初中数学竞赛试题及答案

初中数学竞赛试题及答案

【篇一：初中数学竞赛试题及答案(免费)6】

s=txt>“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

??x?y?12,1．方程组?的解的个数为（）．

??x?y?6

（a）1 （b） 2（c） 3 （d）4

答：（a）．

??x?y?12,解：若x≥0，则?于是y?y??6，显然不可能． x?y?6,?????x?y?12,若x?0，则 ? x?y?6,??

于是y?y?18，解得y?9，进而求得x??3．

?x??3,所以，原方程组的解为?只有1个解．

?y?9,

故选（a）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．

（a） 14 （b） 16 （c）18 （d）20 答：（b）．

解：用枚举法：

红球个数白球个数黑球个数种 数5 2，3，4，53，2，1，0 44 3，4，5，63，2，1，0 43 4，5，6，73，2，1，0 42 5，6，7，83，2，1，0 4

所以，共16种．

故选（b）．

3．已知△abc为锐角三角形，⊙o经过点b，c，且与边ab，ac分别相交于点d，e． 若⊙o的半径与△ade的外接圆的半径相等，则⊙o一定经过

△abc的（）．

（a）内心 （b）外心（c）重心 （d）垂心

答：（b）．

解： 如图，连接be，因为△abc为锐角三角形，所以 ?bac，?abe均为锐角．又因为⊙o的半径与△ade的外

接圆的半径相等，且de为两圆的公共弦，所以

若△abc的外心为o1，则?boc2bac1??

一定过△abc的外心．

故选（b）．

4．已知三个关于x的一元二次方程 ，所以，⊙o

ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0 a2b2c2

恰有一个公共实数根，则??的值为（）． bccaab

（a） 0 （b）1 （c）2 （d）3

答：（d）．

解：设x0是它们的一个公共实数根，则

ax0?bx0?c?0，bx0?cx0?a?0，cx0?ax0?b?0．

把上面三个式子相加，并整理得

2(a?b?c)(x0?x0?1)?0． 222

132?x0?1?(x0?)2??0，所以a?b?c?0． 因为x024

于是

a2b2c2a3?b3?c3a3?b3?(a?b)3

???? bccaababcabc

??3ab(a?b)?3． abc

故选（d）．

5．方程x3?6x2?5x?y3?y?2的整数解（x，y）的个数是（）．

（a）0 （b）1（c）3 （d）无穷多

答：（a）．

解：原方程可化为

x(x?1)(x?2)?（3x2?x）?y(y?1)(y?1)?2，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选(a).

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形abc中，?acb?90?，ca＝4．点p是半圆弧ac的中点，连接bp，线段bp把图形apcb分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设ac与bp相交于点d，点d关于圆心o的对称

点记为点e，线段bp把图形apcb分成两部分，这两部分面积之

差的绝对值是△bep的面积，即△bop面积的两倍．而 11s?bpo?po?co??2?2?2． 22

因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图, 点a，c

都在函数y?

x?0)的图象上，点b，d都在x轴上，且使得△oab，△bcd都是等边三角形，则点d的坐标

为．

答：

（0）．

解：如图，分别过点a，c作x轴的垂线，垂足分别

为e，f．设oe＝a，bf＝b， 则ae

，cf

，

所以，点a，c的坐标为

（a

），（2a＋b

），

2a?所以

(2a?b)?解得

??a? ???b?因此，点d

的坐标为（0）．

8．已知点a，b的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段ab恰有一个交点，则a的取值范围是 ．

1答：?1≤a??，

或者a?3? 2

解：分两种情况：

（Ⅰ）因为二次函数y?x2??a?3?x?3的图象与线段ab只有一个交点，且点a，b的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

?1

1得?1?a??． 22?(a?3)?1?3?22?(a?3)?2?3?0， ???

由12?(a?3)?1?3?0，得a??1，此时x1?1，x2?3，符合题意；

31由22?(a?3)?2?3?0，得a??，此时x1?2，x2?，不符合题意． 22

（Ⅱ）令x2??a?3?x?3?0，由判别式?? 0，得a?3?．

当a?3?

时，x1?x2?不合题意；

当a?3?

x1?x2?符合题意．

1综上所述，a的取值范围是?1≤a??

，或者a?3? 2

9．如图，?a??b??c??d??e??f??g?n?90?，则n＝ 答：6．

解：如图，设af与bg相交于点q，则

?aqg??a??d??g，

于是

?a??b??c??d??e??f??g

??b??c??e??f??aqg

??b??c??e??f??bqf

?540??6?90?．

所以，n＝6．

10．已知对于任意正整数n，都有 a1?a2?

则 11??a2?1a3?1?1a100?1?an?n3， ?

．

33． 100

解：当n≥2时，有 答：

a1?a2???an?1?an?n3，

a1?a2??an?1?(n?1)3，

2两式相减，得an?3n， ?3n?1

所以 11111??(?), n?2,3,4,? an?13n(n?1)3n?1n

11??a2?1a3?1?因此a100?1111?(?)

399100111111?(1?)?(?)?32323

1133?(1?)?． 3100100

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（a）．已知点m，n的坐标分别为（0，1），（0，－1），点p是抛物线y?上的一个动点．

（1）判断以点p为圆心，pm为半径的圆与直线y??1的位置关系；

（2）设直线pm与抛物线y?

证：?pnm??qnm．

解：（

1）设点p的坐标为(x0,12 x0)，则 412x的另一个交点为点q，连接np，nq，求412x4

12pm＝??x0?1; 4

1212?(?1)?x0?1， 又因为点p到直线y??1的距离为x044

所以，以点p为圆心，pm为半径的圆与直线y??1相切．

…………5分

（2）如图，分别过点p，

q作直线y??

1的垂线，垂

足分别为h，r．由（1）知，ph＝pm，同理可得，qm＝qr．

【篇二：最新全国初中数学竞赛试题及答案】

a．0b．1c．3d．5

【分析】n?5时，n！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选c．

?2x?5?x??5??3

2.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解，则t的取值范围是()． ??t?x??2

a.?6?t??11111111 b.?6?t?? c.?6?t?? d.?6?t?? 2222

?2x?5?x??5??3【分析】??3?2t?x?20，则5个整数解是x?19,18,17,16,15．

x?3??t?x??2

注意到x?15时，只有4个整数解．所以

3.已知关于x的方程14?3?2t?15??6?t??112，本题选c

xx?2a?2x恰好有一个实根，则实数a的值有()个． ??2x?2xx?2x

a．1b．2 c．3 d．4

【分析】xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4，下面先考虑增根：

x?2xx?2x

2ⅰ）令x?0，则a?4，当a?4时，2x?2x?0,x1?1,x2?0（舍）；

ⅱ）令x?2，则a?8，当a?8时，2x?2x?4?0,x1??1,x2?2（舍）；

再考虑等根：

ⅲ）对2x?2x?4?a?0，??4?8(4?a)?0?a?

故a?4,8,

22771，当a?,x1,2?. 22271，x?1,?1,共3个.本题选c． 22

4.如图，已知△abc的面积为24，点d在线段ac上，点f在

线段bc的延长线上，且bc=4cf，dcfe是平行四边形，则图

中阴影部分的面积为()． a．3 b．4c．5 d．6

【分析】设?abc底边bc上的高为h，则

h?48481212???bc4cfcfde，

111s?ade?s?bde??de?h1??de?h2??de?(h1?h2)222

1112??de?h??de??622de本题选d．

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是()．

1257a.b. c. d. 491836

11c4?c2?1?182?? 本题选b． 【分析】p?c92369

（b?2)3的值为 ． 6.设a?，b是a2的小数部分，则

222???27?3,b??2,b?2?9 【分析】考虑到a?3，则a?3?9，

（b?2)?()?9 则

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．

【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12?6，而总次数是6?6?6次，则其概率为p?12?6?1. 336?6?63

8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为 ．

【分析】先消去c，再配方估算．6a2?a?b2?16b?2?6(a?121)?(b?8)2?66? 1224

观察易知上式中a?3，故a?1,2,3，经试算，a?1,2时，b均不是整数；当a?3时，b?5,11，于是有(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax?3?11?61?2013．

9. 实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为 ．

【分析】由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b，然后可得 （a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)

本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔． 【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x?7y?2013,x?y?350

4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y?

令y?14 y?1?k?y?4k?1，则x?503?2(4k?1)?k?505?7k，又x?y?350，即4

1?n505?7k?4k?1?350?k?51?k???k?52，y?4k?1?4?52?1?207

3

即他至少卖了207支圆珠笔．

11．如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为e，该抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，且ob=oc=3oa．直线y??

求∠dbc-∠cbe．

【分析】易知y?x?2x?3?(x?1)?4，

作ef⊥ca(?1,0),b(3,0)，c(0,?3)，d(1,?4)，

o于f，连ce，易知△obc、△cef都是等腰直

角三角形，则△cbe是直角三角形．分别在rt

△obd、rt△bce中运用正切定义，即有221x?1与y轴交于点d，3

tan??od1ce21?，tan????，则??? ob3bc323

从而可得∠dbc-∠cbe=45o．

12．如图，已知ab为圆o的直径，c为圆周上一点，d

为线段ob内一点(不是端点)，满足cd⊥ab，de⊥co，e为垂足，若ce=10，且ad与db的长均为正整数，求线段ad的长．

【分析】设圆o半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，

de2?ce?oe?de2?10(r?10)，又cd2?ce2?de2?102?10(r?10)?10r

由相交弦定理（考虑垂径时）或连ac、bc用相似

或三角函数，易知

ad?bd?cd2?10r①，而ad?bd?2r②

令ad?x,bd?y，①/②即

xy10ryy??5???1，显然有0?y?x，x?y2rx5

则0?yy?1，即0??1?1?5?y?10，y为x5

正整数，故y?6,7,8,9，又x也为正整数，经逐一

试算，仅当y?6,x?30这一组是正整数，故ad?30.

13．设a、b、c是素数，记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c，当z?y,x?a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 2y?2时，

?y?c?a?b?1??8az2?y?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?【分析】?

z?a?b?c2? a、b、c是素数，则a?b?c?z为整数，则?8a?2k?1，k为正整数．化简整理后，有

?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数）?

k(k?1)?2a?k?2,k?1?a?2?1?3?

z??1??8aa?3????z??3,2 2

ⅰ)z?3,y?9,x?9?2?x?25,x?z?2b?b?11,b?17,a?b?3?17?20?17?c不能围成三角形;

ⅱ)z?2,y?4,x?16,b?9是合数

综上所述，以a、b、c不能围成三角形．

14．如果将正整数m放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称m为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，．．．，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一个为m的“魔术数”．

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨设a1?a2?...?an，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设ai?7ki?t，（i?1,2,.,.3.,

k，至少有一个为m的n;t?0,1,2,3,4,5,6）k“魔术数”．因为ai?10?m（k是m的位数)，是7的倍数，当i?6时，而ai?10除以7的余数都是

0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i?7时，而ai?10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i?7时，依抽屉原理，ai?10与m二者余数的和至少有一个是7，此时kk

ai?10k?m被7整除，即n=7．

【篇三：1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本)】

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（a）、（b）（c）、（d）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．

设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立，其中

3x2?xy?y2

a，x，y是两两不同的实数，则2的值是 x?xy?y2

15

（a）3 ； （b）；（c）2；（d）．

33

答（） ２． 如图，ab‖ef‖cd，已知ab=20，cd=80，bc=100，那么ef的值是 （a） 10；（b）12；（c） 16；（d）18．

答（ ）

３． （a）

方程x2?x?1?0的解是

1?5?1?；（b）； 221??1??1?5

或； （d）?．

222

（c）

答（） ４．

是

（Ａ）1991?1； （Ｂ）?1991?1； （Ｃ）(?1)n1991； （Ｄ）(?1)n1991?1．

答（）

５．

若1?2?3???99?100?12nm，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的

?1n

已知：x?(1991?1991n)（n是自然数）．那么(x??x2)n，的值

2

1

1

最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，

那么

a?b?c?d的最大值是 （Ａ）?1；（Ｂ）?5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（） 别是s1?1，s2?3和s3?1，那么，正方形opqr的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．

答（）

８．

s2?3

s1?1

s3=1

1，则 11

（Ａ） c 2 ；（Ｂ）0 c ≤；

22

答（）

（c）c 2；（d）c = 2．

答（ ）

二、填空题

２．已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两

2

b?3c

根为－１和４，那么，? ．

a

(x?1)m(x?1)p

?1?3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x ０，恒成立，nq

xx

则

(m2?2n?p)2q? ．

４．四边形abcd中，∠ abc?135?，∠bcd?120?，ab?6，bc?5?3，

cd = 6，则ad =．

120?

135?

第二试

x + y， x － y， x y，

x y

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ,

y）．

求证：bf＝af＋cf 三、将正方形abcd分割为 n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点a，c染成红色，把b，d染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了(a), (b), (c), (d)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?b?ab?1的非负整数(a,b)的个数是

(a)1;(b)2;(c)3;(d)4.

2.若x0是一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根,则判别式??b2?4ac与平方式m?(2ax0?b)2的关系是

(a)?m (b)?=m (c)?m; (d)不确定. 3.若x2?13x?1?0,则x4?x?4的个位数字是

(a)1;(b)3; (c)5;(d)7.

答( )

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

(a)7;(b)6; (c)5;(d)4.

答( )

5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函

k

(k?0)的图像分别相交于a点和c点.若rt?aob和?codx

的面积分别为s1和s2,则s1与s2的关系是 y?

数

(a)s1?s2 (b)s1?s2 (c)s1?s2 (d)不确定

答( )

6.在一个由8?8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为s1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为s2,则

s1

的整数部分是 s2

(a)0;(b)1;(c)2;(d)3.

答( ) 7.如图,在等腰梯形abcd中, ab//cd, ab=2cd, ?a?60?,又e是底边ab上一点,且fe=fb=ac, fa=ab.

则ae:eb等于

(a)1:2 (b)1:3 (c)2:5 (d)3:10

答( )

8.设x1,x2,x3,???,x9均为正整数,且

x1?x2?????x9,x1?x2?????x9?220,则当x1?x2?x3?x4?x5的值最大

时,x9?x1的最小值是

(a)8;(b)9; (c)10; (d)11.

答( )

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

?x2?x4??x4

2.若x?0,则的最大值是__________.

x

3.在?abc中,?c?90?,?a和?b的平分线相交于p点，又pe?ab于e点，若bc?2,ac?3，则ae?eb?.

4.若a,b都是正实数，且

111ba???0，则()3?()3?aba?bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?6x?a?0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在?abc中，ab?ac,d是底边bc上一点，e是线段ad上一点，且?bed?2?ced??a.

求证：bd?2cd.

三、某个信封上的两个邮政编码m和n均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

a：320651b：105263 c：612305d：316250

已知编码a、b、c、d各恰有两个数字的位置与m和n相同.d恰有三个数字的位置与m和n相同.试求：m和n.