2024年4月5日发(作者：数学试卷最后压轴题)

高中数学第十一章-概率

考试内容：

随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发

生的概率．独立重复试验．

考试要求：

（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．

（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的

概率。

（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件

的概率乘法公式计算一些事件的概率．

（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．

§11. 概率 知识要点

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能

性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是

么事件A的概率

P(A)

m

.

n

1

，如果某个事件A包含的结果有m个，那

n

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件

A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即

P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：

P(A

1

A

2

A

n

)P(A

1

)P(A

2

)P(A

n

)

.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任

．．．．．．．．．．．．．．．

取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保

证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为

互斥

其中一个必发生.

对立

注意：i.对立事件的概率和等于1：

P(A)P(A)P(AA)1

.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事

件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的

积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生

概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一

张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有

可能不是独立事件，但

P(A)

4

1

,P(B)

26

1

,P(A)P(B)

1

.又事件AB表示“既抽到老

521352226

K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有

P(AB)

2

1

，因此有

P(A)P(B)P(AB)

.

5226

推广：若事件

A

1

,A

2

,,A

n

相互独立，则

P(A

1

A

2

A

n

)

P(A

1

)

P(A

2

)

P(A

n

)

.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与

B,A

与B，

A

与

B

也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

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iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个

事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，

则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复

knk

试验中这个事件恰好发生k次的概率：

P

n

(k)C

k

.

n

P(1P)

4. 对任何两个事件都有

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．

总体期望值和方差的估计．

考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．

（2）会用样本频率分布估计总体分布．

（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计 知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现

哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随

机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则

a

b

也是一个随机变

量.一般地，若ξ是随机变量，

f(x)

是连续函数或单调函数，则

f(

)

也是随机变量.也就是说，

随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

x

1

,x

2

,,x

i

,

ξ取每一个值

x

1

(

i

1,2,

)

的概率

P(

x

i

)p

i

，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的

分布列.

x

1

x

2

…

x

i

…

…

p

1

p

2

p

i

P

…

有性质①

p

1

0,i1,2,

； ②

p

1

p

2

p

i

1

.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：

[0,5]

即

可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

knk

事件恰好发生k次的概率是：

P(ξk)C

k

[其中

k0,1,,n,q1p

]

n

pq

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作

～B

knk

（n·p），其中n，p为参数，并记

C

k

b(k;np)

.

n

pq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且

每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

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