2023年12月2日发(作者：七上五三数学试卷)

淮安市高中校协作体2022～2023学年度第一学期高三年级期中考试

数学试卷

考试时间：120分钟 总分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A=−1,0,1,2,,B=xx1，则AA.

{−1,1} B.

{1,2}

B=（ ）

C.

{1,0} D.

{−1,0,1}

2、“sinx=13”是“cosx=”的（ ）

22A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知向量a=(1,0)，b=(2,2)，则a−2b=（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4、甲、乙、丙三位同学被问是否去过A,B,C三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过A城市；乙说：我没去过B城市；丙说：我们三人去过同一个城市。由此请判断乙去过的城市为（ ）

A.A B.B C.C D、不确定

5. 已知2=5,log83=b，则2a−3b=（ ）

A. 25 B. 5 C.

a25

9D.

5

3−x2+2,x1,6.已知函数f(x)=,则使得f(x)1的x的取值范围为（ ）

1x+−1,x1,xA.

−1,1 B.

(−1,1) C.

(−1,+) D.

−1,+)

ex+17、函数f(x)=cosxx的部分图象大致为（ ）

e−1

第１页，共１０页8、当0x2a,不等式11+1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

22x(2a−x)

A.2，+

C.(0，

D.2，

+2)B.0，2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列选项中哪些是正确的（ ）

2A. 命题xR,x+x+10的否定是xR,x2+x+10

)(B. 为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin3x+向右平移π图象上所有的点

5π个单位长度

51−2xC. 函数f(x)=为奇函数

1+2xD.已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m=−10、下列四个选项中哪些是正确的（ ）

A. 若cos(75+)=03

411,则sin(150−)=

33B.

1−2sin400cos400=sin400−cos400

C. 在任意斜三角形中tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

D. 在三角形中a=bcosC+ccosB

11.已知函数f(x)=x−x+1，则（ ）

A.

f(x)有一个极值点 B.

f(x)有一个零点

3C. 点(0,1)不是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x+3是曲线y=f(x)的一条切线

12.在ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2+b2+c2=8，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）

A.

3 B.

23 C.

3 D.

43

333

第２页，共１０页三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 函数f(x)=1x−1+2−x的定义域是_________．

14. 若向量a=(3,m),b=(sinx,−cosx),函数f(x)=ab的一个零点为3，

f12=________．

15.若曲线y=(x+a+1)ex只有一条过坐标原点的切线，则a=_________．

16．用Card(A)表示非空集合A中的元素个数，定义AB=Card(A)−Card(B),Card(A)Card(B)Card(A),Card(A)Card(B)，若A=2,3，Card(B)−B=x(x2+mx)(x2+mx+1)=0，且AB=1，若B中元素取最少个数时m=_________．若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=_________．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知a=(sinx,−cosx)，b=(cosx,3cosx)，函数f(x)=ab。

(1)求f(x)的最小正周期

(2)当0x3时，求函数f(x)的值域．

18、（本题满分12分）

在ABC中，点D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD,cosCDB=−55

（1）求ABC面积 （2）证明ABC为钝角三角形

19、（本题满分12分）

1已知p：A=xx+202x−10 q：B={x|x+x-m(m-1)≤0，m＞}，2

若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

第３页，共１０页 20、（本题满分12分）

1、构造一个图形并解释这个公式a+b+a−b=2a+b何意义

2、ABC中D为BC中点,证明：ABAC=AD−BD

21、（本题满分12分）

已知函数2222(22)a,b(均为非零向量)的几f(x)=lnx

f(x)在x=e处的切线方程； （1）求曲线（2）已知g(x)=且g(x0)=x0

f(x)−f(x),求证：存在实数x0使得g(x)在x=x0处取得最大值，

1+x（3）求证：h(x)=af(x)−x(a0)有唯一零点

2

22．（本题满分12分）

（1）已知x−1,求函数y=(x+2)(x+3)x+1最小值，并求出最小值时x的值；

12（2）问题：正数a,b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是：abb2a1212b2a+=(+)(a+b)=1+++23+22，当且仅当=且a+b=1时，即ababababa=2−1且b=2−2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数a,b,x,y满足x2y2−2=1，试比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指明等号成立的条件；

2ab（3）利用（2）的结论，求M=值．

4m−3−m−1的最小值，并求出使得M最小的m的

第４页，共１０页淮安市高中校协作体2022～2023学年度第一学期高三年级期中考试

数学试卷 参考答案

一、单项选择题

1

D

9

ACD

三、填空题

2

D

3

D

10

ACD

4

C

5

D

11

BD

6

D

7

B

12

AB

8

B

二、多项选择题

1)(1，2 13、xx2且x1或者写成(-，14、−6

，−5

15、−116、0

−2,−1,0或0，1，2只写一个，写两个的不给分

四、解答题

17．（本题满分10分）已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b

(1)求f(x)的最小正周期

(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．

3解：(1)f(x)＝sinxcosx－3cosx

13＝sin2x－(cos2x＋1)

22π3=sin(2x－)-....................3分

32所以f(x)的最小正周期为π............5分

2ππ(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤..............6分

333333π∴－≤sin(2x－)≤，..................8分

232．.................10分

0即f(x)的值域为A=−3，

第５页，共１０页18、（本题满分12分）在ABC中，点D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD,cosCDB=−5

5（1）求ABC面积 （2）证明ABC为钝角三角形

解：（1）设线段CD=a,则BC=2a，在三角形中利用余弦定理，BC2=CD2+BD2−2CDBDcosCDB

得a=5………………………………………2分

1SDBC=BDCDsinCDB=323+5

SABC=S6分3（2）

cosADC=cos(−CDB)=55ADC中，AC2=AD2+CD2−2ADCDcosADC

8分BC2+AC2−AB23cosC==−02BCAC5C为钝角ABC为钝角三角形...................12分

1x+20219、（本题满分12分）已知p：A=x

q：B={x|x+x-m(m-1)≤0，m＞}，2x−10若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：A=x2x+20x−10A＝−2,1

x+x−m(m−1)0(x+m)x+(1−m)01m−mm−12−mxm−1B=−m,m−1...........................................5分

∵p是q的必要不充分条件

∴BA......................................6分

第６页，共１０页−m−2−m−2或m−11m−11m21又m21m22.................10分

....................................12分

2220、（本题满分12分）1、构造一个图形并解释这个公式a+b+a−b=2a+b均为非零向量)的几何意义

2、ABC中D为BC中点,证明AB(22)a,b(AC=AD2−BD2

解：（1）如图构造平行四边形ABCD………………………2分

设AB=a,AD=b,

则AC=a+b,BD=b−aAC+BD=2AB+AD22(22)………………………..4分

即“平行四边形对角线平方和等于四边平方和”………………6分

（2）法1、

a+b−a−b=4aba+ba−bab=−22设

2222

…………………………….8分AB=a,AC=ba+bb−a

AD=,BD=22ABAC=AD2−BD2……………………………….12分

法2、

AB=AD+DB,AC=AD+DC=AD−DB...............8分

ABAC=AD2−12分

第７页，共１０页法3、建系

等如有其方法他酌情给分

21、（本题满分12分）已知函数（1）求曲线f(x)=lnx

f(x)在x=e处的切线方程；

（2）已知g(x)=f(x)−f(x),求证存在实数x0使得g(x)在x=x0处取得最大值，且1+xg(x0)=x0

（3）求证h(x)=af(x)−x2(a0)有唯一零点

解：（1）4分

（2）

g(x)=lnxx+1−lnxg(x)=−1+x+lnx(1+x)2,x0设u(x)=1+x+lnx,x0u(x)在(0，+)递增u(1e2)=1+1e2−20u(1)=20,知x10(e2,1)有1+x0+lnx0=0且u(x)在(0，x0)小于0，在(x0,+)大于0g(x)在(0，x0)递增，在(x0,+)递减...........6分g(x)在x=x0处取最大值g(x0)=1nx01+x−lnx−1−x00=−lnx0=−1−lnx0=x001+x0

…………………………………………8分

3）h(x)=alnx−x2(a0)h(x)=ax−2x0

h(x)在(0，+)上单调递减.............10分1f(ea)=aln122ea−ea=1−ea

第８页，共１０页（2又a0,所以0,eae0=1

a21aafe=1−e0

21a又f(1)=−10,故x0e,1，f(x0)=0且唯一

故函数h(x)=af(x)−x(a0)有唯一零点。..............12分

222．（本题满分12分）（1）已知x−1,求函数(x+2)(x+3)最小值，并求出最小值y=x+1时x的值；

12（2）问题：正数a,b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是：ab1212b2ab2a+=(+)(a+b)=1+++23+22，当且仅当=且a+b=1时，即a=2−1ababababx2y2a,b,x,y且b=2−2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足2−2=1，试ab比较a2−b2和(x−y)2的大小，并指明等号成立的条件；

（3）利用（2）的结论，求M=解：x-1x+10

4m−3−m−1的最小值，并求出使得M最小的m的值

x+1

22(x+1).+3=.2分x+1当且仅当x+1=所以当x=y=(x+1+1)(x+1+2)=x+1+2+3x+12x=2−1时取“=”

x+12−1函数最小值为4分

， （2）又，当且仅当时等号成立，.........6分

所以 ，

第９页，共１０页所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足...........................8分

（3）令x=4m−3,y=m−1，构造求出a2=1,10分

所以M=x−ya2−b2=1−14=32

取等号时，x=4y0解的x=231333,y=6,即m=12

所以m=1312时，M取得最小值32..................................12分

；

第１０页，共１０页


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