2023年12月2日发(作者：2021年高考数学试卷文科河南)

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大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A）

一、选择题：(每小题2分，共10分)

1. 函数

zf(x,y)在点(x0,y0)处偏导数

fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是函数z在点(x0,y0)存在全微分的（ ）；

A.充分条件； B.必要条件；

C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件.

2．下列级数发散的是（ ）；

A．n2(1)n(1)nln(1n); B.;

n1nn(1)n2C．sin(a); D.22n2

n1(1)n.

n13.级数sinnx(x0)，则该级数（ ）；

n1n ！A.是发散级数； B.是绝对收敛级数；

C.是条件收敛级数； D. 仅在(1,0)(0,1)内级数收敛，其他x值时数发散。

x2y2z.（p>0，q>0）与xOy平面的交线是（ ）4. 双曲抛物面；

ppA.双曲线 B.抛物线

C.平行直线 D.相交于原点的两条直线.

5.函数f(x,y)x34x22xyy2,下列命题正确的是。

A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点 B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点 2

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C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点 D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.

二、填空题：(每小题3分，共30分 )

1．zln(xy2)x2y21的定义域为 ；

2．曲面ax2by2cz21在点x0,y0,z0的法线方程是 ;

3．设f(x,y)ln(xy)，则fy\'(1,0) ;

=

2xD4.已知D是由直线x＋y

=1,x－y

=1及x

= 0所围，则yd= ;5．

dyf(x,y)dx交换积分次序得 ;

003y

(0x)1 ，

6.设函数f(x)x 的傅立叶级数的 ， (-x0)2

3和函数为s(x),则s()__________________;2

7．若级数(un2)收敛,则limun ；

n1n8.微分方程y

/

+ P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)；

9．设zxy，则dz；

10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。则曲线积分与路径无关的充要条件是 _______________。

三、计算题 （共33分 ）

1. （8分）zeusinv,而uxy,vx2y,求zz,.

xy3

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2. （7分）计算e(xD2y2)dxdy,其中D:x2y21.

3. （10）求幂级数nxn1的收敛域及和函数。

n14. （8分）将f(x)1展开成（x－2）的幂级数。

x四．应用题（共17分 ）

1. （7分）设一个质点在 M(x,y)处受到力F 的作用，F的大小与M 到原点Ox2y2的距离成正比，F的方向恒指向原点。此质点由点A(a , 0)沿椭圆221按ab逆时针方向移动到点B(0,b),求F所做的功。

2.（10分）求微分方程 y

//

+ y = xcos2 x的通解。

五、证明题(每小题5分，共10分)

4t2

1. 设函数 f(t) 在 [0,] 连续， 且满足方程 f(t)e

1

f(x2y2)dxdy, 求 f(t).

2x2y2a2

1

2. 设函数 f(x) 在 [0, 1] 连续,且f(x)dxA. 试证 ：0

11A2

二次积分dxf(x)f(y)dy.

0x2

4

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大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A）-参考答案

一、选择题：(每小题2分，共10分)

1. B ; 2. A ; 3. B ; 4. D ; 5. A

xx0yy0zz0;

ax0by0cz0二、 1.

{(x,y)|xy20,x2y21}; 2.

3.

1; 4.

0 ;

2 5.

30dxf(x,y)dy ; 6.

x33 ;

4P(x)dx 7. -2 ; 8.

e ;

9.

yxy1dxxylnxdy ;

10.

QP .

xy

1.（8分）

三、计算题 （共33分 ）

解

zzuzv ………………………………….2分

xuxvxuu

yesinvecos v

e[ysin(x-2y)cos (x-2y)]…………………………….2分

xy

zzuzv ………………………………….2分

yuyvy

xesinv2ecos v

uu

e[ysin(x-2y)2cos (x-2y)]…………………………….2分

xy5

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2. （7分）

2解

e(xDy2)dxdyrerdrd ………………………………….2分

00122

211-r22ed(r)

021|…………………………….3分

0

 e-r2

(1e). ………………………………….1分

1

xesinv2ecos v

uu

e[ysin(x-2y)2cos (x-2y)]…………………………….2分

xy3. （10分）

解 设所求和函数为S(x)=

nxn1 ………………………………….2分

n1 则

x0S(t)dtntn1dt………………………………….3分

n10x =xn1n………………………………….1分

=x ， (|x|<1) ………………………………….2分

1x6

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S(x)[

x0S(t)dt]/1 , (|x|1)………………….2分

2(1x)4. （8分）

解

f(x)11

………………….2分

x2x2121x2………………….2分

12

1x2nx2() , ||1………………….3分

2n022

n012n1 (x-2)n , (0x4) .………………….1分

四．应用题（共17分 ）

1. （7分）

解 椭圆的参数方程为xacost

ybsint 

t从0变到



2

rOMxiyj

Fk|r|(r)k(xiyj) …………………2分

|r|其中k>0是比例常数

kxdxkydykxdxydy ………………….1分 于是

WAB

AB

k2(a2costsintb2sintcost)dt………………….3分

0

k(a2b2)02sintcostdtk(a2b2) ………………….1分

22.（10分）求微分方程 y

//

+ y = xcos2 x的通解。

解 （1） 对应的齐次方程的特征方程为

r210

解之得 r = ±I …………………2分

所以 对应的齐次方程的通解为 y = C1cosx+C2sinx. ……………2分

(2) 设特解为

y*(axb)cos2x(cxd )sin2x原方程的一个特解……………2分

则

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x 7

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3a13b4c0比较两端同类项的系数得

 得a1

b0

c0

d4

393c04a3d0于是求得一个特解为

y*1xcos2x4sin2x …………………3分

39所以 所求方程的通解为 y = C1cosx+C2sinx+分

五、证明题(每小题5分，共10分)

a221 1. 证明

f(t)e4trf(r)drd，

00214xcos2xsin2x……………139

f(t)e4t212rf(r)dr ……………2分

02aa21 令

rf(r)drb 则

f(t)e4t2b

02tt2

f()e2b ，

22t

tf()tet2bt,

2两边积分得

a0aatt2tf()dttedt2btdt， ……………2分

002

b1a2(e1)a2b，

22ea1

b，

22(1a) 所以

f(t)e4t

2.证明

f(x)f(y)dxdyf(x)f(y)dxdyf(x)f(y)dxdyDD1D22ea1. ……………1分

21a2y 8

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D2

D1

x

由积分区域及积分函数的对成性可知

f(x)f(y)dxdyf(x)f(y)dxdy

D1D2而

f(x)f(y)dxdydxf(x)f(y)dy

D10x11

f(x)f(y)dxdyf(x)dxf(y)dy[f(x)dx]2A2

D000111A2 所以

dxf(x)f(y)dy。

0x211


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方程,原点,函数