎无法认出是从早期的几何学传承而来。几何学是研究空间区域关系的数学分支。“几何学”这个词，是来自阿拉伯文，原来的意义是“测量土地技术”。“几何学”这个词一直沿用到今天。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么一句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。 谁把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？这是明末杰出的科学家徐光启。最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。

几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及（参看古埃及数学），古印度（参看古印度数学），和古巴比伦（参看古巴比伦数学），其年代大约始于公元前3000

年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们。例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。

中国文明和其对应时期的文明发达程度相当，因此它可能也有同样发达的数学，但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用，而不是用陶土或者石刻来记录他们的成就。

欧几里得几何：简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。

解析几何：用代数方法解决几何学问题的学科。解析几何中，用坐标表示点，用坐标间的关系表示和研究空间图形的性质。解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何。

解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

分析学范畴

数理逻辑与数学基础：递归论, 模型论, 证明论, 公理集合证, 数理逻辑范畴论，它们都属于分析学范畴。

数理逻辑：亦称“符号逻辑”。狭义指用数学方法研究数学中的演绎思维以及数学基础的学科。广义指一切用符号和数学方法处理和研究演绎法的学问。既是数学的一个分支，又是逻辑学的一个分支。数理逻辑对数学研究和工程技术有重要意义，对一般思维中某些问题的解决也有成效。

数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。

数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。

1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。

模型论：是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型” 的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。模型论（Model theory）是数学的一个学科，模型论的一些重要定理，如紧致性定理，L－S－T 定理，省略型定理， 插值定理等等，不仅对逻辑，集合论，递归论的研究有重要作用 ，而且也在数论、代数、拓扑等数学学科中得到应用。用模型论手法来研究逻辑系统，也叫做模型论逻辑；用模型论方法比较各种逻辑系统的强弱，分析各种逻辑系统的特点，叫抽象逻辑的模型论。用递归论方法研究模型论问题产生递归模型论。只研究有限模型的构造和判定叫有限模型论 。 用模型论的思想去研究代数结构、群、环、模、域等叫做代数模型论。研究模型分类的理论叫稳定性理论。现代模型论对计算机科学也有一定影响。

证明论：是数理逻辑的一个分支，它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。

数学中的证明一向是逻辑学家研究的对象，但证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要证明公理系统的无矛盾性，希尔伯特提出一整套严格的方案，规定只能用有限长的证明，要无可辩驳地给出整个数学的无矛盾性。他打算先给出公理化的算术系统的无矛盾性，再证明数学分析，集合论的无矛盾性。但1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定理。这个结果使希尔伯特方案成为不可能。但1936年，G.根岑降低了希尔伯特的要求，允许使用无穷长的证明，证明了算术公理系统的无矛盾性。到1960年，数学分析的一些片断的无矛盾性也被证明。20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明。数学证明中的结构，证明的复杂性，数学中不可判定问题都成为证明论的研究课题，1977年，J.帕里斯发现算术理论中的一个自然的而又是不可判定的命题，这是一个重大发现。它使算术中自然的不可判定命题的研究越来越受人注意。

递归论或可计算性理论:是一个数理逻辑分支，研究解决问题的可行的计算方法和计算的复杂程度的一门学科，尤其是研究递归涵数及其推广。它起源于可计算函数和图灵度的研究。它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论有所重叠。递归论研究的函数主要包括本原函数、原始递归函数、递归半函数和递归全函数或称一般递归函数、可摹状函数等等。

公理化集合论:用形式化公理化方法研究集合论的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。在数学中，公理化集合理是集合论透过建立一阶逻辑的严谨重整，以解決元素集合论中出現的悖论。集合论的基础主要由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世紀未建立。

范畴论：是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论。有些人开玩笑的称之为“一般化的抽象的胡说”.范畴论出现在很多数学分支中，以及理论计算机科学和数学物理的一些领域。所谓一个范畴就是试图抓住一类数学对象(比如群论中的群)的本质的数学结构。传统的作法是要集中注意力于这些数学对象(比如群)本身，

范畴论的作法则是要强调数学对象间保持对象结构不变的态射。以群论为例，保持对象结构不变的映射就是所谓的群同态。不同的范畴可以用函子相联系。函子是一般化了的函数。函子把一个范畴中的对象和另一个范畴中的对象联系起来，同时把前一个范畴中的态射和后一个范畴中的态射也联系起来。许多时候一些“自然构造”，比如拓扑空间的基本群，可以用函子来表达。更进一步，这些构造“自然的发生联系”。这就引出了自然变换的概念。所谓自然变换，就是把一个函子映射为另一个函子。数学中经常会遇到“自然同构”，自然同构的两个数学对象(本质上)是正则相关的。自然同构的概念可以精确的描述这一现象。

可见，数学知识博大精深，数学各个分支纵横交错，正如赫尔曼外尔说的——数学是无穷的科学。我们应该认真学习数学文化知识。

参考文献：

1、钱伟长 《哥丁根学派的追求》.《文汇报》.2002-8

2、Morris Kline 《古今数学思想》1-4册.上海科学技术出版社.2006-1

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