2017年北京市中考数学试卷 参考答案及详细评析

2024年3月24日发(作者：初中初二数学试卷中等)

2017年北京市中考数学试卷参考答案及试卷评析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．（3分）（2017•北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度

【解答】解：由题意，得

点P到直线l的距离是线段PB的长度，

故选：B．

【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键．

2．（3分）（2017•北京）若代数式

A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠4

【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；

【解答】解：由意义可知：x﹣4≠0，

∴x≠4，

故选（D）

【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，

本题属于基础题型．

3．（3分）（2017•北京）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

有意义，则实数x的取值范围是（ ）

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A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱

【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．

【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．

故选：A．

【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理

解．

4．（3分）（2017•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，

则正确的结论是（ ）

A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d|

【解答】解：由数轴上点的位置，得

a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．

A、a＜﹣4，故A不符合题意；

B、bd＜0，故B不符合题意；

C、|a|＞4=|d|，故C符合题意；

D、b+c＜0，故D不符合题意；

故选：C．

D．b+c＞0

5．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

．．

（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．

第2页（共27页）

故选A．

6．（3分）（2017•北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是

（ ）

A．6 B．12 C．16 D．18

【分析】根据多边形的内角和，可得答案．

【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得

（n﹣2）•180°=150n，

解得n=12，

故选：B．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．

7．（3分）（2017•北京）如果a

2

+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣）•

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

的值是（ ）

【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a

2

+2a﹣1=0变

形即可解答本题．

【解答】解：（a﹣）•

=

=

=a（a+2）

=a

2

+2a，

∵a

2

+2a﹣1=0，

∴a

2

+2a=1，

∴原式=1，

故选C．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

8．（3分）（2017•北京）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的

第3页（共27页）

贸易情况．

2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）

根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）

．．．

A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长

B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长

C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元

D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多

【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．

【解答】解：A、由折线统计图可得：

与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；

B、由折线统计图可得：2011﹣2014年，我国与东南亚地区的贸易额2014年后

有所下降，故逐年增长错误，故此选项错误，符合题意；

C、2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：

（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）÷6≈4358，

故超过4200亿美元，正确，不合题意，

D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，

∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多，

故选：B．

【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．

第4页（共27页）

9．（3分）（2017•北京）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在

整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的

对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（ ）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点

B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程

D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次

【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先

到达终点，故A错误；

根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的

时间多，而路程相同，根据速度=

全程的平均速度，故B错误；

根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；

小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象

可知2次，故D正确；

故选：D．

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，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑

【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象

上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

10．（3分）（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实

验的结果．

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”

的概率是0.616；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的

稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定

是0.620．

其中合理的是（ ）

A．① B．② C．①② D．①③

【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以

此时“钉尖向上”的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是

0.616，故①错误，

随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳

定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，

若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是

0.620，但不一定是0.620，故③错误，

故选B．

【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用

第6页（共27页）

数形结合的思想解答．

二、填空题（本题共18分，每题3分）

11．（3分）（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： π ．

【分析】根据无理数的定义即可．

【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，

故答案为：π．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，

无限不循环小数为无理数．如π，

个0）等形式．

12．（3分）（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了

435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设

篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．

，0.8080080008…（每两个8之间依次多1

【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，

②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．

【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：

，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题

意，找出题目中的等量关系．

13．（3分）（2017•北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若

S

△

CMN

=1，则S

四边形

ABNM

= 3 ．

第7页（共27页）

【解答】解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AB，且MN=AB，

∴△CMN∽△CAB，

∴=（）

2

=，

∴=，

∴S

四边形

ABNM

=3S

△

AMN

=3×1=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三

角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．

14．（3分）（2017•北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，=

∠CAB=40°，则∠CAD= 25° ．

．若

【解答】解：∵

∴

∴

=80°，

=，AB为⊙O的直径，∠CAB=40°，

=180°﹣80°=100°，

第8页（共27页）

∴==50°，

∴∠CAD=25°．

故答案为：25°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，弧、弦的关系，根据题意得出

解答此题的关键．

15．（3分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是

△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△

OCD得到△AOB的过程： △OCD绕C点顺时针旋转90°，并向左平移2个单位

得到△AOB ．

的度数是

【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．

【解答】解：△OCD绕C点顺时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答

案不唯一）．

故答案为：△OCD绕C点顺时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．

【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的

距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应

点与旋转中心连线的夹角的大小．

16．（3分）（2017•北京）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．

作法：如图2．

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（1）分别以点A和点B为圆心，大于

两点；

（2）作直线PQ，交AB于点O；

的长为半径作弧，两弧相交于P，Q

（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．

请回答：该尺规作图的依据是 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直

平分线上；90°的圆周角所的弦是直径 ．

【分析】由于90°的圆周角所的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB

的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．

【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂

直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．

故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周

角所的弦是直径．

三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28

题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（5分）（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣）

0

﹣+|﹣2|．

【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别

化简得出答案．

【解答】解：原式=4×

=2

=3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

第10页（共27页）

+1﹣2+2

﹣2+3

18．（5分）（2017•北京）解不等式组：．

【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：

由①式得x＜3；

由②式得x＜2，

所以不等式组的解为x＜2．

【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较

大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

19．（5分）（2017•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC

交AC于点D．

求证：AD=BC．

，

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠

ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=C=72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，

∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，

∴AD=BD=BC．

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，

注意三角形内角和定理的应用．

第11页（共27页）

20．（5分）（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从

长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相

等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海

岛算经》九题古证．

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学

泰斗刘徽》）

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：S

矩形

NFGD

=S

△

ADC

﹣（S

△

ANF

+S

△

FGC

），S

矩形

EBMF

=S

△

ABC

﹣（ S

△

AEF

+ S

△

FCM

）．

易知，S

△

ADC

=S

△

ABC

， S

△

ANF

= S

△

AEF

， S

△

FGC

= S

△

FMC

．

可得S

矩形

NFGD

=S

矩形

EBMF

．

【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即

可证明结论．

【解答】证明：S

矩形

NFGD

=S

△

ADC

﹣（S

△

ANF

+S

△

FGC

），S

矩形

EBMF

=S

△

ABC

﹣（ S

△

ANF

+S

△

FCM

）．

易知，S

△

ADC

=S

△

ABC

，S

△

ANF

=S

△

AEF

，S

△

FGC

=S

△

FMC

，

可得S

矩形

NFGD

=S

矩形

EBMF

．

故答案分别为 S

△

AEF

，S

△

FCM

，S

△

ANF

，S

△

AEF

，S

△

FGC

，S

△

FMC

．

【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成

面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．

21．（5分）（2017•北京）关于x的一元二次方程x

2

﹣（k+3）x+2k+2=0．

第12页（共27页）

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）

2

≥0，由此可

证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x

1

=2、x

2

=k+1，根据方程有一根

小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解答】（1）证明：∵在方程x

2

﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]

2

﹣4×1

×（2k+2）=k

2

﹣2k+1=（k﹣1）

2

≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x

2

﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，

∴x

1

=2，x

2

=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

22．（5分）（2017•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，

AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE

即可解决问题；

（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，

∴DE=BC，

第13页（共27页）

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）解：连接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，

∴AB=BC=1，

∵AD=2BC=2，

∴sin∠ADB=，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，∵AD=2，

∴CD=1，AC=．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函

数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．

23．（5分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）

的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．

（1）求k、m的值；

（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于

第14页（共27页）

点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．

①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，

∴m=3﹣2=1，

∴A（3，1），

将A（3，1）代入y=，

∴k=3×1=3，

（2）①当n=1时，P（1，1），

令y=1，代入y=x﹣2，

x﹣2=1，

∴x=3，

∴M（3，1），

∴PM=2，

令x=1代入y=，

∴y=3，

∴N（1，3），

∴PM=2

∴PM=PN，

②P（n，n），

第15页（共27页）

点P在直线y=x上，

过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，

M（n+2，n），

∴PM=2，

∵PN≥PM，

即PN≥2，

∴0＜n≤1或n≥3

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例

函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．

24．（5分）（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作

EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

（1）求证：DB=DE；

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠

第16页（共27页）

AOE==，由此求出AE即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AO=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BD是切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，

∴∠OBE+∠EBD=90°，

∵EC⊥OA，

∴∠CAE+∠CEA=90°，

∵∠CEA=∠DEB，

∴∠EBD=∠BED，

∴DB=DE．

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．

∵DB=DE，AE=EB=6，

∴EF=BE=3，OE⊥AB，

在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，

∴DF==4，

∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，

∴∠AOE=∠DEF，

∴sin∠DEF=sin∠AOE=

∵AE=6，

∴AO=．

．

=，

∴⊙O的半径为

第17页（共27页）

【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角

形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型．

25．（5分）（2017•北京）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两

个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百

分制）如下：

甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80

86 69 83 77

乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78

82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩x

40≤x≤

人数

部门

甲

乙

0

1

0

0

1

0

11

7

7

10

1

2

49

50≤x≤

59

60≤x≤

69

70≤x≤

79

80≤x≤

89

90≤x

≤100

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60﹣

﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

第18页（共27页）

部门

平均数

中位数

众数

甲

乙

78.3

78

77.5

80.5

75

81

得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 240 ；b．可以推断出

甲或乙 部门员工的生产技能水平较高，理由为 ①甲部门生产技能测试中，平

均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能

水平较高．

或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较

高． ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

【分析】根据收集数据填写表格即可求解；

用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案，根据情况进行讨论分析，

理由合理即可．

【解答】解：填表如下：

成绩x

40≤x≤

人数

部门

甲

乙

a.

0

1

0

0

1

0

11

7

7

10

1

2

49

50≤x≤

59

60≤x≤

69

70≤x≤

79

80≤x≤

89

90≤x

≤100

×400=240（人）．

故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；

b．答案不唯一，理由合理即可．

可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：

①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能

水平较高．

或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：

①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

第19页（共27页）

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．

故答案为：1，0，0，7，10，2；

240；甲或乙，①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产

技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能

水平较高；

或①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．

【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的

定义以及用样本估计总体是解题的关键．

26．（5分）（2017•北京）如图，P是

交

所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB

于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点

间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y

的值为0）

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm

y/cm

0

0

1

2.0

2

2.3

3

2.1

4

5

6

0

1.6

0.9

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出

该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约

第20页（共27页）

为 2.2 cm．

【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；

（2）利用描点法，画出函数图象即可；

（3）作出直线y=x与图象的交点，交点的横坐标即可AP的长．

【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=4时，y=1.6cm，

故答案为1.6．

（2）利用描点法，图象如图所示．

（3）当△PAN为等腰三角形时，x=y，作出直线y=x与图象的交点坐标为（2.2，

2.2），

∴△PAN为等腰三角形时，PA=2.2cm．

故答案为2.2．

【点评】本题考查圆综合题、坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，

学会用测量法、图象法解决实际问题，属于中考压轴题．

27．（7分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x

2

﹣4x+3与x轴

交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

第21页（共27页）

（1）求直线BC的表达式；

（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x

1

，y

1

），Q（x

2

，y

2

），与直线BC

交于点N（x

3

，y

3

），若x

1

＜x

2

＜x

3

，结合函数的图象，求x

1

+x

2

+x

3

的取值范围．

【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线

BC的表达式即可；

（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．

【解答】解：（1）由y=x

2

﹣4x+3得到：y=（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．

所以A（1，0），B（3，0），

设直线BC的表达式为：y=kx+b（k≠0），

则

解得

，

，

所以直线BC的表达式为y=﹣x+3；

（2）由y=x

2

﹣4x+3得到：y=（x﹣2）

2

﹣1，

所以抛物线y=x

2

﹣4x+3的对称轴是x=2，顶点坐标是（2，﹣1）．

∵y

1

=y

2

，

∴x

1

+x

2

=4．

令y=﹣1，y=﹣x+3，x=4．

∵x

1

＜x

2

＜x

3

，

∴3＜x

3

＜4，即7＜x

1

+x

2

+x

3

＜8．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结合”

的数学思想，降低了解题的难度．

第22页（共27页）

28．（7分）（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动

点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH

⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由

直角三角形的性质即可得出结论；

（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB

是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；

（2）PQ=MB；理由如下：

连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：

∵AC⊥QP，CQ=CP，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

第23页（共27页）

在△APC和△QME中，

∴△APC≌△QME（AAS），

∴PC=ME，

∴△MEB是等腰直角三角形，

∴PQ=

∴PQ=

MB，

MB．

，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、

勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题

的关键．

29．（8分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下

的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则

称P为图形M的关联点．

（1）当⊙O的半径为2时，

①在点P

1

（，0），P

2

（，），P

3

（，0）中，⊙O的关联点是 P

2

，P

3

．

②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若

线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

【分析】（1）①根据点P

1

（，0），P

2

（，），P

3

（，0），求得OP

1

=，

OP

2

=1，OP

3

=，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P

第24页（共27页）

到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公

式即可得到结论；

（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣

2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于

是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点

B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论．

），P

3

（，0），

【解答】解：（1）①∵点P

1

（，0），P

2

（，

∴OP

1

=，OP

2

=1，OP

3

=，

∴P

1

与⊙O的最小距离为，P

2

与⊙O的最小距离为1，OP

3

与⊙O的最小距离为

，

∴⊙O，⊙O的关联点是P

2

，P

3

；

故答案为：P

2

，P

3

；

②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合

题意，

∴设P（x，﹣x），当OP=1时，

由距离公式得，OP=

∴x=，

=3，

=1，

当OP=3时，OP=

解得：x=±；

∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤x≤﹣，或≤x≤；

（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，1），

如图1，

第25页（共27页）

当圆过点A时，此时，CA=3，

∴C（﹣2，0），

如图2，

当直线AB与小圆相切时，切点为D，

∴CD=1，

∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，

∴直线AB与x轴的夹角=45°，

∴AC=，

，0），

；

∴C（1﹣

∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x

C

≤1﹣

如图3，

第26页（共27页）

当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），

如图4，

当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，

∴OC=

∴C（2

=2

，0）．

；

或2≤x

C

≤2．

，

∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x

C

≤2

综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x

C

≤1﹣

【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间

的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．

第27页（共27页）