【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练

2024年1月10日发(作者：天津中考数学试卷文档)

【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练

华东师范大学的《数学分析》是大多数数学专业学生必修的一门课程，也是数学基础很重要的一门课程。这门课程涉及到了微积分、实变函数、级数和微分方程等重要的数学概念和方法。

本文主要介绍华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册的精讲精练内容。这两册书主要讲授了微积分和实变函数的部分内容，其中包括单变量函数、多元函数、微积分的基本定理、微分学基本理论、级数理论和微分方程等内容。

一、 单变量函数

在单变量函数的学习中，我们先要学习函数的基本概念：定义域、取值域、函数的表示方法、函数分类、函数的有界性和函数的极限。

1.1 定义域与取值域

定义域是指函数自变量可以取到的所有实数值的集合，而取值域则表示函数所有可能的实数输出值的集合。在单变量函数中，定义域和取值域的关系是非常重要的。根据函数定义域和取值域的不同，我们可以将单变量函数分为多种类型，例如正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数和多项式函数等。

1.2 函数的表示方法

在学习单变量函数中，我们还需要掌握函数的表示方法。一元函数的一般表示方法是f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。在实际应用中，一元函数的式子可能会更加复杂，包括三角函数、指数函数、对数函数等。

1.3 函数分类

在单变量函数中，函数可以分为几种类型。其中最常见的包括连续函数、可导函数和可积函数。连续函数是指在其定义域上连续的函数，可导函数则意味着函数在其某个点的导数存在，而可积函数则表示整个函数的积分收敛。

1.4 函数的有界性

在学习单变量函数中，我们还需要掌握函数的有界性。一个函数是有界的，当且仅当在其定义域上存在一个上界和下界，使得函数值在这些上下界之间。没有上界或下界的函数被称为无界函数。

1.5 函数的极限

在单变量函数中，我们还需要学习函数的极限。在学习极限的时候，我们需要掌握极限的定义，极限的性质和相关的定理。特别地，拉格朗日中值定理和柯西中值定理对于极限的理解具有重要的意义。

二、微积分的基本定理

在学习微积分的基本定理时，我们需要掌握微积分的定义，微分学和积分学的基本概念以及相关的定理和方法。在微积分中，柯西-黎曼方程组在理论分析中起了重要作用，需要重视掌握。

2.1 微分学基本理论

微分学是微积分的重要部分，掌握它的基本理论对于理解和应用微积分概念是必要的。微分学的基本理论包括导数的定义、导数的基本运算法则、高阶导数、中值定理和应用。中值定理是微分学的一个核心概念，需要掌握其中的理论和方法。

2.2 积分学基本理论

在微积分中，积分学也是非常重要的。积分学的基本理论包括不定积分和定积分的概念和计算方法，曲线和曲面积分的概念和计算方法，以及微积分基本定理和其他一些相关的定理和方法。

2.3 微积分应用

微积分在各个领域都有着广泛应用，包括物理学、工程学、经济学等领域。在学习微积分的时候，我们还需要掌握函数的极值和最值、牛顿-莱布尼茨公式、梯度和雅克比矩阵等相关的应用。

三、多元函数

在多元函数中，我们需要了解向量函数的概念、复合函数的基

本特性、多元函数的性质、偏导数的概念和性质、全微分的概念和性质、隐函数定理和一元函数的极值问题。

3.1 向量函数

在多元函数中，向量函数是非常重要的一种函数形式。向量函数的概念、性质和计算方法需要重视掌握。

3.2 偏导数

偏导数是多元函数中的重要概念，它表示在函数的某个点上各自关于每个自变量的导数。在学习偏导数的时候，需要了解偏导数的定义、偏导数的计算方法、各阶偏导数的概念、混合偏导数的性质等。

3.3 全微分

全微分是多元函数中的重要概念。全微分是指函数在其某个点处可以被完全线性近似的微分。在学习全微分时，我们需要掌握全微分的定义、判定全微分的充要条件和计算全微分的方法等。

3.4 隐函数定理

隐函数定理在多元函数的学习中起着重要作用。它表明在某些条件下，给定一组方程式，可以唯一确定另一个与之相连的方程。需要注意的是，隐函数定理通常只适用于线性方程组。

四、级数理论

级数理论是数学分析中的重要部分，包括级数的概念和性质、收敛和发散、级数常用判断方法和常用级数等。

4.1 级数的概念和性质

在级数的学习中，我们需要掌握级数的概念和性质。级数是指无穷个序列的和，一般形式为a1+a2+...+an+...。级数的性质包括级数的有限和、级数的部分和、级数的敛散性、级数的部分和与后面所有项的关系和级数收敛的意义等。

4.2 收敛和发散

在级数的学习中，一个非常关键的概念就是级数的收敛和发散。级数的收敛可以理解为无限累加的和，而级数的发散则表示即使无限累加，该级数也没有任何意义。

4.3 常用判断方法

在学习级数理论的时候，我们还需要掌握常用的判断方法。其中包括比较判别法、积分判别法和限制判别法等。

4.4 常用级数

在学习级数理论的时候，我们还需要掌握常用的级数。例如等比数列、调和数列、幂级数、傅里叶级数等等。

五、微分方程

微分方程是数学分析中的重要部分，在此我们需要掌握微分方程的基本概念和分类、求解微分方程的方法、线性微分方程和变系数线性微分方程、常微分方程和偏微分方程等。

5.1 微分方程基本概念和分类

微分方程的学习中，我们需要掌握微分方程的基本概念和分类。微分方程简单来说是描述函数与其导数的关系的方程式。根据微分方程的不同形式，我们可以将微分方程分为一阶微分方程和二阶微分方程等多个分类。

5.2 求解微分方程的方法

在学习微分方程的时候，我们还需要掌握求解微分方程的方法。其中常用的方法包括变量分离法、两边同乘法、常数变易法和高阶微分方程公式等。

5.3 线性微分方程和变系数线性微分方程

线性微分方程和变系数线性微分方程是微分方程中比较重要的一类。在学习这些微分方程时，需要了解线性微分方程的定义、性质、变换和求解方法，以及变系数线性微分方程的定义、求解方法等。

5.4 常微分方程和偏微分方程

在微分方程的学习中，还需要了解常微分方程和偏微分方程。常微分方程是只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程是包含多个自变量的微分方程，比如偏微分方程中的热方程、波动方程和亥姆霍兹方程等。

六、总结

华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册是非常重要的数学基础课程，需要重视学习。通过本文的介绍，我们可以掌握到单变量函数、微积分基本定理、多元函数、级数理论和微分方程等重要的概念和方法。希望大家在学习的过程中能够多加练习，做好笔记和理解，并积累问题，方便提出问题并加以解决。