近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理

2024年1月22日发(作者：小学数学试卷的总体评价)

江苏省普通高校“专转本”统一考试

专转本高数试卷结构知识分类与历年真题时间排序与参考答案

高等数学

 函数、极限和连续

 一元函数微分学

 一元函数积分学

 向量代数与空间解析几何

 多元函数微积分

 无穷级数

 常微分方程

 2004年高等数学真题参考答案

 2005年高等数学真题参考答案

 2006年高等数学真题参考答案

 2007年高等数学真题参考答案

 2008年高等数学真题参考答案

 2009年高等数学真题参考答案

 2010年高等数学真题参考答案

 2011年高等数学真题参考答案

 2012年高等数学真题参考答案

 2013年高等数学真题参考答案

江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学试卷结构

全卷满分150分

一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

知识分类与历年真题

一、函数、极限和连续

（一）函数

3xx3,0（0401）f(x)3是（ ）

xx0,2A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数

（0801）设函数f(x)在(,)上有定义，下列函数中必为奇函数的是（ ）

A.yf(x) B.yxf(x) C.yf(x) D.yf(x)f(x)

（二）极限

234（0402）当x0时，xsinx是关于x的（ ）

A.高阶无穷小 B.同阶无穷小

xC.低阶无穷小 D.等价无穷小

2x（0407）设f(x)f(x) ．

，则limx3x

xf21，则lim（0601）若limx0x0x2A.x（ ）

xf3C.3 D.1

2B.2

1

3（0607）已知x0时，a(1cosx)与xsinx是等价无穷小，则a ．

3（0613)计算limx1x1．

x11f（ ）

2xC.2

2（0701）若limx0f(2x)2，则limxxxB.A.1

41

2D.4

nn（0702）已知当x0时，xln(1x)是sinx的高阶无穷小，而sinx又是1cosx的高阶无2穷小，则正整数n（ ）

A.1 B.2

3xC.3 D.4

x2（0813）求极限：lim．

xxx2axb3，则常数a,b的取值分别为（ ） （0901）已知limx2x2A.a1,b2 B.a2,b0

xC.a1,b0 D.a2,b1

x（0907）已知lim2，则常数C ．

xxC（1001）设当x0时，f(x)xsinx与g(x)ax是等价无穷小，则常数a,n的值为 ( )

A.an1111,n3 B.a,n3 C.a,n4 D.a,n4

63126xx1（1007）

lim ．

xx1（1101）当x0时，函数f(x)ex1是函数g(x)x的( )

A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小

x2

x2（1107）已知lime2，则k_________．

xx（1201）极限lim2xsinkxx1sin3x（ ）

xxD.5 A.0 B.2 C.3

2（1301）当x0时，函数f(x)ln(1x)x是函数g(x)x的（ ）

A.高阶无穷小 B.低阶无穷小

1xC.同阶无穷小 D.等价无穷小

（1310）设limaxe，则常数a ．

x0ax（三）连续

（0413）求函数f(x)x的间断点，并判断其类型．

sinx1的（ ）

xC.第二类间断点 D.连续点

（0501）x0是f(x)xsin A.可去间断点 B.跳跃间断点

f(x)2sinxx0（0513）设F(x)在R内连续，并满足f(0)0，f(0)6，求a．

xax012xsinx0（0602）函数f(x)在x0处（ ）

xx00 A.连续但不可导 B.连续且可导 C.不连续也不可导 D.可导但不连续

（0608）若limf(x)A，且f(x)在xx0处有定义，则当A 时，f(x)在xx0处xx0连续．

1x（0707）设函数f(x)(1kx)x0，在点x0处连续，则常数k ．

2x0x21（0807）设函数f(x)，则其第一类间断点为 ．

x(x1)

axx0（0808）设函数f(x)tan3x在点x0处连续，则a＝ ．

x0xx23x2（0902）已知函数f(x)，则x2为f(x)的（ ）

x24A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.震荡间断点

eaxx2ax1x0xarctanx（1123）设f(x)1x0，问常数为何值时：

axe1x0sin2x（1）x0是函数f(x)的连续点？

（2）x0是函数f(x)的可去间断点？

（3）x0是函数f(x)的跳跃间断点？

（1202）设f(x)(x2)sinx，则函数f(x)的第一类间断点的个数为（ ）

2xx4B.1

1xA.0 C.2 D.3

（1207）要使函数f(x)12x在点x0处连续，则需补充定义f(0)_________．

sin2xx0x（1303）设f(x)，这点x0是函数f(x)的（ ）

xx01x1A.跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D.连续点

1x0xsin（1307）设f(x)在点x0处连续，则常数a ．

xx0a二、一元函数微分学

（一） 导数与微分

（0403）直线L与x轴平行且与曲线yxe相切，则切点的坐标是（ ）

A.1,1 B.1,1 C.0,1 D.0,1

x（0409）设f(x)x(x1)(x2)(xn)，nN，则f\'(0) ．

yd2y（0415）设函数yy(x)由方程yxe1所确定，求2dx（0502）若x2是函数yxlnA.1

的值．

x01ax的可导极值点，则常数a（ ）

211B. C. D.1

22xcostdyd2y（0514）设函数yy(x)由方程所确定，求、2．

dxysinttcostdxxln(1t2)dyd2y（0614）若函数yy(x)是由参数方程所确定，求、2．

dxdxytarctant2（0708）若直线y5xm是曲线yx3x2的一条切线，则常数m ．

dy（0714）设函数yy(x)由方程eexy确定，求dxxyd2y、2dxx0．

x0（0802）设函数f(x)可导，则下列式子中正确的是（ ）

f(x02x)f(x)f(0)f(x)f(0)

f(x0)

x0x0xxf(x0x)f(x0x)f(x0x)f(x0x)f(x0) 2f(x0)

x0x0xxtsintdyd2y（0814）设函数yy(x)由参数方程（t2n，nZ）所决定，求、2．

dxdxy1costx00（0903）设函数f(x)在点x0处可导，则常数的取值范围为（ ）

1xsinx0xA.01 B.01 C.1 D.1

xln(1t)dyd2y（0914）设函数yy(x)由参数方程所确定，、2．

2dxdxyt2t3exx0（0923）已知函数f(x)，证明函数f(x)在点x0处连续但不可导．

1xx0

（1008）.若f(0)1，则limx0f(x)f(x) ．

xxy（1014）设函数yy(x)由方程yedyd2y2x所确定，求、．

dxdx2(x)（1022）设f(x)x1x0x0，其中函数(x)在x0处具有二阶连续导数，且(0)0，(0)1，证明：函数f(x)在x0处连续且可导．

（1102）设函数f(x)在点x0处可导，且limA.4 B.2

h0f(x0h)f(x0h)4，则f(x0)( )

hC.2 D.4

（1110）设函数yarctanx，则dyx1_____________．

2dyxtt（1114）设函数yy(x)由参数方程所确定，求．

y2dxeyt（1208）设函数yxx2x1e，则yx222x(7)(0)________．

（1209）设yx（x0），则函数y的微分dy___________．

1xtdyd2y（1214）设函数yy(x)由参数方程所确定，求、2．

tdxdxyt22lntd2y1（1304）设yf，其中f具有二阶导数，则2（ ）

dxxA.1121f3f

2xxxx1121ff

x2xx3xx1B.1121f3f

2xxxx1121ff

x2xx3xC.D.（1306）已知函数f(x)在点x1处连续，且lim程为（ ）

A.yx1 B.y2x2

f(x)1，则曲线f(x)在点1,f(x)处切线方x212C.y3x3 D.y4x4

xt21d2y（1309）设函数由参数方程所确定，则22dxyt1 ．

t1

（二）中值定理及导数的应用

（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？

exex2x ． （0507）limx0xsinx（0508）函数f(x)lnx在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的 ．

（0521）证明方程：x3x10在1,1上有且仅有一根．

3（0603）下列函数在1,1上满足罗尔定理条件的是（ ）

A.ye

xB.y1x C.y1x

2D.y11

x（0621）证明：当x2时，3xx32．

（0703）设函数f(x)x(x1)(x2)(x3)，则方程f(x)0的实根个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

exx1（0713）求极限lim．

x0xtanx（0722）设函数f(x)axbxcx9具有如下性质：

（1）在点x1的左侧临近单调减少；

（2）在点x1的右侧临近单调增加；

（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．

试确定a，b，c的值．

22（0724）求证：当x0时，(x1)lnx(x1)．

32（0809）已知曲线y2x3x4x5，则其拐点为 ．

（0821）求曲线y321（x0）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．

x（0823）设函数f(x)在闭区间0,2a（a0）上连续，且f(0)f(2a)f(a)，证明：在开

区间(0,a)上至少存在一点，使得f()f(a)．

x（0824）对任意实数x，证明不等式：(1x)e1．

（0904）曲线yA.1

2x1的渐近线的条数为（ ）

(x1)2B.2 C.3 D.4

x3（0913）求极限lim．

x0xsinx（0921）已知函数f(x)x3x1，试求：

（1）函数f(x)的单调区间与极值；

（2）曲线yf(x)的凹凸区间与拐点；

（3）函数f(x)在闭区间[2,3]上的最大值与最小值．

3（0924）证明：当1x2时，4xlnxx2x3．

2x23x4（1002）曲线y2的渐近线共有 ( )

x5x6A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

（1006）设f(x)x3x，则在区间(0,1)内 ( )

A.函数f(x)单调增加且其图形是凹的

C.函数f(x)单调减少且其图形是凹的

（1013）求极限limB.函数f(x)单调增加且其图形是凸的

D.函数f(x)单调减少且其图形是凸的

3112．

|x0xtanxxx1（1021）证明：当x1时，e121x．

2232（1103）若点(1,2)是曲线yaxbx的拐点，则（ ）

A.a1,b3 B.a3,b1 C.a1,b3 D.a4,b6

x（1113）求极限limx0e．

ln1xex22

（1121）证明：方程xln1x22有且仅有一个小于2的正实根．

（1122）证明：当x0时，x1232201120102011x．

（1203）设f(x)2x5x，则函数f(x) ( )

A.只有一个最大值

C.既有极大值又有极小值

B.只有一个极小值

D.没有极值

x22cosx2（1213）求极限lim．

3x0xln1x（1223）证明：当0x1时，arcsinxx13x．

62x2x（1302）曲线y2的渐近线共有（ ）

x3x2A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

ex1（1313）求极限lim．

x0ln(1x)x（1323）证明：当x1时，(1lnx)2x1．

2三、一元函数积分学

（一）不定积分

（0410）求不定积分arcsin3x1x2dx ．

ex（0416）设f(x)的一个原函数为，计算xf(2x)dx．

x（0503）若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx（ ）

B.F(sinx)C C.F(cos)C D.F(cosx)C A.F(sinx)C

（0515）计算tanxsecxdx．

（0522）设函数yf(x)的图形上有一拐点P(2,4)，在拐点处的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数y6xa，求f(x)．

3

（0604）已知A.2e2xf(x)dxe2xC，则f(x)dx（ ）

B.C

12x1eC C.2e2xC D.e2xC

22（0615）计算1lnxdx．

x（0622）已知曲线yf(x)过原点且在点(x,y)处的切线斜率等于2xy，求此曲线方程．

（0704）设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则4xC B.f(2x)dx（ ）

C.2cos4xC 4xC

1cos4xC

2（0715）求不定积分x2exdx．

（0810）设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)1，则不定积分f(x)dx ．

2x3dx． （0815）求不定积分x1（0905）设F(x)ln(3x1)是函数f(x)的一个原函数，则A.f(2x1)dx（ ）

D.1C

6x4B.3C

6x4C.1C

12x83C

12x8（0915）求不定积分sin2x1dx．

（1015）求不定积分xarctanxdx．

（1115）设f(x)的一个原函数为xsinx，求不定积分（1215）求不定积分xsin2xdx．

（1315）求不定积分xsin2xdx．

2f(x)dx．

x（二）定积分

（0404）xy8R设所围的面积为S，则A.S

（0421）证明：（0509）B.22222R08R2x2dx的值为（ ）

S

20S

4C.D.2S

0xf(sinx)dx20f(sinx)dx，并利用此式求xsinxdx．

1cos2x11x11x2dx ．

（0516）计算10arctanxdx．

（0609）设f(x)在0,1上有连续的导数且f(1)2，10

f(x)dx3，则xf(x)dx ．01（0616）计算20x2cosxdx．

22（0709）定积分4x21xcos3xdx的值为 ．

（0716）计算定积分11221x2dx．

2x（0811）定积分2sinx11x2dx的值为 ．

（0816）求定积分10exdx．

10（0916）求定积分：x2dx2x2．

x31dx的值为 ． （1009）定积分1x211（1016）计算定积分40x3dx．

2x11sin2xdx的值为____________． （1111）定积分x232（1116）计算定积分xdx．

　01x1　3（1216）计算定积分21dx．

x2x1dx24x2（1316）计算定积分20．

（1324）设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：baf(x)dxab2af(x)f(abx)dx．

（三）变限积分与广义积分

（0417）计算广义积分2dx．

xx1（0422）设函数f(x)可导，且满足方程（0705）设f(x)4x0tf(t)dtx21f(x)，求f(x)．

x21sint2dt，则f(x)（ ）

B.2xsinx

（0803）设函数f(x)A.4xsin2x

（0908）设函数(x)（1003）设函数(x)x22C.2xcosx

2D.2xsinx

412xt2sintdt，则f(x)等于（ ）

B.8xsin2x

22C.4xsin2x

2D.8xsin2x

22x02x2tetdt，则(x)＝ ．

etcostdt，则函数(x)的导数(x)等于 ( )

x22A.2xecosx B.2xecosx C.2xecosx D.ecosx

（1108）设函数(x)（1211）设反常积分x2xx22　0ln(1t)dt，则(1)____________．

1，则常数a______．

2aexdx（1222）已知定义在,上的可导函数f(x)满足方程xf(x)4（1）函数f(x)的表达式；

（2）函数f(x)的单调区间与极值；

（3）曲线yf(x)的凹凸区间与拐点．

x1

f(t)dtx33，试求：xg(t)dtx0g(x)3．（1224）设f(x)0，其中函数g(x)在(,)上连续，且lim证x01cosxx0g(0)明：函数f(x)在x0处可导，且f(0)（1322）已知F(x)1．

2x2015329t5t求曲线yf(x)的凹凸区间、拐点．

dt是f(x)的一个原函数，（四）定积分的几何应用

（0523）已知曲边三角形由y2x、x0、y1所围成，求：

2

（1）曲边三角形的面积；

（2）曲边三角形绕x轴旋转一周的旋转体体积．

2（0623）已知一平面图形由抛物线yx、yx8围成．

2（1）求此平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．

（0721）设平面图形由曲线y1x（x0）及两坐标轴围成．

（1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；

（2）求常数a的值，使直线ya将该平面图形分成面积相等的两部分．

2（0822）设平面图形由曲线yx，y2x与直线x1所围成．

22（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积；

（2）求常数a，使直线xa将该平面图形分成面积相等的两部分．

2（0922）设D1是由抛物线y2x和直线xa，y0所围成的平面封闭区域，D2是由抛物线y2x2和直线xa，x2及y0所围成的平面封闭区域，其中0a2．试求：

（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2；

（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等．

22（1023）设由抛物线yx（x0），直线ya（0a1）与y轴所围成的平面图形绕x轴旋22转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线yx（x0），直线ya（0a1）与直线x1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另V(a)V1(a)V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值．

f\'(x)0)2，（1024）设函数f(x)满足方程f(x)f(x)2e，且f(记由曲线y与直线y1，f(x)xxt（t0）及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t)．

t（1124）设函数f(x)满足微分方程xf(x)2f(x)(a1)x（其中a为正常数），且f(1)1，由曲线yf(x)（x1）与直线x1，y0所围成的平面图形记为D．已知D的面积为（1）求函数f(x)的表达式；

2．

3

（2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx；

（3）求平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy．

（1221）在抛物线yx（x0）上求一点P，使该抛物线与其在点P处的切线及x轴所围成的平面图形的面积为22，并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

3x与直线y1所围成，试求： （1321）设平面图形D是由曲线x2y，y（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

四、向量代数与空间解析几何

（一）向量代数

（0510）设向量a3,4,2、b2,1,k；a、b互相垂直，则k ．

（0610）设a1，ab，则aab ．

（0710）已知a、b均为单位向量，且ab1，则以a、b为邻边的平行四边形面积为 ．

2（0804）设向量a(1,2,3)，b(3,2,4)，则ab等于（ ）

A.(2,5,4) B.(2,5,4) C.(2,5,4) D.(2,5,4)

（0909）已知向量a1,0,1，b1,2,1，则ab与a的夹角为 ．

（1010）设a1,2,3，b2,5,k，若a与b垂直，则常数k ．

（1109）若a1，b4，ab2，则ab____________．

（1210）设向量a、b互相垂直，且a3，b2，则a2b________．

（1308）已知空间三点A(1,1,1)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，则ABC的面积为 ．

（二）平面与直线

（0518）求过点A(3,1,2)且通过直线L：x4y3z的平面方程．

5214x3yz60都平行的直线方程．（0619）求过点M(3,1,2)且与二平面xyz70、

（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线xyz20的平面方程．

2xyz10（0817）设平面经过点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，求经过点P(1,2,1)且与平面垂直的直线方程．

（0917）求通过直线xy1z2且垂直于平面xyz20的平面方程．

321x2t（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线y32t垂直，又与平面2xz50平行的直线的方程．

z53t（1117）求通过x轴与直线xyz的平面方程．

231（1217）已知平面通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面平行，又与x轴垂直的直线方程．

x23txyz10（1318）已知直线在平面上，又知直线y1t与平面平行，求平面x3yz30z32t的方程．

五、多元函数微积分

（一）多元函数微分学

z2z（0418）设zf(xy,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求、．

xxy（0505）设u(x,y)arctanx，v(x,y)lnyx2y2，则下列等式成立的是（ ）

A.uv

xyB.uvuvuv C. D.

yxyyxx2z2z（0517）已知函数zf(sinx,y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求、．

xxy（0611）设uesinx，2xyu ．

xz2z（0620）设zxf(x,xy)其中f(u,v)的二阶偏导数存在，求、．

yyx（0711）设zx，则全微分dz ．

y

2z（0717）设zf(2x3y,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求．

xy（0805）函数zln

y在点(2,2)处的全微分dz为（ ）

x11111111A.dxdy dy dy D.dxdy

22222222y2z（0818）设函数zfxy,，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求．

xxy（0910）设函数zz(x,y)由方程xzyz1所确定，则2z＝ ．

x2z（0919）设函数zf(sinx,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求．

xy（1011）设函数zlnx24y，则dzx1y0 ．

2z（1018）设zyfxy,e，其中函数f具有二阶连续偏导数，求．

xy2x（1104）设zf(x,y)为由方程z3yz3x8所确定的函数，则3zyx0y0（ ）

A.1

2B.1

2C.2 D.2

2zy（1118）设zxf(，y)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求．

xyx（1204）设zln2x

3在点1,1处的全微分为 ( )

3dy 3dy 3dy 3dy

2222（1218）设函数zf(x,xy)(xy)，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数(x)具有二2z阶连续导数，求．

xy2z（1314）设函数zz(x,y)由方程z3xy3z1所确定，求dz及2．

x3（1317）设zfx,e22x3y2z，其中函数f具有二阶连续偏导数，求yx．

（二）二重积分

（0411）交换二次积分的次序10dx2xx2f(x,y)dy ．

（0419）计算二重积分siny2yx所围成．

dxdy，其中由曲线及yxDyD（0504）设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则

A.2C.4(xycosxsiny)dxdy（ ）

D(cosxsiny)dxdy

D1B.2xydxdy

D1(xycosxsiny)dxdy

D1D. 0

1x2x1（0511）交换二次积分的次序01dxf(x,y)dy ；

（0524）设f(x)为连续函数，且f(2)1，F(u)（1）交换F(u)的积分次序；

（2）求F(2)．

u1．

dyf(x)dx（u1）yu（0606）设对一切x有f(x,y)f(x,y)，D{(x,y)|xy1,y0}，

22D1{(x,y)|x2y21,x0,y0}，则f(x,y)dxdy（ ）

D A. 0 B.f(x,y)dxdy

D1C.2f(x,y)dxdy

D1D.4f(x,y)dxdy

D1（0612）D为以点O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)为顶点的三角形区域，dxdy ．

D1f(x)dxdyt0（0624）设g(t)tD，其中Dt是由xt、yt以及坐标轴围成的正方形区tat0域，函数f(x)连续．

（1）求a的值使得g(t)连续；

（0720）计算二重积分（2）求g(t)．

\'Dx2y2dxdy，其中D(x,y)|x2y22x,y0．

（0723）设ba0，证明：badyf(x)e2xydxybbae3xe2xaf(x)dx．

（0819）计算二重积分的平面区域．

2xdxdy，其中D是由曲线yD1，直线yx，x2及y0所围成x

（0918）计算二重积分（1005）二次积分

A.C.yd，其中D{(x,y)D0x2,xy2,x2y22}．

10dyy11f(x,y)dx交换积分次序后得 ( )

B.D.102dxx11x1f(x,y)dy

f(x,y)dy

212dxdxx10f(x,y)dy

1dx11x11f(x,y)dy

（1019）计算xdxdy，其中D是由曲线xD1y2，直线yx及x轴所围成的闭区域．

　1（1105）若f(x,y)dxdy可转化为二次积分D　0dy　2y1则积分域D可表示为（ ）

f(x,y)dx，

A.(x,y)0x1,x1y1 B.(x,y)1x2,x1y1

C.(x,y)0x1,x1y0 D.(x,y)1x2,0yx1

（1119）计算二重积分面闭区域．

（1205）二次积分

A.C.ydxdy，其中D是由曲线yD2x2，直线yx及y轴所围成的平　1　0dyf(x,y)dx在极坐标系下可化为（ ）

y　4　0　1　4　0d　sec0f(cos,sin)d B.dD.df(cos,sin)d

　4　2　sec0f(cos,sin)d

　2　4d　sec0　sec0f(cos,sin)d

x及x轴所围成的平面2（1220）计算二重积分闭区域．

（1320）计算二重积分ydxdy，其中D是由曲线yDx1，直线y其中D是由曲线yxdxdy，D与三条直线yx，x3，4x2（x0）y0所围成的平面闭区域．

六、无穷级数

（一）数项级数

（0506）正项级数（1）

un1n、（2）un13n，则下列说法正确的是（ ）

B.若（2）收敛、则（1）必收敛 A.若（1）发散、则（2）必发散

C.若（1）发散、则（2）不确定 D.（1）、（2）敛散性相同

（0605）设un1n为正项级数，如下说法正确的是（ ）

A.若limun0，则n0un1n必收敛

必定收敛

un1B.若liml(0l)，则un必收敛

nun1nC.若un1n收敛，则un12nD.若(1)n1nun收敛，则un必定收敛

n1（0706）下列级数收敛的是（ ）

2nA.2

n1nB.n1n

n11(1)nC.

nn1 D.n1(1)nn

（0906）设为非零常数，则数项级数 A.条件收敛

n（ ）

2n1nB.绝对收敛 C.发散 D.敛散性与有关

（1004）下列级数收敛的是（ ）

nA.

n1n12n1n21(1)nB.2 C. D.n

nnnn1n12n1（1206）下列级数中条件收敛的是（ ）

nA.(1)

2n1n1n3B.(1)n

2n1n(1)nC.

2nn1(1)nD.

nn1（1305）下列级数中收敛的是（ ）

n1A.2

n1nnB.

n1n1nn!C.n

n12D.n1n

n3（二）幂级数

(x1)n（0412）幂级数的收敛区间为 ．

n2n1（0420）把函数f(x)1展开为x2的幂级数，并写出它的收敛区间．

x2n（0512）幂级数(2n1)xn1的收敛区间为 ．

x2（0519）把函数f(x)展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间．

22xx（0618）将函数f(x)xln(1x)展开为x的幂函数（要求指出收敛区间）．

0812）幂函数xn（n2n的收敛域为 ．

n1an（0911）若幂函数xn（a0）的收敛半径为12，则常数a ．

n1n2（1012）幂级数(1)nxn的收敛域为

n0n ．

（1106）若f(x)1n2x的幂级数展开式为f(x)anx（2x2），则系数an(

n0 A.1 B.1n

n1 C.(1)n22 D.(1)n2n2n1

（1112）幂级数xnn0n1的收敛域为_ _ _________．

（1212）幂级数(1)n(x3)n的收敛域为____________．

n1n3n（1312）幂级数2nnxn的收敛域为 ．

n1七、常微分方程

（一）一阶微分方程

（0520）求微分方程xy\'yex0满足yx1e的特解．

（0617）求微分方程x2yxyy2的通解．

（0718）求微分方程xyy2007x2满足初始条件yx12008的特解．

（0820）求微分方程xy2yx2的通解．

（0912）微分方程(1x2)ydx(2y)xdy0的通解为 ．

（1311）微分方程dydxxyx的通解为 ．

（二）二阶线性微分方程

)

2x（0406）微分方程y3y2yxe的特解y的形式应为（ ）



2x2xB.(AxB)e

22x D.x(AxB)e2x

（0712）设yC1eC2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为 ．

（0806）微分方程y3y2y1的通解为（ ）

A.yc1e

xc2e2x1

2xB.yc1exc2e2x2xC.yc1ec2ex1 D.yc1ec2ex1

21

2（0920）求微分方程yyx的通解．

（1020）已知函数ye和yex2x是二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的两个解，试x确定常数p、q的值，并求微分方程ypyqye的通解．

（1120）已知函数y(x1)e是一阶线性微分方程y2yf(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y3y2yf(x)的通解．

（1219）已知函数f(x)的一个原函数为xe，求微分方程y4y4yf(x)的通解．

（1319）已知函数yf(x)是一阶微分方程xxdyy满足初始条件y(0)1的特解，求二阶常系数dx非齐次线性微分方程y3y2yf(x)的通解．

时间排序与参考答案

2004年高等数学真题参考答案

1、A．

12、B． 3、C． 4、B． 5、A． 6、D．

7、e． 8、11、x1yz214． 9、n!． 10、arcsinxC．

423422y0110dyy0f(x,y)dxdyf(x,y)dx． 12、1,3．

13、解：间断点为xk（kZ），当x0时，limf(x)limx0x1，为可去间断点；

x0sinx当xk（k0，kZ）时，limx，为第二类间断点．

x0sinxlimtanxsinx

3x012x14、解：原式limx0x0(tantsint)dt3x41xx2tanx(1cosx)21．

limlimx0x012x312x32415、解：x0代入原方程得y(0)1，对原方程求导得y\'exey\'0，对上式求导并将x0、yyy1代入，解得：y\'\'2e2．

exex16、解：因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)xx原式(x1)ex，

2x\'1111xf(2x)d(2x)xdf(2x)xf(2x)f(2x)dx

222211x(2x1)e2xe2xx12xxf(2x)f(2x)d(2x)CeC．

248x28x4x17、解：原式tx11dt2tdt22arctant221t(t1)t112．

18、解：zf1f2y；

x2z(1)f12xf2yf21(1)f22xf11(xy)f12xyf22f2．

f11xy

1ysiny1sinydxdydy2dx(1y)sinydy 19、解：原式0y0yyD(y1)cosy0cosydy1sin1．

0n1111n(x2)(1)20、解：f(x)(2x6)．

4x241x24n04n41121、证：I0xf(sinx)dxtx(t)f[sin(t)]dt(t)f(sint)dt

00f(sinx)dxxf(sinx)dxf(sinx)dxI

000解得：

I0xf(sinx)dx20f(sinx)dx， 原命题证毕．

0sinxsinx2．

xdxdxarctan(cosx)2201cosx21cosx24022、解：等式两边求导得xf(x)2xf(x)，即f(x)xf(x)2x，且

f(0)1，px，q2x，而ex22(x)dxe，

x22x2由公式求得通解：f(x)e2xq2x2dxC2Ce2，

将初始条件f(0)1代入通解，解得：C3，故f(x)23e．

23、解：设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则

，

M(x)500x700402(50x)2（0x50）由M500700x22122(x50)40(50x)220解得：x505006（公里），

唯一驻点，即为所求．

2005年高等数学真题参考答案

1、A．

7、2．

11、2、C． 3、D． 4、A． 5、A． 6、C．

8、e1． 9、y1． 10、5．

212、(1,1)．

10dy1y2f(x,y)dx．

13、解：因为F(x)在x0处连续，所以limF(x)F(0)，

x0limF(x)limx0x0f(x)2sinxf(x)f(0)lim2f\'(0)28，

x0xx解得：F(0)a，故a8．

dydydtcostcosttsintd2y(t)t，214、解：csct．

dxdxsintdx(cost)dt15、解：原式tan2xtanxsecxdx积进去(sec2x1)d(secx)

1sec2xd(secx)d(secx)sec3xsecxC．

3xdx积进去11d(1x2)16、解：原式xarctanx0

01x24201x2111112ln1xln2．

042422zz2y2ycosxf12．

cosxf1217、解：cosxf1，xyx18、解：直线L的方向向量s5,2,1，过点B4,3,0，AB1,4,2；

i所求平面的法向量nsAB5jk218,9,22，点法式为

1428(x3)9(y1)22(z2)0，即8x9y22z59．

x211x21x21x219、解：f(x)32x1x61x31x321dxex11ex120、解：yy，即p，q，而ex；

xxxxx(1)nn2n11x，

n0收敛域为：1x1．

exC1exxdxC故通解为y．

xxxex把初始条件yx1e解得：C0；故所求特解为：y．

x21、证：令f(x)x3x1，x1,1，且

3

f(1)30，f(1)10，f(1)f(1)0；

由连续函数零点定理知：f(x)在(1,1)内至少有一实根；

对于x1,1恒有f(x)3x233x210，即f(x)在(1,1)内单调递减，

故方程x3x10在1,1上有且仅有一根； 原命题获证．

322、解：设所求函数为yf(x)，则有f(2)4，f(2)3，f(2)0；

由f(x)6xa和f(2)0解得：a12，即f(x)6x12，

2故f(x)3x12xC1，由f(2)3解得：C19，

故yx6x9xC2，由f(2)4解得：C22；

所求函数为：yx6x9x2．

32321211ydyy3；23、解：（1）S（如图1所示）

0260611y1y2xS（2）Vx112022xdxxx20124．

O图1

u1x24、解：积分区域D为：1yu，yxu；

（1）F(u)Df(x)ddxf(x)dy(x1)f(x)dx；

111ux（2）F(u)(u1)f(u)，F(2)(21)f(2)f(2)1．

2006年高等数学真题参考答案

1、C． 2、B． 3、C． 4、C． 5、C． 6、A．

xy7、2． 8、f(x0)． 9、1． 10、1． 11、e(ysinxcosx)． 12、1．

13x2313、解：原式lim．

1x1123x24

dy111221t2dyyttdydx21t14、解：．

，22t2tdxx4tdxxt2t21t21t15、解：原式321lnxd(1lnx)(1lnx)2C．

316、解：原式积进去20xd(sinx)xsinx222022sinxdx2

0导出来xsinx22022xsinxdx0积进去2422xd(cosx)

0242xcosx022cosxdx20242．

dyyyyf齐次方程； 17、解：方程变形为y，即得到了形如dxxxx令u2dydudu11yuxu2，分离变量得：2dudx； ，则，代入得：xdxdxdxuxxx111y，，故．

dudxlnxCu2xlnxCu两边积分，得：1(1)nxn（x1,1）18、解：令g(x)ln(1x)，则g(0)0；由于g(x)，

1xn0 所以g(x)x0(1)nn1g(t)dtx（x1,1），故

n1n0(1)nn2f(x)x，收敛域为：1x1．

n0n119、解：由题意知：n11,1,1，n24,3,1；

ijksn1n23112i3jk2,3,1，

431故所求直线方程的对称式方程为：x3y1z2．

2312zz\'\'\'\'\'\'\'\'22xf2\'x2(f212xf22y)2xf2\'2x3f21x2yf22xf2，20、解：．

yxx

221、证：令f(x)3xx，x2,2，由f(x)33x0解得驻点：x1，

3比较以下函数值的大小：f(1)2，f(1)2，f(2)2，f(2)2；

所以fmin2，fmax2，故2f(x)2，即3xx32，原命题获证．

22、解：y(0)0，y2xy，通解为：y(2x2)Ce；

将y(0)0代入通解解得：C2，故所求特解为：y2x22e．

23、解：（1）Sxx8x222x2dx264；

3（2）Vyy40t0dyt0848ytdy16．

224、解：f(x)dxdyDtdxtf(x)dxt0f(x)dytf(x)dx，g(t)0；

0at0（1）limg(t)limt0t0t0f(x)dx0，由g(t)的连续性可知：

ag(0)limg(t)0；

t0（2）当t0时，g(t)f(t)，

f(x)dxg(h)g(0)0limlimf(h)f(0)； 当t0时，g(0)limh0h0h0hh综上，g(t)f(t)．

h2007年高等数学真题参考答案

1、B． 2、C． 3、C． 4、A． 5、D． 6、D．

7、ln2． 8、1． 9、2． 10、31x． 11、dx2dy． 12、y\'\'5y\'6y0．

2yyexx1exx1ex1ex1limlimlim． 13、解：limx0xtanxx0x02xx022x214、解：当x0时，y0；

dyexy在方程eexy两边对x求导得：eey\'yxy\'，故；

y\'ydxexxyxy

将x0，y0代入解得：

xydydxyx0x01．

2xyy在方程eey\'yxy\'两边再次对x求导得：eey\'ey2yxy

将x0，y0，y15、解：原式积进去x0d2y1代入解得：2dxyx02．

x02xx2

x2dexxeedx导出来x2ex2xexdx

x2ex2xdexx2ex2xex2exC．

2时，t；当x1时，t；

242积进去16、解：令xsint，则dxcostdt；当x换元原式2cost222222．

dtcottdtcsct1dtcottt14sin2t444417、解：z2f1\'yf2\'，

x2z\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'2f113f12xf2\'yf213f22x6f11(2x3y)f12xyf22f2\'．

xy18、解：原方程可转化为：y11

y2007x，相应的齐次方程yy0的通解为：yCx；xx设原方程的通解为：yC(x)x，将其代入方程得：C(x)xC(x)C(x)2007x，

所以C(x)2007，从而C(x)2007xC，故原方程的通解为y(2007xC)x；

又y(1)2008，所以C1，于是所求特解为：y(2007x1)x．

19、解：由题意知：s11,1,1，s22,1,1；所求平面的法向量为：

ijkns1s21112,1,3，

211故所求平面方程为2(x1)(y2)3(x3)0，即2xy3z50．

20、解：Dxydxdyrdrd2dD02222cos0816rdr2cos3d.

309221、解：（1）Vx101x2dx28；

15

（2）由题意知：a0(1y)dy(1y)dy，即

a3232121121(1a)1(1a)，解得：a1．

4222、解：f(x)3ax2bxc，f(x)6ax2b；

13由题意得f(1)0、f(1)0、f(1)2，即得方程组：

3a2bc00，解得：a1、b3、c9．

6a2babc9223、证：积分区域D：aybaxb，又可表示成D：；

yxbayxbxbx左边Df(x)e2xydxdydxf(x)e2xydyf(x)e2xdxe2ydy

aaaaf(x)e2xexeadxabbae3xe2xaf(x)dx右边， 原命题获证．

24、证：令F(x)lnxx1，显然，F(x)在0,上连续；

x1x21由于F(x)0，故F(x)在0,上单调递增，于是

x(x1)2当0x1时：F(x)F(1)0，即lnxx12，又x10，

x122故(x1)lnx(x1)；

当x1时：F(x)F(1)0，即lnxx12，又x10，

x122故(x1)lnx(x1)；

22综上所述，当x0时，总有(x1)lnx(x1)， 原命题获证．

2008年高等数学真题参考答案

1、B． 2、A． 3、D． 4、C． 5、A． 6、B．

7、0． 8、3． 9、（2，17）． 10、cosx1xc． 11、． 12、2,2．

21213、解：原式lim1e(2)3e66．

xex3x

dyy(t)sintd2yy(t)x(t)y(t)x(t)114、解：；2．

32dxx(t)1costdx(1cost)x(t)x31d(x1)dxx2x1dxlnx1 15、解：原式x1x1x3x2xlnx1C．

3216、解：原式令xtttte2tdt2tee002．

1117、解：由题意知：AB2，，30，AC2,0,5，则法向量为：

ijknABAC23015,10,6，即知sn15,10,6；

205所求直线的对称式方程为：18、解：x1y2z1．

15106zyf12f2；

xx2z1y111yy＋f12－2f11ffff－fff．

2211122122221322xy2xxxxxx19、解：原式10dxx2dydxx2dyx3dxxdx010122x21x012x4410x22217．

4dxdy2yx，而exx2； 20、解：将原方程xy2yx化简为：dxx根据公式得到原方程的通解：yxx212dxCx(lnxC)．

2x21、解：令F(x,y)11y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)2，Fy(x0,y0)1，

x0xxx0yy00；

2x01所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：当x0时，y轴上的纵截距为：b1y0，

x02当y0时，x轴上的横截距为：ax0y0x0；

两截距之和：ab11112y0x0y0x0x0x02x0

x0x0x0x02112x024，（当且仅当

x0=0时等号成立）xx00故在点1,1处的切线在两坐标轴上的截距之和最小，其最小值为4．

3x534422、解：（1）Vx4xxdx；

050511（2）由题意得到等式：a02x2x2dx31a2x2x2dx，

解得：a11，即a3．

2223、证：令g(x)f(xa)f(x)，那么g(a)f(2a)f(a)，g(0)f(a)f(0)；

由于g(a)g(0)0，并且g(x)在0，a上连续，故存在(0，a)，使得

g()0，即f()f(a)， 原命题获证．

24、证：将e用泰勒公式展开得到：e1xxx11xx2（x）

1!2!11xx2

1!2!代入不等式左边：(1x)e1x1111x2x31， 原命题获证．

232009年高等数学真题参考答案

1、A． 2、B．

2x3、C． 4、B． 5、D． 6、C．

z27、ln2． 8、4xe． 9、． 10、． 11、2．

32xzy12、lnx12x2lnyyC．

2x33x23x2limlim26． 13、解：limx0xsinxx01cosxx0x2

14、解：dxdtdy(2t2)dt，dy(2t2)dt，2(t1)2，

dt1tdx1tdyddx4(t1)dtd2y4(t1)2．

2dtdxdx1t2x1t15、解：原式sinttdt积进去td(cost)tcostcostdttcostsintC

还原2x1cos2x1sin2x1C．

2sint，则dx2costdt；当x0，t0；当x1，t216、解：令x换元4；

原式402sint1412costdt4(1cos2t)dttsin2t．

02cost204217、解：已知直线的方向向量为s3,2,1，平面的法向量为n01,1,1；

根据题意知：点(0,1,2)在所求平面上，该平面的法向量为：

ijknsn03211,2,1；

111故所求平面方程为(x1)(2)(y1)(z2)0，即x2yz0．

18、解：ydrsindrd2sindDD422cos2r2dr

1128cot22cos

2(8csc22sin)d343242．

2zzxyf22．

f2xcosxf1219、解：f1cosxf2y；xyxdxdy2y2x，而exx2； 20、解：原方程xy2yx可化简为dxx2根据公式求得通解：yx212xdxCxlnxC．

2x221、解：（1）函数f(x)的定义域为R，f(x)3x3，由f(x)0解得驻点：x1；

函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(1,)，单调递减区间为(1,1)；

极大值为f(1)3，极小值为f(1)1．

（2）f(x)6x，由f(x)0解得：x0，

曲线yf(x)在(,0)上是凸的，在(0,)上是凹的，拐点坐标为(0,1)．

（3）计算函数值：f(1)3，f(1)1，f(3)19，通过比较知：

函数f(x)在闭区间[2,3]上有ymaxf(3)19，yminf(1)f(2)1．

22、解：（1）V1a2a（2）A1222a20x2dya4；V22x2dy32a5．

2a245a022322xdxa，A22x2dx8a3，由A1A2解得：a34．

a33223、证：（1）因为limf(x)limex0x0x1，limf(x)lim(x1)1，且f(0)1，所以

x0x0函数f(x)在x0处连续．

f(x)f(0)ex1f(x)f(0)x11lim1，lim（2）limlim1，

x0x0x0x0x0xx0x即f(0)f(0)，所以函数f(x)在x0处不可导． 原命题获证．

24、证：令f(x)4xlnxx2x3，则f(x)4lnx2x2，f(x)当1x2时，f(x)0，f(x)在(1,2)内单调递增，

当1x2时，f(x)f(1)0，

f(x)在(1,2)上单调增加；

当1x2时，f(x)f(1)0，即4xlnxx2x3； 原命题获证．

22442x，

2xx2010年高等数学真题参考答案

1、A．

22、C． 3、B． 4、D． 5、D． 6、C．

7、e． 8、2． 9、． 10、4． 11、dx2dy． 12、(1,1]．

2xtanxxtanx1sec2xtan2x1limlimlim13、解：原式lim2．

322x0xtanxx0x0x0x3x3x314、解：yexy9exy2exy(1y)2，y；y．

3xyxy1e1e15、解：原式积进去x2x2x2arctanxdarctanxdarctanx

222

导出来x21x2x211x21arctanxdxarctanxdx

22221x221x1211xarctanxxarctanxC．

222t213323t515282x1t332tdtdttt16、解：原式．

1t122213617、解：由题意知：s11,2,3，n2,0,1，所求直线过点1,1,1且方向向量为：

ijkss1n1232,7,4；

201x1y1z1故所求直线方程为：．

2742zz2x2exyf2xy3f22xy2exf12．

3y2f1＋18、解：yyf1ef2；xyx19、解：xdxdyD200dy21y2yxdx2．

620、解：对应的特征方程为rr20，特征根为r11,r22，则yC1exC2e2x；

x由于p1，q2；1是特征方程的单根，可设特解为：yxb0e，

2bexbxex，代入原方程解得：b1；

xbxey，0000031x2x故原微分方程的通解为：yC1eC2ex．

3121x121、证：设f(x)ex，则

22ybexf(x)ex1x，f(x)ex110，f(x)在(1,)内单调递增，

f(x)f(1)0，f(x)也在(1,)内单调递增；

121x； 原命题获证．

22(x)(x)(0)lim\'(0)1f(0)，则f(x)在x0处连续； 22、证：limf(x)limx0x0x0xx0(x)1f(x)f(0)(x)x(x)1x

f(0)limlimlimlim2x0x0x0x0x0xx2xf(x)f(1)0，即ex11(x)(0)1lim(0)，则f(x)在x0处可导； 原命题获证．

x02x02

23、解：V1(a)a01aa22x22dx4a5，

5x22a22dx1a44a5；

55V2(a)81V(a)V1(a)V2(a)a4a5．

55由V(a)8a44a3故当a0解得：a1，唯一驻点，即为所求；

2113时，V(a)取得最小值为：VminV．

2216dxx24、解：由于eex，所以求得通解：f(x)e2eedxCexxxxxCex；

又f(0)2代入通解得：C1，即得特解：f(x)eexx；

f(x)exexe2x12xx2x12xf(x)ee，y，

f(x)eee1e1t2dx2

A(t)112xdx2x00ee11tte2x1e2xe2xd(2x)12xd(2x)

2x00e1e1t2t2t1d(e2x1)2tlne2t1ln2

2x0e1t2te2tlnelne1ln2lnln2；

1e2te2t故

limA(t)limlnln2ln2．

2ttt1e2011年高等数学真题参考答案

1、C． 2、B． 3、A． 4、B． 5、D． 6、D．

7、1． 8、22ln2． 9、23． 10、1dx． 11、． 12、1，1．

42e13、解：原式limx0xex2x2limx02exexexex2xexex2lim4．

x0x

dy2tydydt2te1y14、解：．

dxdx2t1(e1)(2t1)dt2xsinxx2cosxdx(2sinxxcosx)dx 15、解：原式x

2cosxxd(sinx)cosxxsinxC．

x1t　2t21522tdt2t2tdt3．

　　11t1　216、解：原式17、解：设所求平面方程为：AxByCzD0，因为该平面经过x轴，所以AD0；

又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，即3BC0；

综上所述：所求平面方程为By3Bz0，即y3z0．

18、解：zyy1fxf12f20ff1；

xxx2z1yy111．

f1f211f1yf11f12fff122211xyxxxxx19、解：原式=3　4　2d　2　02r2sindr．

3xxxx20、解：由题意知：f(x)e(x1)e2(x1)e(3x1)e，

特征方程：r3r20，对应齐次方程的通解为：yC1exC2e2x；

211，b1；

421x1x2x故原微分方程的通解为：yC1eC2exe．

42x令特解为y(b1xb0)e，代入原方程解得：b02x20，即f(x)单调递增； 21、证：令f(x)xln1x2，则f(x)ln(1x)1x222又f(0)20，f(2)2ln520，即f(x)在0,2内有实根；

综上所述：f(x)在0,2内有唯一的实根．

故方程xln(1x)2有且仅有一个小于2的正实根． 原命题获证．

22、证：设f(x)x2011220102011x，则f(x)2011x20102011，

由f(x)0得驻点：x1，又f(x)20112010x2009，f(1)201120100；

因此由极值的第二判定定理可知：f(1)0为极小值，

并由单峰原理可知f(1)0也为f(x)的最小值，即f(x)0（x0）成立；

故x201120102011x0，即x201120102011x． 原命题获证．

eaxx2ax1eaxx2ax1a2eax2a22limlim23、解：lim，

2x0x0x0xarctanxx22eax1eax1aeaxalimlimlim；

x0sin2xx0x02x22以下根据左、右极限来讨论在x0点处各种情形a的取值：

a22a，解得a1或a2；又f(0)1，所以a2． （1）若为连续点，则22（2）若为可去间断点，则左、右极限必须相等，且不能等于函数值，所以a1．

a22a，解得：a1且a2． （3）若为跳跃间断点，则22dx2224、解：（1）原方程可化为：f(x)f(x)(a1)，且exx，则通解为：

x21a1f(x)x2(a1)2dxCx2CCx2(a1)x；

xx将f(1)1代入解得：Ca，即f(x)ax(a1)x；

由此作出平面图形D，并求出其面积：S2a322ax(a1)xdx

　063　12解得：a1，则此函数的表达式为：f(x)x2x．

（2）Vx　1　0x22xdx28；

15（3）Vy112　1　011y2dy5．

62012年高等数学真题参考答案

1、B． 2、C． 3、C． 4、A． 5、B． 6、D．

27、e． 8、128． 9、x(1lnx)dx． 10、5． 11、ln2． 12、(0,6]．

n

x22cosx22x2sinx1cosx1limlim． 13、解：原式limx0x0x0x44x36x212dyddydxdy2d2t2dxdydy22t2dtdtt2t；214、解：．

2dx1dx1dxdxdx1212t1dttdtt15、解：原式

积进去(2x1)d(tanx)(2x1)tanxtanxd(2x1)

导出来(2x1)tanx2tanxdx(2x1)tanx2lncosxC．

16、解：令1t2，dxtdt；当x1，t1；当x2，t3；

2x1t，则x2换元原式　3　1　3dt13tdt22arctant．

221　11t1t6t217、解：平面的法向量nOMi0,3,2，直线方向向量为sni0,2,3，

所求直线的对称式方程为：x1y1z1．

0232zzxf2xyf224xy．

f1218、解：f1f2y2x；xyxx19、解：f(x)xe(x1)ex2，特征方程：r4r40，特征根：r1r22；

对应齐次方程的通解为：y(C1C2x)e2x；

x注意到1不是特征根，则令特解为：y(b1xb0)e，

代入原方程解得：b01x111，b1；，所求特解为：yxe；

9272792x故原微分方程的通解为：y(C1C2x)e20、解：原式11xex．

279　1　0ydy2y212ydx1．

12021、解：设点Px0,x0，其中x20，则k切2x0，即切线：yx022x0(xx0)，

整理得：yx02x0x；由故Vxx020yx022ydy解得：x02，即点P(2,4)；

2x3016．

15　2　0x4dx(4x4)2dx　1　2

22、解：（1）在xf(x)4x1f(t)dtx33两边对x求导得：f(x)xf(x)4f(x)3x2，

3y3x，解得：y3x2Cx3；

x23即得微分方程：y代入f(1)2解得：C1，故f(x)3xx．

2（2）由f(x)3x6x0解得驻点：x10，x22；

列表讨论知：f(x)在(,0)和(2,)单调递增，在(0,2)单调递减；

极大值f(0)0，极小值f(2)4．

（3）由f(x)6x60解得：x1；

列表讨论知：f(x)在(,1)是凹的，在(1,)是凸的；

拐点坐标为：(1,2)．

23、证：令f(x)arcsinxx13x，则f(0)0，f(x)6111x2且f(0)0；

21x21又f(x)x1x23xx1x2310，即在0,1内f(x)单调递增，

于是有f(x)f(0)0，即在0,1内f(x)也单调递增；

13x． 原命题获证．

6g(x)g(x)3g(x)24、证：因为lim3，即lim3，所以有：lim2；

x01cosxx0xx0122x2故f(x)f(0)0，即arcsinxx又因为g(x)在(,)内连续，所以g(0)limg(x)0，则

x0limx0x0g(t)dtx2xg(0)limx0x0g(t)dtx3limx0g(x)1f(0)． 原命题获证．

23x2

2013年高等数学真题参考答案

1、C． 2、C． 3、B． 4、B． 5、D． 6、A．

7、0． 8、6311． 9、． 10、2． 11、yxlnxCx． 12、,2422

．xexln(1x)xexln(1x)13、解：原式lim

limx0x0xln(1x)x21xx1xe2exee(1x)231xlimlim．

x0x02x22xx2314、解：令F(x,y,z)z3xy3z1，则Fx3y，Fy3x，Fz3z3；

z3xxz3yyydxxdy，，；

2dz2222y3z31zx3z31z1z2zyy

x21z2x1z215、解：原式积进去1z22z2y2z．

=22x231z1z2yz12x2sin2x12xdsin2xsin2xdx

222x2sin2xxsin2xdx

2x2sin2x1xdcos2x

22导出来积进去x2sin2xxcos2x1cos2xdx

222x2sin2xxcos2xsin2xC．

22416、解：令x2sint，则dx2costdt；

当x0，t0；当x2，t换元2；

原式201cost2costdt2dt

01cost22cost11t2t221dtdtan1．

00t2220221costcos22

2zz2x36e2x3yf26e4x6yf22．

6xe2x3yf1217、解：2xf12ef2，yxx18、解：由题意知：s1n1n22,1,1，s23,1,2，则所求平面的法向量：

ins1s2jk2113,1,5，所求平面的点法式为：

3123(x1)1(y0)5(z2)0，即平面的方程为：3xy5z70．

19、解：分离变量1dydx后取不定积分得：lnyxlnC，即yCex，

yx将初始条件y(0)1代入，解得：C1；即f(x)e；

x2微分方程y3y2ye的特征方程为r3r20，特征根r11，r22；

对应齐次微分方程的通解为：yC1exC2e2x．

x设特解为：yb0xe（1是单根），此时yb(1x)e，yb(2x)ex00x，

代入原方程解得：b01，故原方程的通解为：yC1exC2e2xxex．

20、解：利用极坐标转化为二次积分：

y4x2对应的极坐标方程是：r2，直线x3对应的极坐标方程是：r3；

cosxdxdyrcosrdrd

DDy34d03cos2r2cosdr

2y4x2yxD894cosd

20cos38424．

9tansin933021、解：（1）SO2图1

3x210yy2dy

1yyx154yyy3；

30331Sx2y1O2x

x4（2）Vx1xdx1dx

101602x2x521xx．

280101022、解：求导数得：f(x)18x10x，f(x)30x20x，f(x)20x由f(x)53223130220；

2013x3x0解得：x1，注意到x0时，f(x)不存在；

列表讨论知：曲线的凸区间是：,0和1,，凹区间是：0,1；

拐点坐标为：0,0和1,8．

23、证：设f(x)2x1(1lnx)，则f(1)0；

f(x)22(1lnx)211lnx21，f(1)0；

xx1lnx2lnx，f(x)在1,是单调递增的；

f(x)2120（x1）xx而f(1)0，故f(x)0，故f(x)在1,也是单调递增的，即有f(x)f(1)，

故2x1(1lnx)0，亦即当x1时，(1lnx)2x1． 原命题获证．

2224、证：由于ab2af(abx)dxab2a令abxuab2bf(u)d(abu)abf(u)duabf(x)dx，

22bb所以，右边f(x)dxab2af(abx)dx

b

ab2af(x)dxabf(x)dxf(x)dx左边， 原命题获证．

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