2023年北京市高考数学试卷

2023年12月3日发(作者：2018全国 卷数学试卷)

2023年北京市高考数学试卷（2023•北京）已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1＜0}．则M∩N=（　　）A．{x|-2≤x＜1}B．{x|-2＜x≤1}C．{x|x≥-2}D．{x|x＜1}【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】A【分析】求出集合M、N的范围，再根据交集的定义可得．【解答】解：由题意，M={x|x≥-2}，N={x|x＜1}，∴M∩N={x|-2≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查集合的交集求法，属简单题．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1，√3），则z的共轭复数z=（　　）C．-1+A．1+√3iB．1-√3i√3iD．-1-√3i【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】D【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1，3），√∴z=-1+3i,√则z的共轭复数z=-1-3i,故选：D．√【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．→→→→→→→→（2023•北京）已知向量a，b满足a+b=（2，3），a-b=（-2，1），则|a|2-|b|2=（　　）A．-2B．-1C．0D．1【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．→→→→【解答】解：∵a+b=（2，3），a-b=（-2，1），→→a∴=(0，2)，b=(2，1)，→→∴|a|2-|b|2=4-5=-1．故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．（2023•北京）下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）1B．f（x）=x2A．f（x）=-lnxC．f（x）=-1xD．f（x）=3|x-1|【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据初等函数的单调性，即可求解．【解答】解：对A选项，y=lnx在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）=-lnx在（0，+∞）上单调递减，A选项错误；1x对B选项，y=2在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）=x在（0，+∞）上单调递减，B选项错误；211对C选项，y=在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）=-在（0，+∞）上单调递增，C选项正确；xx对D选项，f（x）=3|x-1|在（0，+∞）上不是单调的，D选项错误．故选：C．【点评】本题考查初等函数的单调性，属基础题．1（2023•北京）（2x-）5的展开式中，x的系数是（　　）xA．-40B．40C．-80D．80【专题】对应思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】D【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令x的次数为1，找到r的对应值，带回通项公式即可求得．1【解答】解：由二项式定理可知（2x-）5展开式的第r+1项x1Tr+1=Cr（2x）5-r（-）r=（-1）r25-rCrx5-2r，（r=0，1，…，5）55x令5-2r=1，可得r=2．即含x的项为第3项，∴T3=80x,故x的系数为80．故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式的应用，属简单题．（2023•北京）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5，则|MF|=（　　）A．7B．6C．5D．4【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学建模．【答案】D【分析】本题只需将点M到x=-3的距离，转化为到准线x=-2的距离，再根据抛物线定义即可求得．【解答】解：如图所示，因为点M到直线x=-3的距离|MR|=5，∴点M到直线x=-2的距离|MN|=4．由方程y2=8x可知，x=-2是抛物线的准线，又抛物线上点M到准线x=-2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|=|MN|=4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．（2023•北京）在△ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），则∠C=（　　）π6π32π35π6A．B．C．D．【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】首先由正弦定理推论，将条件中的正弦值化为边，再运用余弦定理，求得C的余弦值，即可得C的值．abc===2R（R为三角形外接圆半径）可得：sinAsinBsinCabcsinA=，sinB=，sinC=，2R2R2R所以（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB）可化为（a+c）（a-c）=b（a-b），【解答】解：由正弦定理即a2+b2-c2=ab,222ab1a+b−c∴cosC===，2ab2ab2π又C∈（0，π），∴C=．3故选：B．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题．xy（2023•北京）若xy≠0，则“x+y=0”是“+=-2”的（　　）yxA．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【专题】方程思想；换元法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】Cxyxy【分析】由xy≠0，x+y=0，可得y=-x≠0，进而判断出+=-2是否成立；反之，若xy≠0，+=-2，令yxyxxy1=t,可得=，通过换元代入解出t,即可判断出结论．yxt【解答】解：由xy≠0，x+y=0，∴y=-x≠0，xy∴+=-2，yxxy反之，若xy≠0，+=-2，yxxy1令=t,则=，yxt1于是t+=-2，t化为t2+2t+1=0，解得t=-1，x即=-1，yxy∴xy≠0，则“x+y=0”是“+=-2”的充要条件．yx故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m,且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（　　）514A．102mB．112mC．117mD．125m【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】C【分析】根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，再根据三垂线定理作出等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角，再题目中的数据，计算即可求解．【解答】解：根据题意及对称性可知底面四边形ABCD为矩形，设E，F在底面矩形的射影点分别为M，N，设AD与BC的中点分别为P，Q，则M，N在线段PQ上，如图，过M，N分别作AB的垂线，垂足点分别为G，H，连接HF，FQ，则根据题意及三垂线定理易得tan∠EPM=tan∠EGM=tan∠FHN=tan∠FQN=√，5又MG=NH=5，∴FM=FN=14，∴PM=QN=5，∴EP=FQ=14+25=39，√√√∴MN=PQ-PM-QN=AB-PM-QN=25-5-5=15，∴EF=MN=15，又易知BC⊥QN，FN⊥底面矩形ABCD，∴根据三垂线定理可知BC⊥FQ，又BQ=5，FQ=39，√∴FB=39+25=8，∴ED=EA=FC=FB=8，14∴该多面体的所有棱长和为8×4+（25+10）×2+15=117．故所需灯带的长度为117m.故选：C．【点评】本题考查几何体的所有棱长和的求解，三垂线定理作二面角，化归转化思想，属中档题．√1（2023•北京）数列{an}满足an+1=（an-6）3+6，下列说法正确的是（　　）4A．若a1=3，则{an}是递减数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＞MB．若a1=5，则{an}是递增数列，∃M≤6，使得n＞m时，an＜MC．若a1=7，则{an}是递减数列，∃M＞6，使得n＞m时，an＞MD．若a1=9，则{an}是递增数列，∃M∈R，使得n＞m时，an＜M【专题】归纳法；推理和证明；逻辑推理．【答案】B【分析】利用数学归纳法进行分析排除即可．1【解答】解：对原式进行变形，得an+1-an=[（an-6）2-1]（an-6），4当a1=3，则a2-a1＜0，a2＜3，设ak＜3（k∈Z，k≥2），则ak+1-ak＜-3，所以{an}是递减数列，当n→+∞，an→-∞，A错误，同理可证明D错误，1当a1=5，则a2-a1＞0，即a2＞5，又因为（a1-6）3＜0，所以5＜a2＜6，41假设5＜ak＜6（k∈Z，k≥2），则ak+1-ak＞0，即ak+1＞5，又因为（ak-6）3＜0，所以5＜ak+1＜46，所以当n→+∞，an→6，B正确，对于C，当a1=7，代入进去很明显不是递减数列，C错误，故选：B．【点评】本题主要考查使用数学归纳法对数列的增减性和敛散性进行判断，属中档题．1（2023•北京）已知函数f（x）=4x+log2x,则f（）=12．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】1．【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=4x+log2x,111∴f（）=42+log2=2-1=1，2故答案为：1．2【点评】本题考查了指数与对数函数的运算性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2023•北京）已知双曲线C的焦点为（-2，0）和（2，0），离心率为√2，则C的方程为

22x−y=122．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．22xy【答案】−=1．22【分析】根据题意，建立方程，即可求解．xa22【解答】解：根据题意可设所求方程为−yb22=1，（a＞0，b＞0），Vc=2YYYYYYc又W=√2，解得a=2，c=2，b=2，a√YYY222YXYb=c−aY22xy∴所求方程为−=1．22故答案为：x−y=1．22【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．22（2023•北京）已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=9ππ（答案不唯一），β=（答案不唯一）．44【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理．【答案】9ππ（答案不唯一）；（答案不唯一）．44【分析】根据题意，举反例，即可得解．ππ【解答】解：取α=+2π，β=，44则α＞β，但tanα=tanβ，不满足tanα＞tanβ，∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=故答案为：9ππ，β=．449ππ（答案不唯一）；（答案不唯一）．44【点评】本题考查命题的真假判断，属基础题．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7=48，数列{an}的所有项的和为 384．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】48；384．2a5a9，a3=5，可得公比q=a7【分析】根据数列{an}的后7项成等比数列，an＞0，可得a7=而得出a4，利用求和公式即可得出结论．【解答】解：∵数列{an}的后7项成等比数列，an＞0，∴a7=22125∴a3===3，a748√a√a5a3，进√a5a9=√12×192=48，a∴公比q=∴a4=3×2=6，√√a5a3=12=2．3又该数列的前3项成等差数列，3(a1+a3)6×(26−1)3×(1+3)∴数列{an}的所有项的和为+=+378=384．22−12故答案为：48；384．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．VYx+2，x<−a,YYYY（2023•北京）设a＞0，函数f（x）=Wa2−x2，−a≤x≤a,给出下列四个结论，正确的序号为

②③．YYY−x−1，x>√√①f（x）在区间（a-1，+∞）上单调递减；②当a≥1时，f（x）存在最大值；③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1；④设P（x3，f（x3））（x3＜-a），Q（x4，f（x4））（x4≥-a），若|PQ|存在最小值，则a的取值范围时（0，1]．2【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．【答案】②③【分析】先大致画出f（x）的草图，再根据四个选项逐一判断，对于选项①，取特殊值a=2判断函数函调性即可；对于选项②，分别判断a≥1时每段函数的最值情况，再判断是否存在最大值；对于选项③，结合图象分析|MN|最小值的情况，即可得出|MN|的范围；对于选项④，针对图像分析|PQ|存在最小值的情况，可得直线y=-x需要与前两段函数图像都有交点才可满足，进而可求出a的取值范围．【解答】解：a＞0，当x＜-a时，f（x）=x+2，图像为一次函数；22a−x，图像为以（0，0）为圆心，a为半径的圆的上半弧；当x＞a时，f（x）=-x-1，图像为单调递减的曲线；√其函数图象大致如下：当-a≤x≤a时，f（x）=√选项①，取a=2，f（x）在区间（-1，+∞）上先单调递增，后单调递减，选项①错误；选项②，当a≥1时，x＜-a,f（x）=x+2＜2-a＜2-1=1；a−x，最大值为a≥1；x＞a,f（x）=-x-1＜-a-1＜-2；√√所以f（x）存在最大值a,选项②正确；选项③，由图可知，当点M位于点B，点N无限接近于点D时，MN的长度最短，当N无限接近于点D时，xD无限接近于x=a,-a≤x≤a,f（x）=所以|MN|＞yM-yN=1+的交点，直线y=-x与f（x）=√22√a＞1，选项③正确；选项④，如上图，若|PQ|存在最小值，则P、Q应该是直线y=-x分别于f（x）=x+2，f（x）=√a−x2222a−x一定存在交点，而直线y=-x与f（x）=x+2不一定存在交点，当直线y=-x与f（x）=x+2没有交点时，-a≤-1，即a≥1，此时由于P点取不到，|PQ|不存在最小值，√所以0＜a＜1，选项④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查分段函数的应用问题，考查学生用数形结合方法分析试题的能力，属于难题．（2023•北京）如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1，PC=（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A-PC-B的大小．√3，PA⊥平面ABC．【专题】整体思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；π（Ⅱ）．3【分析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABC可得PA⊥AC，PA⊥BC，由勾股定理可得BC⊥AB，再利用线面垂直的判定定理即可证得BC⊥平面PAB；→→（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面APC和平面BPC的法向量，再利用二面角的向量公式计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA=1，PC=3，∴AC=又∵AB=BC=1，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB；→→解：（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：√2PC−PA=√3−1=√2，2√则A（0，1，0），B（0，0，0），C（1，0，0），P（0，1，1），→→→→APACBPBC∴=（0，0，1），=（1，-1，0），=（0，1，1），=（1，0，0），→设平面APC的一个法向量为n=（x,y,z），V→→Y→YAP•n=z=0则W，取x=1，得n=（1，1，0），→→XYAC•n=x−y=0Y→设平面BPC的一个法向量为m=（a,b,c），V→→Y→YBP•m=b+c=0则W，取b=1，得m=（0，1，-1），→→XYBC•m=a=0Y→→→→m•n11∴cos＜m，n＞===，→→√2×√22|m||n|由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ，→→1则cosθ=|cos＜m，n＞|=，2π∴θ=，3π即二面角A-PC-B的大小为．3【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．π（2023•北京）已知函数f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω＞0，|φ|＜．2（Ⅰ）若f（0）=-√，求φ的值；2π2π2π（Ⅱ）若f（x）在[-，]上单调递增，且f（）=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个333作为已知，求ω、φ的值．3π条件①：f（）=1；3π条件②：f（−）=-1；34ππ条件③：f（x）在[-，-]上单调递减．33注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．π【答案】（Ⅰ）-．3（Ⅱ）若选①：ω、φ的值不存在．π若选②：ω=1，φ=-；6π若选③：ω=1，φ=-．6【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）=sin（ωx+φ），由f（0）=-√求出φ的值．2π2π（Ⅱ）若选①：由f（x）在x=和x=时取得最大值1，这与已知矛盾，判断ω、φ不存在．332π若选②：由题意求出f（x）的最小正周期，即可求出ω的值，再根据f（）=1求出φ的值；3π2π若选③：由题意知f（x）在x=-时取得最小值，x=时取得最大值，由此求出f（x）的最小正周期，33再求ω和φ的值．3【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ），所以f（0）=sinφ=-√，2ππ又因为|φ|＜，所以φ=-．23π（Ⅱ）若选①：f（）=1；32π因为f（）=1，3π2ππ2π所以f（x）在x=和x=时取得最大值1，这与f（x）在[-，]上单调递增矛盾，所以ω、φ的值不3333存在．π若选②：f（-）=-1；3π2π2π因为f（x）在[-，]上单调递增，且f（）=1，333π2π所以f（x）在x=-时取得最小值-1，x=时取得最大值1，332ππ2π所以f（x）的最小正周期为T=2×（+）=2π，计算ω==1，33T2π2π2ππ又因为f（）=sin（+φ）=1，所以+φ=2kπ+，k∈Z，3332π解得φ=2kπ-，k∈Z；6ππ又因为|φ|＜，所以φ=-；264πππ2π2π若选③：f（x）在[-，-]上单调递减，因为f（x）在[-，]上单调递增，且f（）=1，33333π2π所以f（x）在x=-时取得最小值-1，x=时取得最大值1，332ππ2π所以f（x）的最小正周期为T=2×（+）=2π，所以ω==1，33T2π2π2ππ又因为f（）=sin（+φ）=1，所以+φ=2kπ+，k∈Z，3332π解得φ=2kπ-，k∈Z；6ππ又因为|φ|＜，所以φ=-．263【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段第1天到-++0---++价格变化0+0--+-+00+第20天第21天到第40天用频率估计概率．（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）0.168；（Ⅲ）“不变”的概率估值最大．【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件的乘法公式求解即可；（Ⅲ）分别求得“上涨”、“下跌”和“不变”的概率，比较大小即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为（Ⅱ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“下降”的概率为40天中“不变”的有10天，则该农产品“上涨”的概率为10=0.25，4024210++0---++0+0+---+0-+16=0.4．4014=0.35，40则该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率C2×0．4×C1×0.35×C1×0.25=0.168．（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，4“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为，153“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为，52“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为，15故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．【点评】本题考查古典概型，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．（2023•北京）已知椭圆E：E的左、右顶点，|AC|=4．xa22+yb2=1（a＞b＞0）的离心率为√，A、C分别为E的上、下顶点，B、D分别为235（1）求E的方程；（2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=-2交于点N．求证：MN∥CD．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．22x【答案】（1）+y=1．94（2）见证明过程．5 c【分析】（1）由题意可得：2b=4，e=√=，a2=b2+c2，解得b,a2，即可得出椭圆E的方程．3a（2）利用截距式可得直线BC的方程，设直线AP的方程为：y=kx+2，（k＜0），可得N坐标，联立Vy=kx+2YYY，解得P坐标，利用直线PD方程与BC方程可得M坐标M，利用斜率计算公式可得kMN，Wx2y2+=1YXY4Y9kCD，进而证明结论．5 c【解答】解：（1）由题意可得：2b=4，e=√=，a2=b2+c2，3a解得b=2，a2=9，22x∴椭圆E的方程为+y=1．94（2）证明：A（0，2），B（-3，0），C（0，-2），D（3，0），xy直线BC的方程为+=1，化为2x+3y+6=0．−3−2−4设直线AP的方程为：y=kx+2，（k＜0），∴N（，-2）． kVy=kx+2YYY2联立W2，化为：（4+9k2）x2+36kx=0，x+y=1YXY4Y9解得x=0或-∴P（-36k4+9k22，36k4+9k，8−18k4+9k22）．218k−8直线PD方程为：y=4+9k3+236k2（x-3），即y=218k−827k+36k+1222（x-3），4+9k与2x+3y+6=0联立，解得x=∴M（−6k−43k+2k2−6k−43k+2k2，y=8−18k2．9k+6k，8−18k22）．9k+6k8−18k22∴kMN=9k+6k4−k3k2+2k2=，6k+43+22kCD=，3∴MN∥CD．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及性质、直线交点问题、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（2023•北京）设函数f（x）=x-x3eax+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）设g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅲ）求f（x）的极值点的个数．【专题】函数思想；转化思想；定义法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（Ⅰ）a=-1，b=1．（Ⅱ）在（-∞，0）和（3-√3，3+√3）上单调递增，在（0，3-√3）和（3+√3，+∞）上单调递减；（Ⅲ）3个极值点．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据导数的几何意义列方程组求出a、b的值．（Ⅱ）求f（x）的导数，利用g（x）=f′（x），求g（x）的导数，令g′（x）=0，根据g′（x）与g（x）的关系求出g（x）的单调区间；（Ⅲ）根据题意，判断f′（x）的单调递增，利用根的存在性定理，判断f′（x）的零点个数，即可得出f（x）极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x-x3eax+b，所以f′（x）=1-（3x2eax+b+ax3eax+b）=1-（3+ax）x2eax+b，因为f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+1，Va+bVf(1)=0YY1−e=0所以W，即W，Xf′(1)=−1a+bXY=−1Y1−(3+a)e解得a=-1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x-x3e-x+1，所以f′（x）=1-（3x2-x3）e-x+1，所以g（x）=f′（x）=1-（3x2-x3）e-x+1，所以g′（x）=-（6x-3x2）e-x+1+（3x2-x3）e-x+1=-x（x2-6x+6）e-x+1，令g′（x）=0，解得x=0或x=3±3，√所以g′（x）与g（x）的关系列表如下：（-x∞，0（0，3-√3）3-√3（3-√3，3+√3）3+√3（3+√3，+∞）0）g′（x）+ 单0-0+ 0-g（x）调递增单调递减单调递增单调递减所以g（x）在区间（-∞，0）和（3-√3，3+√3）上单调递增，在区间（0，3-√3）和（3+√3，+∞）上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x∈（-∞，0）时，f′（x）单调递增，当x＜-1时，f′（x）＜f′（-1）=1-4e2＜0，f′（0）=1＞0，所以存在x1∈（-∞，0），使得f′（x1）=0，又因为f（x）在（-∞，x1）上单调递减，在（x1，0）上单调递增，所以x1是f（x）的一个极小值点；当x∈（0，3-√3）时，f′（x）单调递减，且f′（3-√3）＜f′（1）=1-2＜0，所以存在x2∈（0，3-3），使得f′（x2）=0，所以f（x）在（0，x2）上单调递增，在（x2，3-）上单调递减，所以x2是f（x）的一个极大值点；当x∈（3-√3，3）时，f′（x）单调递增，又因为f′（3）=1＞0，所以存在x3∈（3-3，3），使得f′（x3）=0，所以f（x）在（3-√3，x3）上单调递减，（x3，3）上单调递增，所以x3是f（x）的一个极小值点，又因为当x＞3时，f′（x）＞0，所以f（x）在（3，+∞）上单调递增，无极值点；综上，f（x）在定义域R上有3个极值点．【点评】本题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是难题．√√3√（2023•北京）数列{an}，{bn}的项数均为m（m＞2），且an，bn∈{1，2，⋯，m}，{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，并规定A0=B0=0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；（Ⅱ）若a1≥b1，且2rj≤rj+1+rj-1，j=1，2，⋯，m-1，求rn；（Ⅲ）证明：存在p,q,s,t∈{0，1，2，⋯，m}，满足p＞q,s＞t,使得Ap+Bs=Aq+Br．【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．【答案】（Ⅰ）r0=0，r1=1，r2=1，r3=2．（Ⅱ）rn=n，n∈N．（Ⅲ）证明详情见解答．【分析】（Ⅰ）根据题意可得，列表分析ai，Ai，bi，Bi，rK的值，即可得出答案．（Ⅱ）由题意知rn≤m且rn∈N，an≥1，bn≥1，则An≥1，Bn≥1，当且仅当n=1时，等号成立，可推出rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥...≥r1-r0=1，即ri+1-ri≥1，用反证法证明满足rn+1-rn＞1的最小正整数为1≤j≤m-1不成立，推出rn+1-rn=1成立，由等差数列的性质，即可得出答案．（Ⅲ）分两种情况：若Am≥Bm时，若Am＜Bm时，证明AP+Bs=Aq+Br，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）列表如下，对比可知r0=0，r1=1，r2=1，r3=2．iaiAibiBirk3720210011（Ⅱ）由题意知rn≤m且rn∈N，因为an≥1，bn≥1，an，bn∈{1，2，⋯，m}，所以An≥1，Bn≥1，当且仅当n=1时，等号成立，所以r0=0，r1=1，又因为2rj+1≤rj-1+rj+1，则rj+1-rj≥rj-rj-1，即rm-rm-1≥rm-1-rm-2≥...≥r1-r0=1，可得rj+1-rj≥1，反证：假设满足rn+1-rn＞1的最小正整数为1≤i≤m-1，当j≥i时，则ri+1-rj≥2；当i≤j-1时，则rj+1-rj=1，则rm=（rm-rm-1）+（rm-1-rm-2）+...+（r1-r0）+r0≥2（m-i）+i=2m-i,又因为1≤i≤m-1，则rm≥2m-i≥2m-（m-1）=m+1＞m,所以假设不成立，rn+1-rn=1成立，所以数列{rn}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以rn=0+1×n=n,n∈N．（Ⅲ）证明：若Am≥Bm，设Sn=An-Br，1≤n≤m,n根据题意可得Sn≥0且Sn为整数，反证法：假设存在正整数K，使得SK≥m,则AK-Br≥m,AK-Br+1＜0，Kk所以br+1=Br+1-Br=（AK-Br）-（AK-Br+1）＞m,kkKKK这与brK+1∈{1，2...，m}相矛盾，所以对任意1≤n≤m,n∈N，均有Sn≤m-1，①若存在正整数N，使得SN=AN-Br=0，即AN=Br，NN取r=p=0，q=N，s=rN，使得AP+Bs=Aq+Br，②若不存在正整数N，使得SN=0，因为Sn∈{1，2m,…，m-1}，且1≤n≤m,所以必存在1≤X＜Y≤m,使得SX=SY，即AX-BrX=AY-BrY，可得AX+BrY=AY+BrX，取p=X，s=rY，q=Y，r=rX，使得Ap+Bs=Aq+Br，若Am＜Bm，设Sn=Br-An，1≤n≤m,n根据题意可得Sn≤0且Sn为整数，反证法：假设存在正整数K，使得SK≤-m,则BrK-AK≤-m,Brk+1-AK＞0，所以br+1=Br+1-Br=（Br+1-AK）-（Br-AK）＞m,kkKKK这与br+1∈{1，2...，m}相矛盾，K所以对任意1≤n≤m,n∈N，均有Sn≥1-m,①若存在正整数N，使得SN=Br-AN=0，即AN=Br，NN取r=p=0，q=N，s=rN，使得AP+Bs=Aq+Br，②若不存在正整数N，使得SN=0，因为Sn∈{-1，-2，…，1-m}，且1≤n≤m,所以必存在1≤X＜Y≤m,使得SX=SY，即AX+Br=AY+Br，可得AX+Br=AY+Br，YXYX取p=X，s=rY，q=Y，r=rX，使得Ap+Bs=Aq+Br．综上所述，存在0≤p＜q≤m,0≤r＜s≤m,使得Ap+Bs=Aq+Br．【点评】本题考查数列的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．