四川省专升本(高等数学)-试卷1

2023年12月3日发(作者：春季2023数学试卷)

四川省专升本（高等数学）-试卷1

(总分：56.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：11，分数：22.00)

1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.已知当x→0时，(1+ax

（分数：2.00）

A. B. C. D. √

x ． 又(1+

22与cosx－1是等价无穷小，则a= ( )

解析：解析：∵当x→0时，(1+

于是，有：

（分数：2.00）

A. B. C. D.=e

=e √

=e

=e

2一1～cosx一1， ∴当x→0时， x ，2

3.下列极限不正确的是 ( )

解析：解析：B项：（分数：2.00）

A.y=x

B.y=x +1

C.y=x 一1 √

D.y=x +C

33334.经过点(1，0)，且切线斜率为3x 的曲线方程是 ( )

解析：解析：因为y′=3x ，则y=x +C．又曲线过点(1，0)，得C=－1．故曲线方程为y=x 一1．

= ( )

233（分数：2.00）

A. B. C. D.

√

，所以 解析：解析：设x=sint，则dx=costdt，当x=0时，t=0；x=1时，t=6.设直线L：（分数：2.00）

A.L与π垂直

B.L与π相交但不垂直

C.L在π上

D.L与π平行但L不在π上 √

和平面π：x—y—z+2=0，则 ( )

解析：解析：因为直线L过点(2，3，－1)，且直线L的方向向量s=(1，2，－1)，又平面π的法向量n=(1，一1，一1)，所以n.s=1—2+1=0，故直线L与平面π平行，但点(2，3，一1)不在平面π上，所以直线L不在平面π上．

7.已知D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，则

（分数：2.00）

A. B.

√

xe dxdy= ( )

y C.1一e

D.e一1

解析：解析：y2+1

28.设z=e sin(x －1)，则

（分数：2.00）

A.－2xye cos(x －1)

B.e

y2+1y2+12= ( )

+e

y2+1y2+1 sin(x －1)

222 C.－4xye cos(x －1)

D.4xye cos(x －1) √

解析：解析：∵z=e sin(x －1)， ∴

y2+1y2+12y2+1=2xe cos(x —1)，

y2+12[2xe .cos(x －1)]=4xye

y2+12 cos(x —1)．

+2y=e 的通解是 ( )

x29.微分方程

（分数：2.00）

+

+

+

－2x2x2xe

e

e

3xx3x +

－2xe √

－∫p(x)dxx解析：解析：由一阶线性微分方程的通解公式y=e

－2x (C+∫Q(x)e

∫p(x)dx dx)=e

－∫2dx (C+∫e e

x∫2dx dx)=e

(C+∫e dx)=ce +

3x－2xe ．

x10.下列级数中，收敛的是 ( )

（分数：2.00）

A. B. C. D.

√

n解析：解析：对于选项A，显然u

n 为分式，且含指数运算3 ，故宜用比值判别法判定其敛散性．因ρ=

=3＞1，所以，级数发散．对于B选项，u

n =

比值判别法知， 发散．对于C选项，u

n =

是发散的，由级数的性质知

= (x＞sinx，0＜x＜

也发散，由)，由于

是p=2＞1的P一级数收敛，所以由比值判别法知，

因u

n = ， u

n =

收敛，故选项C为正确选项，对于选项D，发散． ≠0，所以由级数收敛的必要性知，级数

－111.若A，B都是方阵，且｜A｜=2，｜B｜=－1，则｜A B｜= ( )

（分数：2.00）

A.一2

B.2

C. D. √

－1－1解析：解析：因为｜A｜｜A ｜=1，｜A｜=2，所以｜A ｜=

=｜A ｜｜B｜=

－1，又因为｜B｜=－1，所以｜A B｜－1

二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)

12.设z=x y+sin y，则

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x）

解析：解析：由于z=x y+siny，可知

13.= 1．

22= 1．

=2x．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 解析：解析：计算极限时一定要注意极限的不同类型，当x→0时，本题不是“极限的四则运算法则计算即可．故x”型，所以直接利用

14.若∫f(x)dx=e +x+C，则∫cosx.f(sinx－1)dx= 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e

sinx－1 +sinx+C）

sinx－1解析：解析：∫cosx.f(sinx－1)dx=∫f(sinx－1)d(sinx－1) =e

15.设f(x)的n－1阶导数为

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）

解析：解析：[f

16.幂函数(n－1) +sinx一1+C

1 =e

sinx－1 +sinx+C．

，则f (x)= 1．

(n) (x)]′=f (x)，即f (x)=

(n)(n)

的收敛半径为 1．

（分数：2.00）

填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）

解析：解析：因为a

n =(－1)

n－1 ，a

n+1 (一1)

n所以收敛半径为R= =2．

三、 解答题(总题数：9，分数：18.00)

17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）

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解析：

18.已知当x→0时，(

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：由于当x→0时，(

解析：解析：因为当x→0时，(

19.设f(x)=e ，求

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：f′(x)=3e ， f′(lnx)=3e

解析：

20.设f(x，y)=cos(x y)，求f″

xx

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：由 =－sin(x y).2xy，

223x3lnx3x－1)与sin x是等价无穷小量，求常数a的值．

2一1)与sin x是等价无穷小量，因此有

22解得a=2．)

=1． －1)与sin x是等价无穷小量，所以有

dx．

=3x ，

3)

=－sin(x y).x ， 得

22=－cos(x

2y).4x y －sin(x y).2y，

2222=－cos(x y).x ， 因此 f″

xx (1，

)=[－cos(x y).x ]

2424)=[－cos(x y).4x

=0．)

2 y －sin(x y).2y]

22=－π， f″

yy (1，

解析：解析：在做此题时要注意，对谁求偏导数只需把谁看成变量，其他都看成常数，用一元函数求导的方法求导即可．

21.计算xydxdy，其中D如图所示，由y=x，y=1与y轴围成．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：)

解析：解析：计算二重积分的基本思想是将其化为累次积分．所给二重积分被积函数xy关于x，y对称，积分区域也较简单．可以将二重积分转化为：先对y积分，后对x积分的累次积分．也可以转化为：先对x积分，后对y积分的累次积分．

22.求经过点A(3，2，1)和B(－1，2，－3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：与xOz平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax+Cz+D=0， ① 把点A(3，2，1)和点B(－1，2，－3)代入上式得3A+C+D=0， ② －A－3C+D=0， ③ 由②③得A=平面方程为x一2一z=0．)

解析：解析：由于所求平面与平面xOz垂直，可设所求平面的一般方程为Ax+Cz+D=0，再把点A和点B代入平面的一般方程即可．

23.计算 ds，其中L是抛物线y=x 上点(0，0)与(1，1)之间的一段弧．

2z+D=0．消去D得所求的（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：L：y=x ，x∈[0，1]，ds=

2dx= × )

解析：解析：本题考查定积分的计算，关键是求出弧长的微分ds=24.求常微分方程（分数：2.00）

的通解．

，再代入计算即可．

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正确答案：(正确答案：令x+y=u，则，u－arctanu=x+C，y—arctan(x+y)=C．)

解析：解析：本题考查一阶微分方程的通解求解．先进行换元令x+y=u，再进行求解即可．

25.设线性方程组

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：将①②组成方程组， ③ 对它的增广矩阵B施行初等行变换： 由于① 与方程x

1 +2x

2 +x

3 =a－1 ② 有公共解，求a的值及所有公共解．

③有解，所以r(B)=r(A)(A是③的系数矩阵)，从而(a一1)(a一2)=0，即a=1，2． 当a=1时，③与方程组 同解，它的解即①②的公共解为x=(x

1 ，x

2 ，x

3 ) =(C，0，一C) (C是任意常数)． 当同解，它的解即①②的公共解为x=(0，1，一1) )

TTTa=2时，③与方程组

解析：解析：本题是在“①②有公共解”的条件下，求a的值及所有公共解，利用线性方程组的系数矩阵与它的增广矩阵有相同的秩求解即可．

四、 综合题(总题数：2，分数：4.00)

26.欲用板材作一容积为a 的长方体密封箱体，试问长、宽、高各为多少时，可以使板材最省?

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：令x，y分别为箱体的长、宽，则高z应为，箱体的表面积为即解得唯一驻3所求问题就是求二元函数S=S(x，y)在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0)上的最小值点，由点(a，a)∈D，显然，这个驻点就是最小值点，由x=y=a，得z=a．即当x=y=z=a时，板材最省．)

解析：解析：设箱体长、宽分别为x，y，并与容积a 表示出表面积S，通过

得S的最小值．

27.设平面薄片的方程可以表示为x +y ≤R ，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度ρ(x，y)=

该薄片的质量M．

（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：利用对称性．依题设

D在x轴上方的部分为D

1 ，则 )

ρ(x，y)dxdy(其中ρ(x，y)为密度函数)，由于区域D关于x轴对称， 为x的偶函数，记2223=0，得唯一驻点，即，求解析：解析：由二重积分的物理意义知：该薄片的质量M=

222而此积分的区域D为半圆，即x +y ≤R (x≥0)，所以由下面解法可以得到质量M的结果．

五、 证明题(总题数：1，分数：2.00)

28.试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x一（分数：2.00）

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正确答案：(正确答案：先证x＞sinx(x＞0)． 设f(x)=x—sinx，则f′(x)=1一cosx≥0(x＞0)， 所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0， 即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)． 再证sinx＞x－(x＞0)． 令g(x)=sinx—x+， 则 g′(x)=cosx－1+x， g″(x)=－sinx+1≥0， 所以g′(x)．

单调递增，又g′(0)=0，可知g′(x)＞g′(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增． 又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)， 所以 sinx—x+sinx＞x－)

730，分别设f(x)=x—sinx和＞0， 即 sinx＞x－(x＞0)． 综上可得：当x＞0时，x＞解析：解析：可将不等式分成两部分来证，即：x＞sinx，sinx＞x一g(x)=sinx—x+731，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出．