法国函数论学派

2024年1月24日发(作者：数学试卷评语图片怎么写)

法国函数论学派

（France school oftheory of functions）

法国19世纪末至20世纪30年代兴起的学派。以阿达马、E．波莱尔、R. L．贝尔、勒贝格等人为代表。

法国数学自18世纪以来就不乏大师级人物，曾几度领导世界数学发展潮流。19世纪末，年轻一代中的阿达马成为函数论学派的精神领袖。他早期就致力于把 A.-L.柯西在上的局部理论推广到全局。在复域里其博士论文《泰勒级数所定义的函数的解析开拓》(1892)第一次把引进，更简单地重证了柯西有关收敛半径的结果；并探索了奇点在收敛圆上的位置及其性质，从而使收敛圆外的解析开拓更切实可行。这些成果至今仍是复变函数论的基本内容。他深入研究了泰勒级数的解析延拓理论，建立了整函数的最大模定理（1901）, 他在研究函数的极大模时得到了着名的三圆定理，并应用到的泰勒级数系数极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系上，完善了(J.-)H.庞加莱的结果，获得了1892年法国科学院大奖。他还证明了黎曼ζ函数的亏格为零(1896)，对黎曼猜想的解决作出了贡献。证明了素数定理，

从而建立的基础。1909年起在法兰西学院任教，开办了著名的数学讨论班，每年邀请世界各地的数学家做演讲人，报告最新的研究成果与发现，从中培养起一大批学派骨干。

阿达马曾在1936年来中国清华大学讲学三个多月。1964年在中国出版了他的著作《偏微分方程论》。

该学派第一位代表人物是E．波莱尔，毕业于巴黎高等师范学校，并于1897年在该校执教，次年出版《函数论教程》(1898)，阐述了他的测度理论，并给出覆盖定理的一个新证明。该书作为“波莱尔函数论著作丛书”第一本，以后该丛书约出版了50本，其中10本出自他本人之手，包含了将集合论用于实变函数论和复变函数论的新思想。

波莱尔对数学的贡献，他引进近代实变函数理论、测度论、发散级数论、非解析开拓、可数概率、丢番图近似以及解析函数值的度量分布理论等。他取得的成果，如波莱尔覆盖定理、波莱尔测度和波莱尔求和法等，对现代数学的许多分支都产生了深刻的影响。 在无限次连续可微函数类、拟解析函数、超越整函数、代数体函数以及幂级数收敛圆周等方面的研究中，波莱尔也取得了一系列出色的成果。1917年，他发表了著名的《关于解析函数的概念和历史》一书。

在数学基础方面，波莱尔是半直觉主义派，也称为法国经验主义派的代表。他支持庞加莱关于整数不能以公理为基础的论断，他还引进所谓可计算数的概念，并用来研究可定义的实数。

R. L．贝尔1899年以关于实变函数论的论文获博士学位，文中发展了半连续概念。此后，他集中研究非连续函数，成为系统研究实变函数论的开拓者之一，指引了该学派的研究方向。

勒贝格同样是巴黎高等师范学校的毕业生，1901年给出勒贝格积分的定义，第二年在博士论文中改进了E．波莱尔的测度理论，建立勒贝格测度与勒贝格积分概念，成为现代积分论的开端。

勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。他的理论为20世纪的许多数学分支如、、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。另外,他在维数论方面也有贡献。晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。他的论文收集在《勒贝格全集》(5卷)中。

法国函数论学派在函数分类方面做出突出贡献，例如连续函数为0类，其序列的极限函数为1类，等等，这种分类在泛函分析中有重要作用。

该学派的成果吸引了世界各地的学生前来学习，对这一时期世界函数论的发展起了巨大的推动作用。俄国函数论的发展即得益于此。英国剑桥分析学派、波兰学派也都从中获取营养。第一次世界大战成为法国科学的灾难，许多数学家成为战争的牺牲品。此后，该学派趋于衰落。尽管如此，法国函数论的传统犹存。

中国数学家熊庆来三度赴法留学主修函数论，成为中国函数论研究的开拓者。