2023年12月10日发(作者：2023高考河南数学试卷)

更多高中学习资料下载请加QQ群655926100集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数=2；真子集个数=21.5.交集：ABx|xA且xB并集：ABx|xA或xB补集：CUAx|xU且xA6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.nn题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（①方程）x2y20的解集为2,2②集合y|yx1,xR与y|yx1,xR的公共元素所组成的集合是0,12③集合x|x10与集合x|xa,aR没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x的值所构成的集合，而是x和y的值的集合，也就是一个点.答案：A更多高中学习资料下载请加QQ群655926100x20x2详解：在①中方程x2y20等价于，即。因此解集应为y20y22,2，错误；在②中，由于集合y|yx1,xR的元素是y，所以当xR时，yx11.同理，y|yx1,xR中yR，错误；在③中，集合x|x10即x1，而x|xa,aR，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于集合B的元素；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合A和B不可能相等．错误的命题的个数是（）A．0B．1C．2D．322分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M是集合N的子集，那么M中的元素个数要小于或等于N中元素的个数；如果集合M是集合N的真子集，那么M中的元素个数要小于N中元素的个数.答案：C详解：（1）如果集合A是集合B的真子集，则集合B中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素少于或等于集合的B元素，故（2）不正确；（3）如果集合A是集合B的子集，则集合A的元素不多于集合B的元素，故（3）正确；（4）如果集合A是集合B的子集，则集合A和B可能相等，故（4）不正确．故选C．3.设P、Q为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合PQ中的元素是ab，其中aP,bQ，则PQ中元素的个数是（A.9B.8C.7D.6）分析：因为aP，bQ，所以PQ中的元素ab是P中的元素和Q中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当a0时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为1,2,6；当a2时，b依次取1,2,6，得ab的值分别3,4,8；当a5时，b依次取1,2,6，得ab的值分别6,7,11；更多高中学习资料下载请加QQ群655926100由集合的互异性得PQ中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.4.设数集M同时满足条件①M中不含元素1,0,1，②若aM，则则下列结论正确的是(A．集合MB．集合MC．集合MD．集合M)1aM.1a中至多有2个元素；中至多有3个元素；中有且仅有4个元素；中有无穷多个元素.1aM.那么我们可以根据条件多求出几个M集合的元分析：已知aM时，1a素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C1a111a1aa1M，详解：由题意，若aM，则M，则1aM，1a1a11aa111aaa11a12aaM，若a1a，则a21，无解，同理可证明这四个元素中，则a121a1a1任意两个元素不相等，故集合M中有且仅有4个元素．1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（A.xR|x55B.xR|x55C.xR|x0）2D.xR|xx102分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解：x2x10，更多高中学习资料下载请加QQ群655926100141130方程无实数解，故选D.6.用描述法表示下列集合：(1)0,2,4,6,8；(2)3,9,27,81,；(3),1357,,,；2468(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1)xN|0x10,且x是偶数；(2)x|x3n,nN；(3)x|x2n1,nN；2n(4)x|x5n2,nZ．======================================================================题型二、不含参数⑴⑴中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分，，的区别；②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；③ABAABABABAAB从A和B两方面讨论.【No.1判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系更多高中学习资料下载请加QQ群655926100①00；②00；③；④aa；⑤0；⑥0；⑦0；0C.②③④⑥D.②③④⑦⑧其中正确的是（）A.②③④⑧B.①②④⑤分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：--“属于”，用于表示元素和集合的关系；，--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为00；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为0；2.若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（（1）若AB,则CUACUBU（2）若ABU,则CUACUB（3）若AB，则ABA．0个B．1个C．2个D．3个）分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）CUACUBCUABCUU；（2）CUACUBCUABCUU；（3）证明：∵AAB,即A，而A，∴A；同理B，∴AB；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2子集、真子集】3.从集合Ua,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：①，U都要选出；②对选出的任意两个子集A和B，必有AB或BA.那么共有种不同的选法.更多高中学习资料下载请加QQ群655926100分析：由①可以知道选出的子集中一定有和U，我们要求得只剩两个集合。根据②（以AB为例）可以从讨论A中有1个或2个元素有几种选法来确定B的选法.注意A中不可能有3种元素，因为这样B中会出现U和A中的元素，与题意和性质不符.答案：36详解：由题意知，集合必有子集和U，只需考虑另外两个集合如果A中含有一个元素，有4种选法，相应的，B集合中有6中选法，共24种；如果A中含有两个元素，有6种选法，相应的，B集合中有2中选法，共12种；即总共有36种选择。4.已知集合Ax|x2x30，那么满足BA的集合B有（A．1个B．2个C．3个D．4个2）分析：本题求的是A集合的子集个数答案：D详解：根据题意，x22x30，则x1或3，则集合A1,3，其中有2个元素，则其子集有24个，满足BA的集合B有4个，故选D．5.若集合AB，AC，且BC0,2,4．则满足条件的集合A的个数为（A．3个B．4个C．7个D．8个2）分析：集合AB，AC，说明A同时是两个集合的子集.答案：D详解：根据题意，集合AB，AC，且BC0,2,4．即A为0,2,4的子集，而0,2,4中有3个元素，共有28个子集；3即满足条件的A的个数为8；故选D．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.3集合间的运算】更多高中学习资料下载请加QQ群6559261006．设全集Ux,y|x,yR,集合Mx,y|那么CUMCUN等于________________.y21，Nx,y|yx4,x2分析：首先要注意本题要求的是点集，M集合的含义是不含有2,2的直线上的点集，CUM表示的就是2,2；CUN表示yx4.答案：2,2详解：M:yx4x2，M代表直线yx4上，但是挖掉点2,2，CUM代表直线yx4外，但是包含点2,2；N代表直线yx4外，CUN代表直线yx4上，∴CUMCUN2,2.7.已知Mx|xpx60，Nx|x6xq0，则MN2,则pq22（A.21）B.8C.6D.7分析：从MN2入手得，2既是M的元素又是N的元素，那么代入便可以求出p和q的值.答案：A详解：由已知得，2M,2N所以2是方程xpx60和x6xq0的根，故将2代入得，p5；q0,q16.所以pq21.8.已知方程xbxc0有两个不相等的实根x1，x2.设Cx1,x2，A1,3,5,7,9，222B1,4,7,10，若AC,CBC，试求b，c的值。分析：对AC,CBC的含义的理解是本题的关键，CBCCB；更多高中学习资料下载请加QQ群655926100详解：由CBCCB，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。又因为AC，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C4,10因此，bx1x214，cx1x240.======================================================================题型三、集合含参解决此类型题应注意：①遇到子集需从和不是两方面讨论，如ABA或B.②会解各种类型的不等式.③如果方程中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为0进行讨论.【No.1集合vs.集合】1.设U2,4,1a，A2,aa2，若CUA1,则a的值为（2）A.1B.2C.3D.4分析：因为CUA1，所以U中必含元素1，A中必不含元素1.答案：B详解：因为CUA1，所以11a，解得a2.a2时，a2a24，满足CUA1．所以实数a的值为2．4a2a2a2a20a2或a1a2代入CSA1成立同理a1代入无解，故舍去.综上a22.已知集合Ax|log2x11，集合Bx|xaxb0,a,bR2（1）若AB，求a,b的值；（2）若b3，且ABA，求a的取值范围．分析：（1）中AB得出A和B中不等式的解相同，那我们算出集合A的解集，再由韦达定理求出a,b即可；（2）由ABA可得BA．题目中只要看到类似BA这种子集问题，必然要先讨论B是否为，因为是任何集合的子集，所以也是一种情况必须要讨论.更多高中学习资料下载请加QQ群655926100详解：（1）由log2x11得0x12，所以集合Ax|1x3．由AB知，xaxb0的解集为x|1x3，所以方程xaxb0的两根分别22为1和3．由韦达定理可知，a13，解得a4，b3，即为所求．b132（3）由ABA知，BA．①当B时，有a120，解得；23a23a2120af14a02②当B时，设函数fxxax3，其图象的对称轴为x，f3123a02a132解得23a4综上①②可知，实数a的取值范围是[23,4]----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2集合vs.不等式】3.设集合Ax|xa1,xR，B=x|xb2,xR.若AB，则实数a，b必满足（）分析：做这种题首先要先会解绝对值不等式，然后再比较端点即可.答案：D详解：Ax|1ax1aBx|x2b或x2b因为AB，且A则有1a2b或1a2b即ba3或ba3即ba3，选D.4.集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，更多高中学习资料下载请加QQ群655926100(1)若BA,求实数m的取值范围;(2)当xZ时,求A的非空真子集个数;(3)当xR时,没有元素x使xA与xB同时成立,求实数m的取值范围.分析：此问题解决要注意：(1)BA中的分类讨论；(2)集合的非空真子集的个数=2n1；(3)当xR时,没有元素x使xA与xB同时成立能得出A与B没有交集，当中还要考虑B是否为.详解：(1)当m12m1即m2时,B满足BA.当m12m1即m2时,要使BA成立,需m12m1,可得2m3.综上所得实数m的取值范围m3.m15(2)当xZ时,A2,1,0,1,2,3,4,5,所以,A的非空真子集个数为282254.(3)∵xR,且Ax|2x5,Bx|m1x2m1,又没有元素x使xA与xB同时成立则①若B即m12m1,得m2时满足条件;②若B,则要满足条件有:综上有m2或m4.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------m12m1,m12m1,或解之,得m4.m152m12【No.3集合vs.方程】25.已知集合Px|xx60,Qx|ax10满足QP,求a所取的一切值.分析：这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从a0和a0两个方面进行解题.详解：因Px|x2x602,3,当a0时,Qx|ax10,QP成立.又当a0时,Qx|ax10111P成立,则有2或3,,要Qaaa更多高中学习资料下载请加QQ群65592610011a或a.23综上所述,a0或a11或a.236．已知集合Ax|ax3x40,xR．(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．2分析：A中元素的个数代表方程ax23x40的根的个数，不过首先要讨论a是否为0.详解：(1)∵A中有两个元素，∴方程ax3x40有两个不等的实数根，2a09∴，即a16916a∴a9，且a0.1643(2)当a0时，A；当a0时，若关于x的方程ax3x40有两个相等的实数根，916a，即29；16若关于x的方程无实数根，则916a0，9即a；169故所求的a的取值范围是a或a0.16a7.已知集合Ax|2x3x10，Bx|mxm2x10，若ABA，求222实数m的取值范围．分析：与第7题类似，第7题是先讨论a是否为0，而本题的答案中先讨论的是B是否为，在这种类型题中，两种方法兼可.更多高中学习资料下载请加QQ群6559261001详解：Ax|2x23x101,，2∵ABA，∴BA，①当B，若m0，不成立；若m0，则0，m②当B1或，若m0，x2或m2；3121，成立；22或m2，3若m0，则0，m经检验，m2成立；③当B1,，12m2112m2，无解，不成立．则1112m2综上：m2或m2或m0．3======================================================================题型四、韦恩图像解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算1．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？分析：解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.解析：设单独加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．更多高中学习资料下载请加QQ群655926100xyz26x12依题意y4z13，解得y8xyz21z1∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．2.设全集U是实数集R，函数y1x42的定义域为M，Nx|log2x11，则如图所示阴影部分所表示的集合是（）A．x|2x1B．x|2x2C．x|1x2D．x|x2x240分析：本题要注意y的定义域：2x240x40答案：C详解：由题意易得Mx|x2或x2，Nx|1x3，而阴影部分表示CUMNx|1x2，选C．3.设全集U=R，Ax|2xx21，Bx|yln1x，则右图中阴影部分表示的集合更多高中学习资料下载请加QQ群655926100为（）A.x|x1B.x|1x2C.x|0x1D.x|x1分析：由图可知所求为CUBA，还要注意解A,B集合时应遵循指对运算的规则.答案：B详解：2xx2120，因为y2x是增函数，所以xx20，故0x2，A0,2，B,1.阴影部分表示的集合为CUBAx|1x2.======================================================================题型五、创新题型解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义.1.对于集合M、N，定义：MNx|xM且xN，MNMNNM，设Ay|yx3x,xR，Bx|ylog2x，则AB=（）2A．9,04更多高中学习资料下载请加QQ群655926100B．9,0490,490,4C．,D．,分析：创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得，ABABBA，ABx|xA且xB，BAx|xB且xA.A集合所求的是yx23x的值域，B集合所求的是ylog2x的定义域.答案：C详解：本题考查集合的运算3992由yx3xx得Ay|y；244由ylog2x得x0，则Bx|x0；由MNx|xM且xN得ABx|x00,，299BAx|x,，44由MNMNNM得AB0,,故正确答案为C.2.定义集合A与B的运算“*”为:ABx|xA或xB,但xAB.设X是偶数集,Y1,2,3,4,5,则XYY=（A．XB．YC．XYD．XY）9.4分析：XYY整体算上去比较复杂，所以要分开先计算XY.更多高中学习资料下载请加QQ群655926100答案：A详解：首先求出XY2,4，X,Y的并集再去掉交集即得XY1,3,5,6,8,10,.同理可得XYY2,4,6,8,10,X3.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为PA，用nA表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有APA；②存在集合A，使得nPA3；③用表示空集，若AB，则PAPB；④若AB，则PAPB；⑤若nAnB1，则nPA2PB其中正确的命题个数为（）A．4B．3C．2D．1分析：已知幂集PA为子集所组成的集合，nA表示有限集A的元素个数，那么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.答案：B详解：对于命题①，AA，因此APA，命题①正确；对于命题②，若集合A的元素个数为m，则集合A的子集共2个，若nPA3，则m2m3，解得mlog23N，命题②错误；对于命题③，若AB，由于A，B，因此PA，PB，所以PAPB，则PAPB，命题③错误；对于命题④，若AB，对集合A的任意子集EA，即对任意EPA，则EB，则EPB，因此PAPB，命题④正确；对于命题⑤，设nBn，则nAn1，则集合A的子集个数为2n1，即nPA2n122n，集合B的子集个数为2n，即nPB2n，因此更多高中学习资料下载请加QQ群655926100nPA2PB，命题⑤正确，故正确的命题个数为3，选B.======================================================================PS：课后练习一、选择题1.下列命题中正确的是（A.数0不能构成集合B.数0构成的集合是0C.数0构成的集合是D.数0构成的集合的元素是02..a,a,b,b,a,b构成集合M，则M中元素的个数最多是（A.6B.5）C.4D.322））3.下列表示方法正确的是（A.3y|yn1,nN2B.0(x,y)|xy0,xN,yNC.3x|x90,xND.2x|x222n,nN）4.集合At|tp,其中pq5,且p,qN*的所有真子集的个数为（qC.152A.32B.7D.315.已知方程xpx150与x5xq0的解集分别为A与B，且AB3，则pq（A.14）B.112C.7D.26.若1,2,3,a3,aA.0,11,2,3,a，则a的取值集合为（B.0,1,2)C.1,2D.0,1,2,2更多高中学习资料下载请加QQ群6559261007.设全集UR,Ax|2（）xx21，Bx|yln1x，则图中阴影部分表示的集合为A．x|x1B．x|1x2C．x|0x1D．x|x18.设全集UR，Ax|xx20，Bx|yln1x0，则图中阴影部分表示的集合为()A．x|0x1B．x|1x2C．x|x1D．x|x19.给定集合A,B，定义一种新运算：A*Bx|xA或xB,但xAB,又已知A0,1,2,B1,2,3，则A*B等于（A.0B.3C.0,3）D.0,1,2,310.设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP且xQ，如果Px|log2x1，更多高中学习资料下载请加QQ群655926100Qx|x21，那么PQ等于(A．x|0x1B．x|0x1C．x|1x2D．x|2x311.定义ABz|zxy)x,xA,yB，设集合A0,2，B1,2，C1，y）则集合ABC的所有元素之和为（A.3B.9C.18D.27二、填空题1.下列命题正确的是.(1)空集没有子集.(2)空集是任何一个集合的真子集.(3)任一集合必有两个或两个以上子集.(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B.2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；2④方程xx10的实数根组成的集合．3.用列举法表示集合AnN|n2N,n5为n14．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．5.集合Ax|2x10，Bx|x12，则AB=.更多高中学习资料下载请加QQ群655926100三、解答题1.已知集合AxR|x3x40,BxR|x1x3x40,要使22APB,求满足条件的集合P.2.设集合Ax|72x17，Bx|m1x3m2，（1）当m3时，求AB与ACRB；（2）若ABB，求实数m的取值范围．3.若关于x的不等式tx6xt0的解集,a1,，求a的值．224.已知不等式：3x1的解集为A．2x12（1）求解集A；（2）若aR，解关于x的不等式：ax1a1x；（3）求实数a的取值范围，使关于x的不等式：ax1a1x的解集C满足CA．2更多高中学习资料下载请加QQ群655926100课后练习答案一、选择题1.答案：D提示：数0只能构成一个只含有元素0的集合，这个集合不是，因为中没有任何元素.2.答案：C提示：当a,b,a2,b2不等式M中含有的元素个数最多.3.答案：D提示：判断元素是否在集合内.4.答案：C提示：集合的真子集个数为2n1.5.答案：A提示：x3为两方程的公共根.6.答案：D提示：计算出a的值后要带回1,2,3,a3,a21,2,3,a验证.7.答案：B提示：因为图中阴影部分表示的集合为A(CUB).8.答案：B提示：图中阴影部分表示的集合为ACUB.9.答案：C提示：依题意xAB,但xAB,而AB0,1,2,3，AB1,2故AB0,3.10.答案：B提示：Px|0x2，Qx|1x3．由PQ定义可知PQx|0x1．更多高中学习资料下载请加QQ群65592610011.答案：C提示：AB0,4,5，ABC0,8,10，故ABC的所有元素和为18.二、填空题1.答案：(4)提示：空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.答案：①x|x2n1,nN，是无限集．②x,y|x0,y0，是无限集．③x|x是周长等于10cm的三角形，是无限集④方程xx10没有实数根，即其组成的集合，是有限集．22.答案：2提示：n231，分别令n0,1,2,3,4,5代入即得结果.n1n13.答案：45提示：14.答案：,32提示：先化简，再取交集三、解答题1.答案：由AxR|x23x40,BxR|x1x23x401,1,4,由APB知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为更多高中学习资料下载请加QQ群6559261001或1或4或1,1或1,4或1,4或{1,1,4}.提示：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.2.答案：（1）当m3时，B2,7，CRB,27,，∴AB2,4，ACRB,47,．（2）∵ABBBA，当B时，m1；2m1311m2．当B时，即m时，223m24综上m2．提示：BA，要对B进行分类讨论3.答案：∵tx26xt20的解集是,a1,∴t0x1代入得t6t20解得：t3或t2（舍去）a1t3a3提示：因为不等式的解集为,a1,，所以t0.4.答案：（1）去分母化简得xx20，∴2x1，∴A2,1（2）ax1a1x等价于axa1x10，即ax1x102221）当a0时，axa1x10等价于ax211x10，即xx11，aa所以：①当a1时，11x1；②当a1时，x；③当0a1时，1x；aa更多高中学习资料下载请加QQ群6559261002）当a0时，x13）当a0时，x1或x（3）若CA，则：①当a1时，C1a1,1，不可能成立；a1，成立；a1111,，须有2，则a0．aa2②当a1时，x，成立；③当0a1时，1x2）当a0时，x1，成立；3）当a0时，C,综上：a1,1.2


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