2024年3月27日发(作者：初中数学试卷怎么做好)
求圆的切线方程的几种方法
四川省冕宁中学 谢玉
在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题：求过已知
圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方
法归纳整理，以供参考。
例：已知圆的方程是x
2
+ y
2
= r
2
，求经过圆上一点M(x
0
，y
0
)的切线的方程。
解法一：利用斜率求解
如图1，设切线的斜率为k，则kk
OM
1.
k
OM
y
0
x
,k
0
x
0
y
0
x
0
(xx
0
)
y
0
经过点M的切线方程是：
yy
0
22
整理得x
0
xy
0
yx
0
y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
y
0
r
2
.
所求的直线方程为：x
0
xy
0
yr.
当点M在坐标轴上时上面方程同样适用。
2
图1
解法二：利用向量求解
如图2，设切线上的任意一点p的坐标
x,y
∵OMPM，OM（x
0
,y
0
),PM(x
0
x,y
0
y)
OM•PM0
x
0
（x
0
x）y
0
(y
0
y)0
22
整理得：x
0
xy
0
yx
0
y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
y
0
r
2
.
所求的直线方程为：x
0
xy
0
yr
2
.
（这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）
解法三：利用几何特征求解
如图2，设直线上不同于M(x
0
,y
0
)的一点P(x,y)
∵OMPM
OMPMOP
222
图2
x
0
y
0
(xx
0
)
2
(yy
0
)
2
x
2
y
2
22
整理得：x
0
xy
0
yx
0
y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
y
0
r
2
.
22
所求的直线方程为：x
0
xy
0
yr
2
.
当P和M重合时上面方程同样适用。
解法四：用待定系数法求解
1、 利用点到直线的距离求解
设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：
yy
0
k(xx
0
),即：kxyy
0
kx
0
0 ⑴
原点O(0,0)到切线的距离等于半径
y
0
kx
0
1k
2
r
22
化简整理得：(r
2
x
0
)k
2
2x
0
y
0
kr
2
y
0
0 ⑵
因为x
0
y
0
r
2
所以⑵式可化为：y
0
k
2
2x
0
y
0
kx
0
0
解得：k
x
0
代入⑴式
y
0
22
22
22
整理得x
0
xy
0
yx
0
y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
y
0
r
2
.
所求的直线方程为：x
0
xy
0
yr
2
.
当斜率不存在时上面方程同样适用。
2、 利用直线与圆的位置关系求解：
设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为：
yy
0
k(xx
0
),即：kxyy
0
kx
0
0 （1）
kxyy
0
kx
0
0
由
2
消去y得
22
xyr
(1k
2
)x
2
2k(y
0
kx
0
)xy
0
k
2
x
0
2ky
0
x
0
r
2
0
4k
2
(y
0
kx
0
)
2
4(1k
2
)(y
0
k
2
x
0
2ky
0
x
0
r
2
)0
整理得：(r
2
x
0
)k
2
2x
0
y
0
kr
2
y
0
0 ⑵
因为x
0
y
0
r
2
所以⑵式可化为：y
0
k
2
2x
0
y
0
kx
0
0
解得：k
x
0
代入⑴式
y
0
22
22
22
22
22
22
整理得x
0
xy
0
yx
0
y
0
.
22
因为点M在圆上，所以x
0
y
0
r
2
.
所求的直线方程为：x
0
xy
0
yr
2
.
当斜率不存在时上面方程同样适用。
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方
法求解。
同样一道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，
用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特
征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。
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