2023年12月9日发(作者：云龙县中考数学试卷)
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第六讲 多边形的角与对角线
对于凸多边形的对角线公式，其推导思路是：
1、设这个凸多边形的边数为n，从它的一个顶点出发引对角线，除了这点本身、和与它相邻的两个顶点外，与其他的顶点所连接的线段都是对角线，故这样的对角线可引n−3条；
2、n边形有n个顶点，可引n(n−3)条；
3、n(n−3)条中每条对角线都计算了两次；
14、所以凸多边形的对角线共有：n(n−3)条
21所以凸多边形的对角线公式为：n(n−3)（n≥3）。
2同样的思路可以推出多边形的内角和公式为：(n−2)×180（n≥3）
例题精讲
1. 求图中x的值。
80°120°75°x°
【分析】 四边形的内角和为360，所以x=180−(360−120−80−75)=95。
2. 已知AC,AD是五边形ABCDE的对角线，求证：AB+BC+CD+DE+EA>AC+CD+DA。
ABECD
【分析】 由三角形三边性质可知，AB+BC>AC，AE+DE>AD，所以AB+BC+AE+DE>AC+AD，两边再同时加上CD，也即AB+BC+CD+DE+EA>AC+CD+DA。
3. 已知多边形的内角和是外角和的k倍，求这个多边形的边数。
【分析】 设这个多边形的边数为n，则由题意得(n−2)⋅180=k⋅360，解之，得n2k+2。
六年级寒假-第6讲-教师版 page 1 of 7
4. 如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值。
GAHEFBD
=【分析】 显然∠A+∠B+∠C+∠AHC=360=，而∠E+∠D+∠F+∠G+∠EHC=360，而
∠AHC+∠EHC=180，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G360×2−180540。
5. （2003年全国初中联赛题）如图所示，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值。
CAGFB=CMDNE=
【分析】 由四边形内角和定理可知∠A+∠C+∠F+∠CNF=360，∠B+∠E+∠G+∠BME=360，而180−∠CNF+180−∠BME+∠D=180，所以把三个式子加起来可得
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G360+360−180540
6. （山东省数学竞赛）已知∠CGE=a，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
ACPEGQBDF
【分析】
∠EGC=∠F+∠BPF=∠A+∠B+∠F=a；而∠CGE=∠E+∠EQG=∠E+D+∠C=a。所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2a。
7. （重庆数学竞赛题）如图，∆ABC内有三个点D,E,F，以A,B,C,D,E,F为顶点画三角形。若每个三角形的顶点都不在另一个三角形内部，那么，这些三角形所有内角之和是多少？
六年级寒假-第6讲-教师版 page 2 of 7 CFEDAB
【分析】 这样画的结果，是以这6个点为“节点”作成了一个覆盖∆ABC的“三角形网”，这些三角形“网眼”的内角，组成∠A、∠B、∠C，此外，还组成以内点D,E,F为中心的三个周角，故其总和为3×360+180=1260
==
8. （全国初中数学联赛）如图，AA\',BB\'分别是∠EAB,∠DBC的平分线。若AA\'度数。
B\'CBB\'求∠BAC的AB，=AEBD=A\'
180−x180−x180+x180+x【分析】 设∠BAC=，而∠CBB\'=，)÷2x，则∠A\'AB=，∠A\'(180−2248180+x180+x在三角形ABB\'中，x++x+(180−)=180，解得x=12。
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选讲部分
1. 在一个凸n边形中，最多能有几个角是锐角？为什么？
【分析】 最多只能有3个角是锐角，因为如果有4个或4个以上的锐角，那么这些锐角的邻补交就都是钝角，四个钝角总和肯定大于360，所以可知最多只能有三个锐角。
2. 已知：直角梯形ABCD，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC，E是AB上一点，AE=AD，∠CEB=75，求∠ECD。
ADADEBC
EBC
六年级寒假-第6讲-教师版 page 3 of 7 【分析】 连接由AE=AD可得∠AED=∠ADE=45，又由AB=AC可知∠BAC=∠ACB=45，所以可得∠CAD+∠ADE45+4590，也即AC⊥DE，又由AD=AE可知AC是DE的中垂线，所以可得CE=CD，且∠ECA=∠DCA=−45(90−75)=30，于是可得∠ECD=×230=60。
3. 已知凸n边形的n个内角与某一个外角之和为1350，求n。
【分析】 设这个外角为a，依题意有：(n−2)×180+a=1350，又因为0 a1350−(n−2)⋅180<180，解之得8.5 4. （2002年四川省竞赛题）如果等腰梯形的下底与对角线长都是10cm，上底与梯形的高相等，则上底的长是多少？ ADBEC 10−xx【分析】= 如果过D做DE⊥BC于点E，设DE=x，则BE=10−=5+，所以由勾股定理得 22 x(5+)2+x2=102，解得x=6。所以上底的长是6cm。 2 5. 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形，问其中最长==的一段的取值范围。 10【分析】 显然最长的一段的最小值为=2cm，而最长的边不能大与整个线段的一半，所以最长一段的取5值范围是：必须小于5cm，且不小于2cm。 6. 在平面上，一个凸n边形的内角和小于2009，求n的最大值。 【分析】 多边形内角和为(n−2)×180<2009，所以n<13.16，所以n最大值为13。 作业部分 1. 求图中x的值。 150°2x°120°90°x° 六年级寒假-第6讲-教师版 page 4 of 7 【分析】 由内角和公式可知此图内角和为(5−2)×180=540，也即x+2x==所以解得x=60。 2. 如图，ABCDE是一个复杂五边形，求其内角之和。 DD540−(150+120+90)180 FECFE=C 【分析】 如右图，连接BE，则这个五边形就变为两个四边形，则五边形内角和就是这两个四边形的内角ABAB总和，所以总和为360×2=720。 3. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。 【分析】 由多边形的外角和为360，可知内角和为360×2=720，再由内角和公式(n−2)×180=720，可得n=6，所以多边形的边数为6边形。 4. 一个凸n边形(n>3)的n个外角中，至多有几个钝角？ 【分析】 最多只有3个钝角，如果有四个钝角，那么总和超过了360。 A=5. (2007年数学周报杯竞赛题)如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n⋅90，则n= 。 BIGCHFDE 180×36×90，所以可得n=6。 【分析】 由三角形外角性质可知∠A+∠D=∠AHG，而∠AHG+∠G=∠BIH，也即∠A+∠D+∠G=∠BIH 在五边形BCEFI中，∠B+∠C+∠E+∠F+∠BHI 6. 如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。 六年级寒假-第6讲-教师版 page 5 of 7 AAGDDFCFCBHBEE 【分析】 延长ED交AB于点G，则∠DHB=∠C+∠CDH，而∠AGE=∠GHB+∠B=∠C+∠CDH+∠B，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F就变为求四边形AFEG的内角和。所以原式=360。 选做部分 ==1. （1997年祖冲之杯竞赛题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15，求∠BOE的度数。 ADO 【分析】 由AE是角平分线可知∠BAE=∠BEA=45，也即AB=BE，而∠BAO=45+15=60，所以三角形ABO为正三角形，也即AOBOAB，所以可得BO=BE，因为∠OBE=90−60=30，所以可得∠BOE=∠BEO=(180−30)÷2=75。 2. （全国初中数学联赛）如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC度数是多少？ ABECBCKHG 【分析】 由AK=KG可得∠A=∠G，又由BG=BH可得∠G=∠H，而∠ABC∠G+∠H2∠G2∠A，又由∠ABC=∠ACB=2∠A，也即∠A+2∠A+2∠A=180，所以就可得∠A=36。 3. （第17届希望杯竞赛题）从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三4角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的，那么此n边形的内角和为 。 9六年级寒假-第6讲-教师版 page 6 of 7 【分析】 从凸n边形的一个顶点可以引出n−3条对角线，可以分成n−2个三角形，也即mn−2。而凸n1314边形的对角线的条数为n(n−3)，也即n(n−3)×=n−2，解得n=6或n=，可知正多边形2229为正6边形。所以内角和为(6−2)×180=720。 4. 一个多边形的边数与所有对角线的条数相等，求这个多边形的边数。 1【分析】 由多边形对角线的条数公式可知：n。n(n−3)，也即n2−5n=0，可得n=5或n=0（舍去）2所以这个多边形为5边形。 =ABCD中，=AE,AF分别是BC,CD的中垂线，∠EAF=5. 如图，四边形80，∠CBD=30，求∠ABC和∠ADC度数。 ==ABDEF 【分析】 由已知可得ABACAD，从而∠BAE=∠ADB，故可得∠EAC,∠DAF=∠CAF及∠ABD==∠BAE+∠CAF=∠EAF=80，∠BAD=×280=160，而因为∠AEC=∠AFC=90， 11 故∠C180−∠EAF100，故∠ABD=∠ADB=(180−∠BAD)=×20=10，从而 22C ∠ABC=30+10=40，∠ADC=∠BDC+∠ADB=(180−∠C−∠CBD)+10=50+10=60。 =六年级寒假-第6讲-教师版 page 7 of 7
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