2021年全国高考数学甲卷(理科)真题及参考答案

2023年12月2日发(作者：宁德初三一模数学试卷分析)

2021年全国高考数学甲卷真题及参考答案理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合Mx0x4，Nx1x5，则MN(3C．x4x5)A．x0x13B．x1x43D．x0x52．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率组距0.20.10.10.00.002.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收入/万根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．己知1iz32i，则z(2)C．A．14．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足3i2B．13i23i2D．3i2L5lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为10101.259()B．1.2C．0.8D．0.6A．1.55．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，PF13PF2，则C的离心率为(A．)B．72132C．71D．136．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是()A．B．C．D．)7．等比数列an的公比为q，前n项和为Sn设甲：q0，乙：Sn是递增数列，则(A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB45，ABC60由C点测得B点的仰角为15BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A,C两点到水平面ABC的高度差AACC约为A．346B．373C．446D．473()9．若0，，tan22cos，则tan(2sinC．)A．151513B．552553C．D．153D．10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(A．B．2345)11．已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为(A．)212B．312C．24D．3412．设函数fx的定义域为R，fx1为奇函数，fx2为偶函数，当x1,2时，9fxax2b.若f0f36，则f(2A．)D．94B．32C．74522二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2x113．曲线y在点1，3处的切线方程为_______________．x214．已知向量a3,1，b1,0，cakb.若ac，则k______．x2y215．已知F1，F2为椭圆C:1两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，164且PQF1F2，则四边形PF1QF2的面积为______．16．已知函数fx2sinx的部分图像如图所示，则满足条件fx7f4fx4f30的最小正整数x为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品甲机床乙机床合计150120270二级品5080130合计200200400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？nadbc附：Kabcdacbd22≥k)318．已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列an是等差数列；②数列③a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．S是等差数列；n19．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．ABBC2，E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1．(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DEF所成的二面角的正弦值最小？20．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l:x1交C于P,Q两点，且0，且⊙M与l相切．OPOQ.已知点M2，(1)求C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与⊙M相切．判段直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．4xa21．已知a0且a1，函数fxxx0．a(1)当a2时，求fx的单调区间；(2)若曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos．(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为1，0，M为C上的动点，点P满足AP2AM，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数fxx2，gx2x32x1．(1)画出yfx和ygx的图象；(2)若fxagx，求a的取值范围．5参考答案一、选择题1.B2.C解析：集合Mx0x4，Nx11x5，则MNxx4.33解析：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为0.020.0416%，对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为0.040.023110%，对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.020.1110.04120.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.027.686.5万元对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.10.140.20.210.640.53.B4.C解析：由题意z32i1i232i23i31i2i22解析：在L5lgV中，L4.9，∴4.95lgV即lgV0.1，0.1解得V105.A1110.8，∴其视力的小数记录法的数据约为0.80.1101.2591010解析：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上一点，PF13PF2，设PF13m，PF2m，由双曲线的定义可得PF1PF22m2a，即ma，∴PF13a，PF2a，且F1PF260，F1F22c，∴4c9aa23aacos60，整理得：4c7a，∴e22222c7.a2解析：由题意作出正方体，截取三棱锥AEFG，根据正视图，可得AEFG在正6.D方体左侧面，如图，根据三视图得投影，可以得到相应的侧视图是D图形.67.B解析：若a11，q1，则Snna1n，则Sn是递减数列，不满足充分性；∵Sna11qn1q∴Sn1a1a1qn1∴Sn1Sn1qnqn1a1qn，若Sn是递增数列，1q1q∴Sn1Sna1q0，则a10，q0，∴满足必要性故甲是乙的必要条件但不是充分条件.解析：过C作CHBB与H，8.B过B作BMAA于M则BCH15，BH100，ABM45，CHCB，ABBMAM，BBMA，nCAB75∴tanBCHtan15tan4530tan45tan30231tan45tan30sin75sin4530则在RTBCH中，CH231222BH10023，∴CB1002BCHCB在ABC中，由正弦定理知，ABsinACB10031sinCAB∴AM1009.A31，∴AACCAMBH10031100sin2cos2sincoscos得，即，22sincos22sin2sin12sin2解析：由tan2∵0，，∴cos0则2sin2sin12sin，解得sin21，4则cos1sin215sin15，∴tan.4cos1510.C6A6解析：4个1和2个0随机排成一行，共有4215种，A4A222个0不相邻，先将4个1全排列，在用插空法将2个零放入共有C510种，故2个0不相邻的概率为102.1537解析：∵ACBC，ACBC1，11.A∴底面ABC为等腰直角三角形，∴ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，∴OO1⊥平面ABC，在RtABC中，AB则AO1AC2BC22，2，2在RtAOO1中，OO1OA2AO122，2故三棱锥OABC的体积为V12.D11122SABCOO111.332212解析：∵fx1为奇函数，∴f10，且fx1fx1，∵fx2为偶函数，∴fx2fx2，∴fx11fx11fx，即fx2fx，∴fx2fx2fx.令tx，则ft2ft，∴ft4ft2ft，∴fx4fx.当x1,2时，fxaxb.2f0f11f24ab，f3f12f12f1ab，又f0f36，∴3a6，解得a2，∵f1ab0，∴ba2，∴当x1,2时，fx2x2，∴fff22921232952.42二、填空题13.5xy20解析：∵y2x15，1，3在曲线上，∴yx2x22∴yx15，则曲线y2x1在点1，3处的切线方程为：x2y35x1，即5xy20.814.aakbakab3212k3110103k0.解得k15.8解析：由题意得四边形PF1QF2为矩形，设PF1m,PF2n，22103解析：由题意可得210.3由椭圆的定义可得PF1PF2mn2a8，∴mn2mn64.∵PF12PF22F1F224c24a2b248，即m2n248∴mn8，∴四边形PF1QF2的面积为PF1PF2mn8.16.2解析：由图象可得3133T，即函数周期为412344f30，且T∵fxf7fx4∴fxffxf0，观察图象可知x343f，即x2时最小且满足题意.3∴fxf，fx4三、解答题（一）必答题17.解：（1）由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，1503；20041203∵乙的一级品的频数为120，∴乙的一级品的频率为2005（2）根据22列联表，可得∵甲的一级品的频数为150，∴甲的一级品的频率为22nadbc4001508050120K10.2566.635.abcdacbd2701302002002∴有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.解：选择①③为条件，②为结论.证明：由题意可得：a2a1d3a1∴d2a1，数列的前n项和：Snna1故Snnn1nn1dna12a1n2a1，22Sn1na1n1a1a1，据此可得数列S是等差数列.n9选择①②为条件，③为结论.证明：设数列an的公差为d，则：S1a1，S2a1a1d2a1d，S3a1a1da12d3a1d.数列S为等差数列，则nS1S32S2即a13a1d22a1d所以（a123a1d）22a1d，整理得：d2a1.2∴a2a1d3a1.选择③②为条件，①为结论.证明：由题意可得S2a1a24a1，∴S22a1则数列S的公差为dnS2S1a1，通项公式为SnS1x1dna1，22据此可得，当n2时，anSnSn1na1n1a12n1a1，当n1时上式也成立，故数列通项公式为an2n1a1.由an1an2n11a12n1a12a1，可知数列an是等差数列.（1）证明：连接AF19.解：∵E,F分别为AC和CC1的中点，且ABBC2，∴CF1，BF5，∵BFA1B1，AB∥A1B1∴BFAB∴AF2AB2BF22253，AC222AF2CF2321222.∴ACABBC，即BABC，故以B为原点，BA,BC,BB1所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A2，0,0，B0，0，0，C0，2，0，E1，1，0，F0，2，1，设B1Dm，则Dm,0,2，∴BF0,2,1，DE1m,1,2，∴BFDE0，即BFDE.（2）∵AB⊥平面BB1C1C∴平面BB1C1C的一个法向量为m1,0,010由（1）知，DE1m,1,2，EF1,1,1，nDE01mxy2z0设平面DEF的法向量为nx,y,z，则xyz0nEF0令x3，则ym1，z2m∴n3,m1,2m，∴cosm,nmnmn319m12m2231272m222，1时，面BB1C1C与面DEF所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，21故当B1D时，面BB1C1C与面DEF所成的二面角的正弦值最小2（1）∵直线l:x1与抛物线由两个不同的交点，20.解：当m故可设抛物线C的方程为：y2pxp0，令x1，则y2p2根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P1,2p，Q1,2p.∵OPOQ，故122p2p0p1，2抛物线C的方程为yx，x2y1.∵⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：22（2）设A1x1,y1，A2x2,y2，A3x3,y3.当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点），设直线A1A2的方程为kxy0，根据点M2，0到直线距离为1可得2k1k21，解得k3，联立直线A1A2与抛物线公差可得x3，3此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切.当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1x2x3，直线A1A2的方程为xy1y2yy1y2011此时有xy1y2yy1y202y1y21y1y221，即y11y22y1y23y10同理，由对称性可得，y11y32y1y33y10所以y2,y3是方程y11t2y1t3y10的两根，依题意有，直线A2A3的方程为xy2y3yy2y30，23y122y11122y121y2112222222222令M到直线A2A3的距离为d，则有d22y2y3221y2y3此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，综上，直线A2A3与⊙M相切.x221.解：（1）a2时，fxx，22ln2xx2x2x2xln2x2x2xln2ln2，fx22x2x2x当x0,ln22xln，，fx0时，，当fx0ln2ln222，上单调递减.上单调递增，在lnln2ln2故fx在0,ln（2）由题知fx1在0，有两个不等实根，fx1xaaxalnxxlna令gxlnx1lnx，在gx，2xxlnxlna，xagx在0，e上单调递增，在e,上单调递减，又limgx，gex01，g10，limgx0，xe12作出gx的大致图象，如图所示：由图象可得0lna1，解得a1且ae，即a的取ae值范围是1，ee,.（二）选考题22.解：（1）由极坐标方程为22cos，得22cos，2化为直角坐标方程是xy22x，即x2222y22，表示圆心为C2,0，半径为2的圆.（2）设点P的直角坐标为x,y，Mx1,y1，∵A1，0，∴APx1，yAPx1，y，AMx11,y12x11x1x12x112由AP2AM，即，解得，y2xy2y1122222，代入C的方程得：∴Mx112x11,y2222化简得点P的轨迹方程是x3化为参数方程是计算CC132y2，222y24，表示圆心C132，0，半径为2的圆，x322cosy2sin，为参数；2232222，∴圆C与圆C1内含，没有公共点.x2,x2，2x,x223.解：（1）函数fxx214,x231gx2x32x14x2,x2234,x2画出yfx和ygx的图象；13（2）由图象可得：f64，g4，若fxagx，说明把函数fx的图象向左或向右平移a单位以后，fx的图象不在gx的下方，由图象观察可得：a21211111.4，∴a的取值范围是，2221415