2023年12月10日发(作者：黄石中考2021数学试卷)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）

使用省份：海南､辽宁､重庆

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.

复数2i在复平面内对应的点所在的象限为（

）

13iB.

第二象限 C.

第三象限 D.

第四象限

A.

第一象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法可化简2i，从而可求对应的点的位置.

13i112i2i13i55i1i【详解】，所以该复数对应的点为,，

2213i10102该点在第一象限，

故选：A.

2.

设集合U{1,2,3,4,5,6},A{1,3,6},B{2,3,4}，则AA.

{3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求AUB.

【详解】由题设可得故选：B.

3.

抛物线y22px(p0)的焦点到直线yx1的距离为2，则p（

）

A. 1

【答案】B

【解析】

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.

B. 2 C.

22 D. 4

UUB（

）

D.

{1,3} B.

{1,6} C.

{5,6}

B1,5,6，故AUB1,6，

p【详解】抛物线的焦点坐标为,0，

2第1页/共21页 p01xy10其到直线的距离：，

2d211解得：p2(p6舍去).

故选：B.

4.

北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S2r2(1cos)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（

）

A. 26%

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

B. 34% C. 42% D. 50%

2r(1cos)1cos24r2故选：C.

2164006400360000.4242%.

25.

正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）

A.

20123

【答案】D

【解析】

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

B.

282 C.

56

3D.

282

3第2页/共21页 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台的高h2222222，

下底面面积S116，上底面面积S24，

1128VhSSSS2164642. 所以该棱台的体积1212333故选：D.

26.

某物理量的测量结果服从正态分布N10,，下列结论中不正确的是（

）

A.

越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.

该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.

该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.

该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】对于A，2为数据的方差，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.1内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率第3页/共21页 不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故D错误.

故选：D.

7.

已知alog52，blog83，cA.

cba

【答案】C

【解析】

【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.

【详解】alog52log55故选：C.

8.

已知函数fx的定义域为R，fx2为偶函数，f2x1为奇函数，则（

）

B.

bac

1，则下列判断正确的是（

）

2C.

acb D.

abc

1log822log83b，即acb.

21A.

f0

2【答案】B

【解析】

B.

f10 C.

f20 D.

f40

【分析】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f10，结合已知条件可得出结论.

【详解】因为函数fx2为偶函数，则f2xf2x，可得fx3f1x，

因为函数f2x1为奇函数，则f12xf2x1，所以，f1xfx1，

所以，fx3fx1fx1，即fxfx4，

故函数fx是以4为周期的周期函数，

因为函数Fxf2x1为奇函数，则F0f10，

故f1f10，其它三个选项未知.

故选：B.

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有第4页/共21页 多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.

下列统计量中，能度量样本x1,x2,A.

样本x1,x2,C.

样本x1,x2,【答案】AC

【解析】

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

10.

如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是（

）

,xn的离散程度的是（

）

B.

样本x1,x2,D.

样本x1,x2,,xn的标准差

,xn的极差

,xn的中位数

,xn的平均数

A. B.

C. D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2，

第5页/共21页 对于A，如图（1）所示，连接AC，则MN//AC，

故POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角，

在直角三角形OPC，OC2，CP1，故tanPOC故MNOP不成立，故A错误.

12，

22

OQ，QNT对于B，如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，则OPQMN， ，由正方体SBCMNADT可得SN平面ANDT，而OQ平面ANDT，

故SNOQ，而SNMNN，故OQ平面SNTM，

PQQ， 又MN平面SNTM，OQMN，而OQ所以MN平面OPQ，而PO平面OPQ，故MNOP，故B正确.

对于C，如图（3），连接BD，则BD//MN，由B的判断可得OPBD，

第6页/共21页 故OPMN，故C正确.

对于D，如图（4），取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，

则AC//MN，

因为DPPC，故PQ//AC，故PQ//MN，

所以QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

因为正方体的棱长为2，故PQ1AC2，OQAO2AQ2123，

2222POPK2OK2415，QOPQOP，故QPO不是直角，

故PO,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

11.

已知直线l:axbyr20与圆C:x2y2r2，点A(a,b)，则下列说法正确的第7页/共21页 是（

）

A.

若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

相离

C.

若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

C相切

【答案】ABD

【解析】

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】圆心C0,0到直线l的距离dD.

若点A在直线l上，则直线l与圆B.

若点A在圆C内，则直线l与圆Cr2ab22，

若点Aa,b在圆C上，则a2b2r2，所以d则直线l与圆C相切，故A正确；

若点Aa,b在圆C内，则a2b2r2，所以d则直线l与圆C相离，故B正确；

若点Aa,b在圆C外，则abr，所以d222r2ab22=r，

r2ab22>r，

r2ab22

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点Aa,b在直线l上，则a2b2r20即a2b2=r2，

所以dr2ab22=r，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

12.

设正整数na020a12ak12k1ak2k，其中ai0,1，记na0a1A.

2nn

ak．则（

）

B.

2n3n1

nD.

21n C.

8n54n3

第8页/共21页 【答案】ACD

【解析】

【分析】利用n的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】对于A选项，na0a1ak，2na021a122ak12kak2k1，

akn，A选项正确； 所以，2na0a1对于B选项，取n2，2n37120121122，73，

而2020121，则21，即721，B选项错误；

对于C选项，8n5a023a124ak2k35120122a023a124ak，

ak2k3，

所以，8n52a0a14n3a022a123ak2k23120121a022a123ak2k2，

所以，4n32a0a1对于D选项，2n12021故选：ACD.

ak，因此，8n54n3，C选项正确；

n2n1，故21n，D选项正确.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

x2y213.

若双曲线221的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.

ab【答案】y3x

【解析】

【分析】根据离心率得出c2a，结合a2b2c2得出a,b关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】解：由题可知，离心率ec2，即c2a，

a第9页/共21页 又a2b2c24a2，即b23a2，则b3，

a故此双曲线的渐近线方程为y3x.

故答案为：y3x.

14.

写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx:_______．

①fx1x2fx1fx2；②当x(0,)时，f(x)0；③f(x)是奇函数．

42n*【答案】fxx（答案不唯一，fxxnN均满足）

【解析】

【分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.

44【详解】取fxx，则fx1x2x1x2x14x2fx1fx2，满足①，

4fx4x3，x0时有fx0，满足②，

fx4x3的定义域为R，

3又fx4xfx，故fx是奇函数，满足③.

42n*故答案为：fxx（答案不唯一，fxxnN均满足）

15.

已知向量abc0，a1，bc2，abbcca_______．

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得abc【详解】由已知可得9220，展开化简后可得结果.

abc2abc2abbcca92abbcca0，

222因此，abbcca故答案为：.

929.

2x16.

已知函数f(x)e1,x10,x20，函数f(x)的图象在点Ax1,fx1和点第10页/共21页 Bx2,fx2|AM|的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围|BN|是_______．

【答案】0,1

【解析】

【分析】结合导数的几何意义可得x1x20，结合直线方程及两点间距离公式可得AM1e2x1x1，BN1e2x2x2，化简即可得解.

xxe,x01e,x0x【详解】由题意，fxe1x，则fxx，

e,x0e1,x0xxxx所以点Ax1,1e1和点Bx2,e21，kAMe1,kBNe2,

xx所以e1e21,x1x20，

xxxx所以AM:y1e1e1xx1,M0,e1x1e11，

所以AMx12ex1x121e2x1x1，

同理BN1e2x2x2,

所以AMBN1e2x1x11e2x21e2x11e2x1ex10,1.

2x22x11e1ex2故答案为：0,1

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x1x20，消去一个变量后，运算即可得解.

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17.

记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5,a2a4S4．

（1）求数列an的通项公式an；

（2）求使Snan成立的n的最小值．

第11页/共21页 【答案】(1)an2n6；(2)7.

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得a3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：S55a3，则：a35a3,a30，

2设等差数列的公差为d，从而有：a2a4a3da3dd，

S4a1a2a3a4a32da3da3a3d2d，

从而：d22d，由于公差不为零，故：d2，

数列的通项公式为：ana3n3d2n6.

(2)由数列的通项公式可得：a1264，则：Snn4nn12

2n25n，则不等式Snan即：n25n2n6，整理可得：n1n60，

解得：n1或n6，又n为正整数，故n的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18.

在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，ba1，ca2.．

（1）若2sinC3sinA，求ABC的面积；

（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得出2c3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得157；（2）存在，且a2.

4b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角C为钝角，由cosC0结合三角形三边关系可求得整数a的值.

第12页/共21页 3a，【详解】（1）因为2sinC3sinA，则2c2a2则a4，故b5，c6，

cosCa2b2c22ab137，所以，C为锐角，则sinC1cos2C，

881137157因此，S△ABCabsinC45；

2284（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，

abc由余弦定理可得cosC2ab解得1a3，则0

222a2a1a22aa122a22a30，

2aa1由三角形三边关系可得aa1a2，可得a1，aZ，故a2.

19.

在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD2,QDQA5,QC3．

（1）证明：平面QAD平面ABCD；

（2）求二面角BQDA的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）取AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO平面ABCD，从而得到面QAD面ABCD.

（2）在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T，则OTAD，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.

23第13页/共21页 【详解】

（1）取AD的中点为O，连接QO,CO.

因为QAQD，OAOD，则QOAD，

而AD2,QA5，故QO512.

在正方形ABCD中，因为AD2，故DO1，故CO5，

因为QC3，故QC2QO2OC2，故QOC为直角三角形且QOOC，

因为OCADO，故QO平面ABCD，

因为QO平面QAD，故平面QAD平面ABCD.

（2）在平面ABCD内，过O作OT//CD，交BC于T，则OTAD，

结合（1）中的QO平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.

第14页/共21页 则D0,1,0,Q0,0,2,B2,1,0，故BQ2,1,2,BD2,2,0.

设平面QBD的法向量nx,y,z，

nBQ02xy2z01则即，取x1，则y1,z，

2nBD02x2y01n1,1,故.

2而平面QAD的法向量为m1,0,0，故cosm,n23113223.

二面角BQDA的平面角为锐角，故其余弦值为.

x2y2620.

已知椭圆C的方程为221(ab0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为．

ab3（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2y2b2(x0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|3．

x2【答案】（1）y21；（2）证明见解析.

3【解析】

【分析】（1）由离心率公式可得a3，进而可得b2，即可得解；

第15页/共21页 （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN3；

充分性：设直线MN:ykxb,kb0，由直线与圆相切得b2k21，联立直线24k2与椭圆方程结合弦长公式可得1k3，进而可得k1，即可得解.

213k2【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c2且ec6，所以a3，

a3x2又bac1，所以椭圆方程为y21；

3222（2）由（1）得，曲线为x2y21(x0)，

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x1，不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设Mx1,y1,Nx2,y2，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线MN:ykx2即kxy2k0，

由直线MN与曲线x2y21(x0)相切可得2kk121，解得k1，

yx2323联立x2可得4x262x30，所以x1x2,x1x2，

24y213所以MN11所以必要性成立；

充分性：设直线MN:ykxb,kb0即kxyb0，

由直线MN与曲线x2y21(x0)相切可得x1x224x1x23,

bk121，所以b2k21，

ykxb22213kx6kbx3b30， 联立x2可得2y13第16页/共21页 6kb3b23所以x1x2，

,x1x213k213k2所以MN1k2x1x224x1x21k23b236kb

42213k13k224k23，

1k213k2化简得3k210，所以k1，

2k1k1所以或，所以直线MN:yx2或yx2，

b2b2所以直线MN过点F(2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|3．

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

21.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(Xi)pi(i0,1,2,3)．

（1）已知p00.4,p10.3,p20.2,p30.1，求E(X)；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p1，当E(X)1时，p1；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

【分析】（1）利用公式计算可得E(X).

（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f10及极值点的范围可得fx的最小第17页/共21页 正零点.

（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.

【详解】（1）E(X)00.410.320.230.11.

32（2）设fxp3xp2xp11xp0，

32因为p3p2p1p01，故fxp3xp2xp2p0p3xp0，

若EX1，则p12p23p31，故p22p3p0.

fx3p3x22p2xp2p0p3，

因为f0p2p0p30，f1p22p3p00，

故fx有两个不同零点x1,x2，且x101x2，

且x,x1x2,时，fx0；xx1,x2时，fx0；

故fx在,x1，x2,上为增函数，在x1,x2上为减函数，

若x21，因为fx在x2,为增函数且f10，

而当x0,x2时，因为fx在x1,x2上为减函数，故fxfx2f10，

23故1为p0p1xp2xp3xx的一个最小正实根，

23若x21，因为f10且在0,x2上为减函数，故1为p0p1xp2xp3xx的一个最小正实根，

综上，若EX1，则p1.

若EX1，则p12p23p31，故p22p3p0.

此时f0p2p0p30，f1p22p3p00，

故fx有两个不同零点x3,x4，且x30x41，

且x,x3x4,时，fx0；xx3,x4时，fx0；

故fx在,x3，x4,上为增函数，在x3,x4上为减函数，

而f10，故fx40，

第18页/共21页 又f0p00，故fx在0,x4存在一个零点p，且p1.

23所以p为p0p1xp2xp3xx的一个最小正实根，此时p1，

故当EX1时，p1.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

22.

已知函数f(x)(x1)exax2b．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点

1e2①a,b2a；

22②0a1,b2a．

2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

x【详解】(1)由函数的解析式可得：f\'xxe2a，

当a0时，若x,0，则f\'x0,fx单调递减，

若x0,，则f\'x0,fx单调递增；

当0a时，若x,ln2a，则f\'x0,fx单调递增，

若xln2a,0，则f\'x0,fx单调递减，

若x0,，则f\'x0,fx单调递增；

121时，f\'x0,fx在R上单调递增；

21当a时，若x,0，则f\'x0,fx单调递增，

2当a若x0,ln2a，则f\'x0,fx单调递减，

第19页/共21页 若xln2a,，则f\'x0,fx单调递增；

(2)若选择条件①：

1e2由于a，故12ae2，则b2a1,f0b10，

22bbf1e而aababb0，

而函数在区间,0上单调递增，故函数在区间,0上有一个零点.

fln2a2aln2a1aln2ab

2aln2a1aln2a2a

2aln2aaln2a

222aln2a2ln2a，

1e2由于a，12ae2，故aln2a2ln2a0，

22结合函数的单调性可知函数在区间0,上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于0a，故2a1，则f0b12a10，

当b0时，e224,4a2，f2e4ab0，

12而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.

xx当b0时，构造函数Hxex1，则Hxe1，

当x,0时，Hx0,Hx单调递减，

当x0,时，Hx0,Hx单调递增，

注意到H00，故Hx0恒成立，从而有：exx1，此时：

fxx1exax2bx1x1ax2b1ax2b1，

第20页/共21页 当x1b2时，1axb10，

1a1b1，则fx00，

1a取x01b即：f00,f1a10，

而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.

fln2a2aln2a1aln2ab

2aln2a1aln2a2a

2aln2aaln2a

222aln2a2ln2a，

由于0a，02a1，故aln2a2ln2a0，

结合函数的单调性可知函数在区间,0上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、(2)利用导数求函数的单调区间，(3)微积分相联系．判断单调性；已知单调性，求参数．利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

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