2015年高考真题江苏卷理科数学(含答案解析)

2023年12月11日发(作者：鼎城中考精准提分数学试卷)

理科数学 2015年高三2015江苏卷理科数学

理科数学

考试时间：____分钟

题型

得分

填空题

简答题

总分

填空题 （本大题共13小题，每小题____分，共____分。）

1．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为____．

2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____．

3．设复数z满足z=3+4i（i是虚数单位），则z的模为____．

24．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．

5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____．

6．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为____．

7．不等式2＜4的解集为____．

8．已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为____．

9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____．

10．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____．

11．设数列{a}满足a=1，且a﹣a=n+1（n∈N），则数列{*n1n+1n}的前10项的和为____． 13．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=实根的个数为____．

，则方程|f（x）+g（x）|=114．设向量的值为____．

=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a•a）kk+1简答题（综合题） （本大题共10小题，每小题____分，共____分。）

12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x﹣y=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____．

22在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

17.求BC的长；

18.求sin2C的值．

如图，在直三棱柱ABC﹣ABC中，已知AC⊥BC，BC=CC，设AB的中点为D，BC∩BC=E．

1111111求证：

∥平面AACC；

⊥AB．

11

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l，l，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l，l的距离分别为5千米和40千米，点N到l，l的距离分别为20千米和2.5千米，以l，l在的直线分别为12121221x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=型．

21.求a，b的值；

（其中a，b为常数）模22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆点F到左准线l的距离为3．

23.求椭圆的标准方程；

+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦24.过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）．

3225.试讨论f（x）的单调性；

26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

设a，a，a．a是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．

123427.证明：21，2，2122，2334依次构成等比数列；

428.是否存在a，d，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由；

29.是否存在a，d及正整数n，k，使得a，a，a，an11n+k2n+2k3n+3k4依次构成等比数列？并说明理由． 选做题 。本题包括四题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，

【选修4-1：几何证明选讲】（请回答30题）

如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．

【选修4-2：矩阵与变换】（请回答31题）

已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量

【选修4-4：坐标系与参数方程】（请回答32题）

已知圆C的极坐标方程为ρ+22ρsin（θ﹣）﹣4=0，

[选修4-5：不等式选讲】（请回答33题）

解不等式x+|2x+3|≥2．

30.求证：△ABD∽△AEB．

31.求矩阵A以及它的另一个特征值．

32.求圆C的半径．

33.解不等式x+|2x+3|≥2．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．

34.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

35.点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

已知集合X={1，2，3}，Y={1，2，3，…，n）（n∈N），设S={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y}，令f（n）表示集合S所含元素的个数．

*nnnn36.写出f（6）的值；

37.当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

答案

填空题

1.

5

2.

6

3.

4.

7

5.

6.

﹣3

7.

（﹣1，2）

8.

3

9.

10.

（x﹣1）+y=2

2211.

12. 4

13.

简答题

14.

15.

16.

17.

（1）根据题意，得；E为BC的中点，D为AB的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AACC，AC⊂平面AACC，所以DE∥平面AACC；

1111111118.

（2）因为棱柱ABC﹣ABC是直三棱柱，所以CC⊥平面ABC，

1111因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC；

1又因为AC⊥BC，CC⊂平面BCCB，BC⊂平面BCCB，

11111BC∩CC=C，所以AC⊥平面BCCB；又因为BC⊂平面平面BCCB，

111111所以BC⊥AC因为BC=CC，所以矩形BCCB是正方形，

1111所以BC⊥平面BAC；又因为AB⊂平面BAC，

1111所以BC⊥AB．

1119.

20.

t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米 21.

+y=1；

222.

y=x﹣1或y=﹣x+1．

23.

函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣24.

c=1

25.

，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

证明：∵==2，（n=1，2，3，）是同一个常数，

d∴2，2，2，2依次构成等比数列；

26.

不存在a，d，使得a，a，a，a依次构成等比数列．

1122343427.

不存在a，d及正整数n，k，使得a，a，a，a1n1n+kn+2k23n+3k4依次构成等比数列

28.

证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．

29.

1

30.

r=．

31. {x|x≥32.

33.

34.

13

35.

，或x≤﹣5}．

（2）当n≥6时，f（n）=．

下面用数学归纳法证明：

①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；

②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S在S的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：

k+1k1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+论成立；

2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；

+，结3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++，结论成立；

++2=（k+1）+2+4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++，结论成立；

+2=（k+1）+2+5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++，结论成立；

++2=（k+1）+2+6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++，结论成立．

+2=（k+1）+2+综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．

解析

填空题

1.

集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；

所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5

2.

本题考查了众数、中位数、平均数，容易在计算中出错.

数据4，6，5，8，7，6，

那么这组数据的平均数为：故答案为：6．

3.

复数z满足z=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|=2=6．

=5，∴|z|=．

故答案为：4.

． 模拟执行程序，可得S=1，I=1

满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10

不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．

故答案为：7．

5.

根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C、C，则

12一次取出2只球，基本事件为AB、AC、AC、BC、BC、CC共6种，

121212其中2只球的颜色不同的是AB、AC、AC、BC、BC共5种；

1212所以所求的概率是P=．

6.

向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）

可得∴m﹣n=﹣3．

故答案为：﹣3

7.

；∵2＜4，∴x﹣x＜2，即x﹣x﹣2＜0，

22，解得m=2，n=5，

解得：﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）

8.

：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，

即=，解得tanβ=3．

故答案为：3．

9. 由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：设新圆锥和圆柱的底面半径为r，

则新圆锥和圆柱的体积和为：．

．

∴故答案为：10.

，解得：．

圆心到直线的距离d==≤，

∴m=1时，圆的半径最大为，

22∴所求圆的标准方程为（x﹣1）+y=2．

故答案为：（x﹣1）+y=2．

2211.

∵数列{a}满足a=1，且a﹣a=n+1（n∈N），

*n1n+1n∴当n≥2时，a=（a﹣a）+…+（a﹣a）+a=+n+…+2+1=nnn﹣1211．

当n=1时，上式也成立，

∴a=n．

∴=2．

∴数列{}的前n项的和S=n

=

=． ∴数列{}的前10项的和为．

故答案为：12.

．

由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．

g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；

g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．

故答案为：4．

13.

=+

=++

++=++

=++，

∴（a•a）=kk+1++++++…+++

+++++…+==+0+0

．

． 故答案为：9简答题

14.

由题意，双曲线x﹣y=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c22恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．

故答案为：15.

．

（1）由余弦定理可得：BC=AB+AC﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，

222所以BC=16.

．

由正弦定理可得：∵AB＜BC，∴C为锐角，

则cosC==，则sinC===，

=．

因此sin2C=2sinCcosC=2×17.

=． （1）根据题意，得；E为BC的中点，D为AB的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AACC，AC⊂平面AACC，所以DE∥平面AACC；

1111111118.

间答案

19.

（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），

将其分别代入y=，得，

解得20.

，

）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），

∴y′=﹣，

∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），

∴f（t）==，t∈[5，20]；

②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，

t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10g（t）是增函数，

从而t=10min，20）时，g′（t）＞0，时，函数g（t）有极小值也是最小值，

∴g（t）=300，

∴f（t）=15min， 答：t=1021.

时，公路l的长度最短，最短长度为15千米

（1）由题意可得，e==，

且c+=3，解得c=1，a=，

则b=1，即有椭圆方程为22.

（2）当AB⊥x轴，AB=+y=1；

2，CP=3，不合题意；

1122当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x，y），B（x，y），

将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k）x﹣4kx+2（k﹣1）=0，

2222则x+x=12，xx=12，

则C（，），且|AB|=•=，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；

则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），

从而|PC|=，

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

23.

（1）∵f（x）=x+ax+b，

32∴f′（x）=3x+2ax，

2令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣＜0，

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣24.

，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

）=b（）=+b，则函数f（x）+b）＜0，

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x+ax+1﹣a=（x+1）[x+（a﹣1）x+1﹣a]，

322∵函数有三个零点，

∴x+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

2∴△=（a﹣1）﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

22解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

25.

（1）证明：∵==2，（n=1，2，3，）是同一个常数，

d∴2，2，2，2依次构成等比数列；

26.

（2）令a+d=a，则a，a，a，a分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）

11234假设存在a，d使得a，a，a，a依次构成等比数列，

11223434则a=（a﹣d）（a+d），且（a+d）=a（a+2d），

43624令t=，则1=（1﹣t）（1+t），且（1+t）=（1+2t），（﹣＜t＜1，t≠0），

364化简得t+2t﹣2=0（*），且t=t+1，将t=t+1代入（*）式，

3222t（t+1）+2（t+1）﹣2=t+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，

2显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在a，d，使得a，a，a，a依次构成等比数列．

2112334427.

（3）假设存在a，d及正整数n，k，使得a，a，a，a1n1n+kn+2k23n+3k4依次构成等比数列，

2（n+2k）则a（a+2d）=（a+2d）n1n+2k112（n+k），且（a+d）（a+3d）=（a+2d）n+kn+3k1112（n+k），

分别在两个等式的两边同除以=a则（1+2t）=（1+t）n+2k2（n+k）1，a2（n+2k）1，并令t=n+3k，（t＞2（n+2k），t≠0），

，且（1+t）（1+3t）=（1+2t）n+k，

将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），

且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，

且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，

再将这两式相除，化简得，

ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）

令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），

则g′（t）=+3（1+t）ln（1+t）]，

2[（1+3t）ln（1+3t）﹣3（1+2t）ln（1+2t）22令φ（t）=（1+3t）ln（1+3t）﹣3（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t），

222则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，

令φ（t）=φ′（t），则φ′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，

11令φ（t）=φ′（t），则φ′（t）=212＞0，

由g（0）=φ（0）=φ（0）=φ（0）=0，φ′（t）＞0，

122知g（t），φ（t），φ（t），φ（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，

12故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，

所以不存在a，d及正整数n，k，使得a，a，a，an11n+k2n+2k3n+3k4依次构成等比数列

28.

证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．

29.

由已知，可得A=﹣2，即==，

则，即，

∴矩阵A=，

从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A的另一个特征值为1．

30.

圆的极坐标方程为ρ+2222ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，

2化为直角坐标方程为x+y﹣2x+2y﹣4=0，

化为标准方程为（x﹣1）+（y+1）=6，

22圆的半径r=31.

．

x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，

得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），

即x≥，或x≤﹣5，

即原不等式的解集为{x|x≥32.

，或x≤﹣5}．

以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，

由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

（1）∵AD⊥平面PAB，∴∵=（1，1，﹣2），=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，

=（0，2，﹣2），

设平面PCD的法向量为=（x，y，z），

由，得， 取y=1，得=（1，1，1），

∴cos＜，＞==，

∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为33.

（2）∵又=（﹣1，0，2），设=+=λ；

=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），

=（0，﹣1，0），则=（﹣λ，﹣1，2λ），

又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，

设1+2λ=t，t∈[1，3]，

则cos＜2，＞==≤，

当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，

因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．

又∵BP=34.

=，∴BQ=BP=．

（1）f（6）=6+2++=13；

35.

见答案