2023年12月10日发(作者：数学试卷分数怎么排版出来)
高数三角函数变换cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB1sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A−B)]21sinAsinB=[cos(A−B)−cos(A+B)]2cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB1sinxcosx=sin2x212sinx=(1−cos2x)21cosAcosB=[cos(A−B)+cos(A+B)]21−tan2xcos2x=21+tanx1cos2x=(1+cos2x)2sin2x=2tanx21+tanx1arctanx+arctan=πx2arcsinx+arccosx=π2arctanx+arccotx=π2圆柱体积V=πr2h椭圆面积S=πab抛物线y2=2px点到直线距离12圆锥体积V=πrh343球体积V=πr3交点坐标(p,0)2准线x=−p2∣ax0+by0+c∣√a2+b2第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。f(x0+0)=f(x0−0)≠f(x0)跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。f(x0+0)≠f(x0−0)第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞重要极限sinxlim=1xx→01xlim(1+)=exx→∞lim(1+x)=ex→01xx趋向于0时的等价无穷小12sinx∼x
tanx∼x
arcsinx∼x
arctanx∼x
1−cosx∼x2ln(1+x)∼x
loga(x+1)∼n1+x−1∼√x
ex−1∼x
ax−1∼xlnalnaxa
(1+bx)−1∼abxn导数公式\'(ax)\'=axlna
(logax)=1xlna(tanx)\'=sec2x
(cotx)\'=−csc2x
(secx)\'=secxtanx
(cscx)\'=−cscxcotx(arcsinx)\'=1111\'\'\'(arccosx)=−(arctanx)=(arccotx)=−
221+x1+x√1−x2√1−x2n[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+π)2(n)n[sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+π)2(n)(−1)nann!1()=n+1ax+b(ax+b)(−1)n−1(n−1)!an[ln(ax+b)]=n(ax+b)积分公式dx∫22=ln∣x+√x2±a2∣+C√x±a∫∫∫dxx=arcsin+C22a√a−xdx1x−a=ln+C222x+ax−a∣∣dx1x=arctan+C22aax+a∫dx1ax=arctan+c222abbax+b∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c22∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+cx22a2∣∫√x±adx=2√x±a±2lnx+√x2±a2∣+c22a2xx22a−xdx=arcsin+√a−x+c√∫222∫∫∫π20π20π20πsinxdx=∫cosnxdx=nπ20π20(n−1)!!π(n为偶数)n!!2(n−1)!!(n为奇数)n!!sinxdx=∫cosnxdx=nf(sinx)dx=∫f(cosx)dxππxf(sinx)dx=∫0f(sinx)dx=π∫02f(sinx)dx2ππ20∫0∣∫x0f(t)dt≤∫0∣f(t)∣dt∣x∫0∫−aaaf(x)dx=1a∫[f(x)+f(−x)]dx20af(x)dx=∫0[f(x)+f(−x)]dxf\'x(x,y),f\'y(x,y)在(x0,y0)连续⇒z=f(x,y)在(x0,y0)可微⇒f(x,y)在(x0,y0)连续二重积分特点积分区域D关于x轴对称∬f(x,y)dσ=0DDf为y的奇函数，即f(x,−y)=−f(x,y)f为y的偶函数，即f(x,−y)=f(x,y)∬f(x,y)dσ=2∬f(x,y)dσD1积分区域D关于y轴对称∬f(x,y)dσ=0Df为x的奇函数，即f(−x,y)=−f(x,y)f为x的偶函数，即f(−x,y)=f(x,y)∬f(x,y)dσ=2∬f(x,y)dσDD1积分区域关于原点对称∬f(x,y)dσ=0DDf为x，y的奇函数，即f(−x,−y)=−f(x,y)f为x，y的偶函数，即f(−x,−y)=f(x,y)∬f(x,y)dσ=2∬f(x,y)dσD1函数展开式121nxke=1+x+x+⋯+x=∑2!n!k=0k!xn13151x2k+1n−12n−1ksinx=x−x+x−⋯+(−1)x=∑(−1)3!5!(2n−1)!(2k+1)!k=02k12141n2nkxcosx=1−x+x−⋯+(−1)x=∑(−1)2!4!(2n)!(2k)!k=0k1213n−11nk−1xln(1+x)=x−x+x+⋯+(−1)x=∑(−1)23nkk=1nnn1=∑(−1)kxk1+xk=0n1=∑xk1−xk=0n\'\'多元函数极值：驻点(x0,y0)满足fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0\'\'\'\'\'\'且A=fxx(x0,y0) ,B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)B2−AC<0时，(x0,y0)是极值点，A>0时是最小值，A<0时是最大值。2B−AC>0时，(x0,y0)不是极值点。B−AC=0时，不能判断，需要另外方法讨论。2\'一阶线性微分方程：y+p(x)y=q(x)−p(x)dxp(x)dx[∫q(x)e∫dx+C]公式法通解：y=e∫二阶常系数线性微分方程：y\'\'+py\'+qy=0，特征方程：r2+pr=q=0Δ=p2−4q>0时，有两个相异实根r1r2，通解y=f(x)=C1erx+C2er12xrxΔ=p2−4q=0时，有二重根r，通解y=f(x)=(C1+C2x)eaxΔ=p2−4q<0时，有共轭虚根a±iβ，通解y=f(x)=e(C1cosβx+C2sinβx)\'\'\'二阶常系数非齐次微分方程：y+py+qy=f(x)f(x)形式f(x)=Pn(x)Pn(x)为n次多项式特解形式*0不是特征根，y=Rn(x)*0是单根，y=xRn(x)*20是而重根，y=xRn(x)f(x)=Meaxa≠0，M≠0f(x)=Mcosβx+NsinβxM，N不全为0，β>0*axa不是特征根，y=Ae*axa是单根，y=Axe*2axa是二重根，y=Axe±iβ不是特征根，y*=Acosβx+Bsinβx±iβ是特征根，y*=x(Acosβx+Bsinβx)t差分一般形：yt+1+ayt=f(t)，通解yt=C(−a)f(x)形式f(t)=Pn(t)Pn(t)为n次多项式f(t)=Mbtf(t)=Mcosβt+Nsinβt特解形式a+1≠0，y=Qn(t)a+1=0，y=tQn(t)a+b≠0，y=Abta+b=0，y=Atbty=Acosβt+Bsinβt渐近线f(x)=∞，必须是a左右都趋于无穷。x=a是垂直渐近线limx→af(x)=bx→+∞时，y=b是水平渐近线⇔xlim→+∞x→+∞时，y=kx+b是斜渐近线⇔limx→+∞f(x)[f(x)−kx]=b=k，且xlim→+∞x在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x→−∞时的情况。级数∑Unn=1∞n=1∞Un=0收敛的必要条件是limn→∞收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。若级数∑Un∑aqnn=0∞∞，当∣q∣<1时收敛，当∣q∣≥1时发散，当p>1时收敛，当p≤1时发散。∑n1pn=0正项级数审敛法之一：比较判别法∑Unn=1∞和∑Vnn=1∞Vn=A为正项级数，且limx→∞Un当0
∣AB∣=∣A∣∣B∣
∣A*∣=∣A∣n−1
∣A−1∣=∣A∣−1(kA)=k*n−1*−1−1**A
A*=∣A∣A−1
(A)=(A)=A**n−2
(A)=∣A∣A∣A∣1−1−1(An)−1=(A−1)n
(kA)=A
(AB)−1=B−1A−1
(A−1)T=(AT)−1k(A*)T=(AT)*
(kA)T=kAT
(AB)T=BTAT
(A+B)T=AT+BT
AA*=A*=∣A∣EA=(ab)的伴随阵A*=(d−b) 即主对角线互换，副对角线变号。cd−ca∣∣∣∣nBB0()=(0C0nA0A*==∣A∣∣B∣，0B*B∣∣∣∣0A*=B*BAmn=(−1)∣A∣∣B∣0−1−1B)=(0C)0B−10−10Bn0B00)=(−1)
(n)
(0CC0CCr(A*)=n，若r(A)=nr(A*)=1，若r(A)=n−1r(A)=0*，若r(A) r(kA)=r(A) r(A+B)≤r(A)+r(B)r(AB)≤min{r(A),r(B)}若A可逆，则r(AB)=r(B)，同理若B可逆，则有r(AB)=r(A)A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB=0，则r(A)+r(B)≤nSchmidt正交换β1=a1 β2=a2−(a2,β1)β(β1,β1)1⋯βs=as−(as,β1)(as,βs−1)β1−⋯−β(β1,β1)(βs−1,βs−1)s−1βir=ββ⋯,β变成正交矩阵，需要将1,2,is规范化，∣∣∣βi∣特征值性质λ是A的特征值，则λk是Ak的特征值。λ是a的特征值，若A可逆，则1是A−1的特征值。λλ是A的特征值，则∣A∣是A*的特征值λ不同特征值的特征向量线性无关，若A是实对阵阵，则不同特征值对应的特征向量相互正交。λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关特征向量个数不超过k个。A与对角矩阵相似的充要条件，A有n个线性无关的特征向量⇔A有n个不同的特征值或者⇔A的每个ni重特征值λi，都有ni线性无关特征向量⇔(λiE−A)x=0有ni个线性无关解向量⇔r(λiE−A)=n−ni实对称阵特点：1.必可相似对角华2.特征值全是实数，特征向量都是实向量3.不同特征值的特征向量相互正交重特征值必有ni个线性无关特征向量5.可用正交变换化为相似标准型用正交变换将实对称阵化相似标准型步骤，求出实对称阵所有特征值。1.A的特征值是单重时，将特征向量单位化。2.A的特征值是ni重时，将ni个线性无关特征向量Schmidt正交化，然后单位化。n元二次型xTAx正定⇔xTAx的正惯性指数p=n⇔A与E合同，A≃E⇔A的所有特征值大于零（∣A∣>0是必要条件）⇔A的顺序主子式全大于零（aii>0是必要条件）⇔存在可逆矩阵C，使得A=CTC对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和概率分布参数0-1分布二项分布（B）几何分布超几何分布柏松分布（P）均匀分布（U）指数分布（E）正态分布（N）标准正态分布a，b（a，b）(0,+∞)(−∞,+∞)(−∞,+∞)pn，N，M1,2,⋯pqk−1n−kCkMCN−M定义域1，0分布率pkq1−kkn−kCknpq期望pnp1pnp（p=M/N）方差pqnpqq2pnpqN−nN−1Pn，p0,1,⋯,nCnNλ>0自然数λke−λk!1b−aλa+b21λ2λ(b−a)2121λ2λμ,σμ=0,σ=1λe−λx(x−μ)2σ21e√2πσ−μ0σ11e2π√−x22A，B不相容⇔P(AB)=0，即A∩B=∅A，B独立⇒P(AB)=P(A)P(B)切比雪夫大数定律（注：所有大数定律都要求样本相互独立）11limP{∑Xi−∑EXi<ε}=1 EXini=1ni=1n→∞伯努力大数定律1limP{∑Xi−P<ε}=1 Xi为参数P的的0-1分布ni=1n→∞辛钦大数定律1limP{∑Xi−μ<ε}=1 Xi同分布同期望，EXi=μni=1n→∞∣∣∣nn∣DXi存在，且DXi有上限n∣n∣列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）1Xi−nμ1∑∑X−μlimP{(∑Xi−nμ)≤x}=Φ(x)，即i=1ni=1i=∼N(0,1)n→∞σ√ni=1σ√nσ/√nnnnΦ(x)是标准正态分布，σ=√DX拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）limP{n→∞Yn−np√np(1−p)≤x}=Φ(x)，即Yn−np√np(1−p)n∼N(0,1)̄=1∑Xi S2=1∑(Xi−X̄)2=1∑(X2̄2Xi−nX)ni=1n−1i=1n−1i=12(X)μ22̄)=E(Xi)=μ D(X̄)=DE(X= E(S)=D(X)=σnnnn2设X∼N(0,1)，Y∼χ(n)，则t=√XY t1−a(n)=−ta(n) t2∼F(1,n)nX∼χ(n1) Y∼χ(n2)，则F=F∼F(n1,n2)⇒22X/n1，记为F(n1,n2)Y/n211∼F(n2,n1) F1−a(n1,n2)=Fa(n2,n1)F设X∼N(0,1)2̄−μ√n(X̄−μ)Xσ̄⇒X∼N(μ,)⇒=∼N(0,1)σnσ/√n1⇒2∑(Xi−μ)2∼χ2(n)σi=1̄2(n−1)S2nXi−X⇒=∑(σ)∼χ2(n−1)2σi=1̄−μX̄−μ)̄−μ)2σ/√n√n(Xn(X⇒==∼t(n−1)⇒∼F(1,n−1)22SSS(n−1)Sσ/(n−1)σ2̄−μXσ/√nn√X与Y不相关⇔Cov(X,Y)=0⇔EXY=EXEY⇔D(X+Y)=DX+DYP(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)柏松积分：∫−∞e+∞−t2dt=√πΓ函数：+∞1Γ(a)=∫0xa−1e−xdx Γ()=√π Γ(a+1)=aΓ(a) Γ(n)=(n−1)! Γ(1)=1222方差：D(X)=E(X)−[E(X)]协方差：Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]=E(XY)−EXEYD(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)相关系数ρXY=Cov(X,Y)√DX√DY柏松定理：设X符合参数为n，p的二项分布，即X∼B(n,p)，当n充分大而p充分小，且np大小适中时，X近似服从参数为λ=np的柏松分布。槺-拉定理：设X符合参数为n，p的二项分布，即X∼B(n,p)，当n充分大时，X近似服从参数为np，npq的正态分布，即X∼N(np,npq)连续型随机变量函数的分布的求法，Y=g(X)定义法：FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)=y}=g(x)≤y∫f(x)dx f(y)=F\'(y)YY公式法：要求Y=g(X)严格单调，fX(x)处处可导\'fY(y)=fX[h(y)]∣h(y)∣ α fZ(z)=∫f(x+z,x)dx，若独立，则fZ(z)=∫fX(x+z)fY(x)dx−∞−∞注意：卷积公式形式很多，总体思想是，将X、Y其中一个变量用Z表示，对剩下的变量在整个定义域内做积分。公式中的积分区域虽然是(−∞,+∞)，但实际使用公式时，应根据实际的定义域进行积分。边缘分布函数：设(X,Y)∼f(x,y)FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)=∫[∫f(x,y)dy]dx−∞+∞+∞−∞x+∞fX(x)=∫f(x,y)dy fY(y)=∫f(x,y)dx−∞−∞fX|Y(x|y)=f(x,y)f(x,y)f(y|x)=fY(y) Y|XfX(x)X符合参数为λ的柏松分布，则Y=kX符合kλ的柏松分布。即，X∼P(λ)且Y=kX⇒Y∼P(kλ)分布可加性：条件：X，Y相互独立X∼B(n,p)Y∼B(m,p)，则X+Y∼B(m+n,p)X∼P(λ1) Y∼P(λ2)，则X+Y∼P(λ1+λ2)22222X∼N(μ1,σ1) Y∼N(μ2,σ22)，则aX+bY∼N(aμ1+bμ2，aσ1+bσ2)X∼χ2(n) Y∼χ2(m)，则X+Y∼χ2(n+m)当X，Y不相互独立时，正态分布相加结果：22222X∼N(μ1,σ21) Y∼N(μ2,σ2) aX+bY∼N(aμ1+bμ2，aσ1+bσ2+2abρσ1σ2)对于二维正态分布，不相关等价于相互独立。F(x)为分布函数的充要条件：1.2.F(x)单调不减，且右连续x→−∞limF(x)=0 limF(x)=1x→+∞f(x)为概率密度的充要条件：1.2.f(x)≥0+∞∫f(x)=1−∞X，Y相互独立⇔F(x,y)=FX(x)FY(y)⇔f(x,y)=fX(x)fY(y)1Xli=E(Xl)矩估计法：样本矩 = 总体矩，即∑ni=1最大似然估计：X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的样本，X1,X2,⋯,Xn相互独立，则，2,联合分布概率密度为L(θ)=L(X¿,Xn,θ)=∏f(Xi,θ)i=1nnθ的最大似然估计值为，使L(θ)取得最大值时的θ值。
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