2023年12月11日发(作者：高考云课堂数学试卷)

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

x2y2C:221a0,b0FFab3．已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，1、2分别为双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上运动，若A．△F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是（ ）

27,8 B．25,7 C．25,8 D．27,7

x2y2422ab4．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为3的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）

A．3 B．5 C．2 D．3+1

2ana12an1aanbnNabR5．设、，数列满足，，，则（ ）

A．对于任意a，都存在实数M，使得B．对于任意b，都存在实数M，使得C．对于任意D．对于任意anManM恒成立

恒成立

b24a,b0,24a6，都存在实数M，使得anM恒成立

，都存在实数M，使得3anM恒成立

xa13x6．若2A．3 B．2

的展开式中x的系数为-45，则实数a的值为（ ）

11C．4 D．3 7．已知向量a(m,1),b(3,m2)，则m3是a//b的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

8．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：0.675,0.989，1.102,0.010，2.899,1.024，9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）

A．y3x

xyx1ylog3xy3B． C． D．

29．已知实数0ab，则下列说法正确的是（ ）

cc22ab B．ac＜bc A．11()a()b2 C．lna＜lnb D．2a3,an为奇数an1na1,a2an1,an为偶数，则a6( ) 10．已知数列n满足：1A．16 B．25 C．28 D．33

11．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（ ）

A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）

a3eeaee60121212．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）

A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x，y满足约束条件xy10,2xy40,y2x,，则zxy的最小值为__________.

x2kx1fx2xx1，若对于任意正实数x1,x2,x3，均存在以fx1,fx2,fx3为三边边长的三角形，14．已知函数则实数k的取值范围是_______.

15．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．

16．设命题p：x0R0，22x1x02，则p：__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：

加工1个零件用时X（分钟）

20 25 30 35 频数（个） 15 30 40 15

以加工这100个零件用时的频率代替概率.

（1）求X的分布列与数学期望EX；

（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

22xy4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足18．（12分）P是圆DM1DP2．

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

x2f(x)2ln(x1)x1. 19．（12分）设函数（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）如果对所有的x≥0，都有f(x)≤ax，求a的最小值；

（Ⅲ）已知数列an中，a11，且(1an1)(1an)1，若数列an的前n项和为Sn，求证：

.

Snan1lnan12anx23aty43t（其中t为参数）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的的参数方程为，以坐标原点O为极点，2,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为6，直线l经过点A．曲线C的极坐标方程为sin24cos.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）过点P3,0作直线l的垂线交曲线C于D,E两点(D在x轴上方)，求11PDPE的值. x22cosC1y2sinxOy21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的C22的极坐标方程为的直角坐标方程；

非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（1）求曲线4cos24sin2.

C1的极坐标方程以及曲线C2（2）若直线l:ykx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P,Q两点，且|OP|2|OQ|，点M的坐标为(2,0)，求ΔMPQ的面积.

22．（10分）已知函数fxaxlnxx22x．

（1）当a2e（e为自然对数的底数）时，求函数fx的极值；

xx2x1x2fx1f1xfxf21x2fxyfxxx022．2（2）为的导函数，当a0，1时，求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据演绎推理进行判断．

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．

故选：D．

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．

2、C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．

详解：由题意，复数所以复数在复平面内对应的点的坐标为，则

，位于复平面内的第三象限，故选C．

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3、A

【解析】

y2x1△F1PF23由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合2PF1PF22【详解】

即可解决.

c222a1,c2,bca3，从而双曲线方程为

2a2a由已知可得，，所以y2x1PF1PF22PF1PF23，不妨设点P在双曲线C右支上运动，则，当时，

2此时PF1PF216(PF1PF2)22PF1PF22222，所以PF1PF26，

(PF1PF2)2PF1PF22PF1PF228PF2xPF1PF21622，所以PF1PF227；

168△F1PF22，又为锐角三 当轴时，，所以PF1PF2角形，所以故选：A.

【点睛】

PF1PF227,8.

△F1PF2为锐角三角形的临界情况，即本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到是一道中档题.

4、B

【解析】

△F1PF2为直角三角形，x2y2c22ac2b2b22xyA,1222cc22OFxyc，则abO以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点b24cac2b23c，整理计算可得离心率.

【详解】

222OFxycO解：以为圆心，以为半径的圆的方程为， ac2b2xx2y2c2c2xb2y2y221cb联立a，取第一象限的解得，

b24c222acbbac2b23A,cc，则c即，

9c整理得25a2c25a20，

c2c255122aa9则（舍去），，

c5a.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

5、D

【解析】

e取ab1，可排除AB；由蛛网图可得数列可得到答案.

【详解】

取ab1，2an1an1an的单调情况，进而得到要使anM，只需2114ab2a，由此，数列an恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；

x1114ab114abx22a2a，，

2由蛛网图可知，axbx存在两个不动点，且

因为当当0a1x1时，数列an单调递增，则anx1；

x1a1x2时，数列an单调递减，则x1ana1；

0a1x22，故所以要使anM，只需要114ab2a，化简得b24a且b0. 故选：D．

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．

6、D

【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a的值.

【详解】

xa13x∵36x13xa13x66

， 所以展开式中x的系数为33C6232aC63135540a45a∴解得13.

故选：D.

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

7、A

【解析】

2a（m，1）b（3，m2）a//bm2m30，m3或者-1，判断出即可．

3m（m2）向量，，，则，即【详解】

（3,m2）（m，1）解：向量a，b，

2a//b，则3m（m2），即m2m30，

m3或者-1，

所以m3是m3或者m1的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

8、D

【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．

【详解】

如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线都离得很远，因此D是正确选项，

故选：D．

【点睛】

本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．

9、C

【解析】

ylog3x的两侧，与其他三个曲线A、B利用不等式性质可判断，C、D利用对数函数和指数函数的单调性判断.

【详解】

解：对于A,实数0ab，

对于B．c0不成立．

对于C．利用对数函数ylnx单调递增性质，即可得出．

11cc,abab ，c0不成立

1y()x2单调递减性质，因此不成立． 对于D.指数函数故选：C．

【点睛】

利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

10、C

【解析】

依次递推求出【详解】

n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，n=5时，a6得解.

a2134，

，

a32419a49312，

，

a5212125a625328.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11、C

【解析】 首先判断出p为假命题、q为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.

【详解】

根据线面平行的判定，我们易得命题p:若直线a//b，直线b平面，则直线a//平面或直线a在平面内，命题p为假命题；

根据线面垂直的定义，我们易得命题q:若直线l平面，则若直线l与平面内的任意直线都垂直，命题q为真命题.

故:A命题“pq”为假命题；B命题“pq”为假命题；C命题“pq”为真命题；D命题“pq”为假命题.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.

12、D

【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.

【详解】

由于a3，所以a23，即ee12232e22eee222cos601321122，，即20，解得2或1.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.

【详解】

画出可行域易知zxy在点故答案为：3

A1,2处取最小值为3.

【点睛】

本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.

1,414、2 【解析】

根据三角形三边关系可知fx1fx2fx3对任意的x1,x2,x3恒成立,将fx的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由k1的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k,转化为【详解】

因为对任意正实数故fx1fx2的最小值与fx3的最大值的不等式,进而求出k的取值范围.

x1,x2,x3,都存在以对任意的fx1,fx2,fx3恒成立,

为三边长的三角形,

fx1fx2fx3x1,x2,x3k1x1k1x2kx1fx21211xx1xx1x1tx13x,令x,

y1则k1t3t,

k2y1,3,上单调递减,则3当k10,即k1时,该函数在；

y1当k1,即k1时,,

k2y,13,3, 当k10,即k1时,该函数在上单调递增,则所以,当k1时,因为2fx1fx22k4k21fx33,3,

k223所以,解得1k4；

fx1fx2fx31当k1时,,满足条件；

2k4k2fx1fx22fx31当k1时,3,且3,

2k411k1所以3,解得2,

1k4综上,2,

1,4故答案为:2 【点睛】

本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.

15、20

【解析】

根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.

16、xR，22x1x2

【解析】

存在符号改任意符号，结论变相反.

【详解】

命题p是特称命题，则p为全称命题，

故将“x0R0”改为“xR”，将“22x1x02”改为“2x21x2”，

故p：xR，22xx1x2.

1x故答案为：xR，222.

【点睛】

本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：

(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）分布列见解析，EX27.75；（2）0.8575

【解析】

（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.

（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

【详解】

（1）X的分布列如下：

X

P

20 25 30 35

0.15 0.30 0.40 0.15

EX200.15250.30300.40350.1527.75.

（2）设X1，X2分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件A表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，

则PAPX1X1601PX1X260

1PX130,X235PX135,X230PX135,X23510.40.150.40.150.1520.8575.

【点睛】

本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.

x2y2118、（1）点M的轨迹C的方程为4，轨迹C是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）8x24y26x00x3

【解析】

（1）设Mx,yDM，根据1DPPx,2y2可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以3,0，3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；

，与椭圆方程联立，利用求得（2）设l:ykx3k215；利用韦达定理表示出x1x2与y1y2，根据平k215求得x的取值范围，进而得到最终结果. 行四边形和向量的坐标运算求得OE，消去k后得到轨迹方程；根据【详解】

（1）设Mx,y，则Dx,0

DM由1DPPx,2y2知：

2222xy4x4y4 点P在圆上

x2y21点M的轨迹C的方程为：4

3,0C轨迹是以，（2）设3,0为焦点，长轴长为4的椭圆

Ex,y，由题意知l的斜率存在

x222222y114kx24kx36k40l:ykx3设，代入4得： 则24k22414k236k240k2，解得：15

24k2x1x2Ax1,y1Bx2,y214k2 设，，则24k36ky1y2kx13kx23kx1x26k6k14k214k2

四边形OAEB为平行四边形

24k26kOEOAOBx1x2,y1y2,,2214k14k

24k2x14k2y6k222OEx,yx4y6x0

14kk又 ∴，消去得：22614k624k6812x6k0,22214k14k14k3

5

8x24y26x00x3

顶点E的轨迹方程为【点睛】

本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x的取值范围.

-22)上单调递减，在(-22,)单调递增；19、（Ⅰ）函数f(x)在(1，（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；

11111aann1aan，n1，问题转化为证明：（Ⅲ）先求出数列n是以1为首项，1为公差的等差数列，lnn1【详解】

n11＜12n1231n，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．

f\'x解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（﹣1，+∞），x24x2x12，

当1＜x＜22时，f′（x）＜2，当x＞22时，f′（x）＞2， 1，222所以函数f（x）在上单调递减，在x2gx2lnx1axx1（Ⅱ）设，

g\'x则2，单调递增．

x24x2x12x1a22x112x1a(11)22ax1，

1＜(因为x≥2，故11)20x1，

（ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）单调递减，

而g（2）＝2，所以对所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；

2a2ax0，a1，则g′（x）＞2，g（x）单调递增， （ⅱ）当1＜a＜1时，2＜1﹣a＜1，若2a2ax0，a1时，g（x）＞2，即f（x）＞ax； 而g（2）＝2，所以当（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）单调递增，

而g（2）＝2，所以对所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；

综上，a的最小值为1．

（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an•an+1，由a1＝1得，an≠2，

111111aaana所以n1，数列n是以1为首项，1为公差的等差数列，

1na1a1nn1an，n1， 故n，n11an1lnn1＜1Sn＞lnan12n1232an⇔x22lnx12xx1由（Ⅱ）知a＝1时，，x＞2，

1n，

即x2lnx1＜x2x1，x＞2．

n1111ln＜xn2nn1nn，得法一：令，

1111lnn1lnn＜2nn1n 即111n lnk1lnklnn12kk12n1k1因为，

lnn1所以nn11＜12n1231n，

Sn＞故an1lnan12an．

11an11Sn＞lnan1232an法二：⇔下面用数学归纳法证明．

1n＞lnn1n2n1

（1）当n＝1时，令x＝1代入x2lnx1＜x2x11＞ln2，即得14，不等式成立

（1）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，

1即11231k＞lnk1k2k111123，

则n＝k+1时，11k1＞lnk1kk12k1k1，

x21lnx1＜xx2x1k1代入令，

1k21k1kk21＞lnlnk1＞lnk1lnk1k12k1k22k1k12k1k12k1k2得

lnk2kk212k1k2lnk2k12k2，

1即：1123112＞lnk2kk12k211123，

由（1）（1）可知不等式1n＞lnn1n2n1对任何n∈N*都成立．

Sn＞故an1lnan12an．

考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前n项和；5、不等式的证明．

120、（1）y3x2，y4x；（2）2

2【解析】

xcosysin可得到曲线C的直角坐标方程；(1)利用代入法消去参数可得到直线l的普通方程，利用公式(2)设直线DE3x3t，21yt2的参数方程为（t为参数），

2y4x得t283t1630，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果. 代入【详解】

（1）由题意得点A的直角坐标为则直线l的普通方程为yx23at，a1，3,1t3，y43t，，将点A代入得

3x2.

2222sin4cossin4cosy4x. 由得，即2y4x.

C故曲线的直角坐标方程为3x3t，21yt2（2）设直线DE的参数方程为（t为参数），

22y4xt代入得83t1630．

设D对应参数为1，E对应参数为tt2．则t1t283，t1t2163，且t10,t20.

111111t1t21PDPEt1t2t1t2t1t22．

【点睛】

22参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cossin1等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相x2y22xcosytanysin应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，x等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

x222y21CC21、（1）1的极坐标方程为4cos，2的直角坐标方程为4（2）3

【解析】

（1）先把曲线C1的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用xcos,ysin 求得极坐标方程.将242222cos24sin2，化为cos4sin4，再利用xcos,ysin 求得曲线C2的普通方程.

2424Q22213sin0，将0代入p4cos，得cos4sin0（2）设直线的极角，代入，得P4cos0，由|OP|2|OQ|，得P2Q，即4cos0216212sin20cos2013sin0，从而求得3，3，1SSS|OM|PQsin0MPQOMPOMQQ,P2从而求得，再利用求解.

【详解】

（1）依题意，曲线C1:(x2)2y2422xy4x0， ，即24cos0，即4cos. 故2因为42222cos24sin2，故cos4sin4，

x2y2122即x4y4，即4.

424Q2213sin20cos4sin0（2）将代入，得，

24cos0， 将0代入p4cos，得P由|OP|2|OQ|，得P2Q4cos0，得21613sin20，

解得sin2021cos203，则3.

又002，故Q42343,4cosP013sin2033，

122SMPQSOMPSOMQ|OM|PQsin023. 故MPQ的面积【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.

2e2e122、（1）极大值，极小值；（2）详见解析.

【解析】 首先确定函数的定义域和（1）当a2e时，根据fx；

的正负可确定fxfx单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；

x211xxln12x12t1x2x1t11htlntx2x2t1，利用导数可证得（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令ht0，进而得到结论.

【详解】

x12xa1fxa12x2fx0,，xx由题意得：定义域为，

（1）当a2e时，fx2x1xex，

当x0,1和e,时，fx0；当x1,e时，fx0，

fxfx在0,1，e,上单调递增，在1,e上单调递减，

f12e122e1，极小值为极大值为fe2ee1e22ee2.

xx2x1x2fx1f1xfxf21x222， （2）要证：xx2fx1fx2f1x1x22即证：，

2ax1x2a2x1x22ax1lnx1x122x1ax2lnx2x22x2x1x2即证：，

aln化简可得：x12ax1x2x2x1x2．

x211xxln12x2x1x2x1x21ln1xx2x1x2，即证：a0，2，

tx1x2设t12t1ht21htlnttt1t1，则，令20， x211xxln12x1x21ht1,hth10x2在上单调递增，，则由，

xx2x1x2fx1f1xfxf21x222. 从而有：【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.


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