6、数学的转折点——解析几何学的产生

2023年12月31日发(作者：数学试卷及答案乙卷)

6、数学的转折点——解析几何学的产生

第六章数学的转折点——解析几何学的产生

数学中的转折点是笛卡尔的变数；有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

——恩格斯

6.1解析几何学产生的背景

● 6.1.1 数学本身的发展具备了三个条件

●初等数学日臻成熟

●欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、穆勒的《三角全书》

●阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展

●印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化

●阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展

●印度——阿拉伯数码的采用，记数和算术运算得以简化

●数学观和数学方法论的重大变化

6.1.2 数学发展的外部条件

●17世纪欧洲资本主义幼芽茁壮成长，航海、天文、力学、军事等科学技术，给数学提

出了一系列问题：确定地球的经纬度；准确计算炮弹运动轨迹以及研究机械运动特性等，这些问题都难以在常量数学的范围内获得解决，于是促使人们寻求解决变量问题的新的数学方法。

●在数学史上，17世纪是一个开创性的世纪，这个世纪中发生了对于数学具有重大

意义的三件事：

●首先是意大利的伽利略于1638年提出了实验数学方法，其特点是在所研究的现象中，

找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。

●第二件是笛卡尔的重要著作《方法论》及其附录于1637年发表。由此产生了一门用代

数方法研究几何学的新科学——解析几何学。

●第三件是微积分的建立。

在16世纪之前人们用一种静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是用平面从不同角度截锥体而得到的曲线

文艺复兴以来日益受到人们关注的行星绕日运动和抛体运动，要求人们用运动和变化的观点研究圆锥曲线，即把曲线看成是物体经运动而生成且随时间的变化而变化着的轨迹用代数方法研究几何问题，产生了一门崭新的数学分支——解析几何

把变量引入了数学，从此数学发生了质的变化——由研究常量的初等数学，进入了研究变量的高等数学

6.2笛卡尔与他的《几何学》

1、笛卡尔于1637年发表著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》），在其著作的附录之一《几何学》中，笛卡尔首次明确地提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。

2、《几何学》的问世是解析几何学产生的重要标志

3、古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形；代数过于受法则和公式的约束，成为一种阻碍思想的技艺。

4、同时，几何学提供了有关真实世界的知识和真理；代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。

5、在一条给定的直线上标出x，在与该轴成固定角的线上标出y，并且做出其x的值和y 的值满足给定关系的点。实际上，他建立的是一个斜坐标系。

x

7、笛卡尔把几何曲线变成代数方程，然后通过研究代数方程来揭示曲线的性质。

将两个不同的曲线放在同一坐标系中，并且通过联立这两个方程来求出这两条曲线交点的坐标。

指出给定任何一个含x和y的代数方程，都可以求出它的曲线。

6.3费马与他的解析几何

费马在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法。

费马在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法。

在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念

费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O 沿底线到点J的距离，E是从J到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且不用负数。

I

E

O

A

费马把他的一般原理叙述为：“只要在最后的方程里出现两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端描绘出一条直线或曲线。”

费马的著作直到1679年才正式出版，但他确实在1629年已经发现了解析几何的基本原理。费马与笛卡尔分别用不同的方法，各自独立的、差不多同时创立了解析几何

费马主要着眼于继承希腊人的思想，他认为自己只是重新表达了阿波罗尼斯的工作；笛卡尔则从批判希腊的传统出发，认为自己是在改变古代的方法。

解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”，使得平面上的点与实数对（x,y）之间建立一一对应，于是几何问题就可以用代数形式来表达，而几何问题的求解就转化为代数问题的求解。笛卡尔甚至还提出过一个大胆的计划：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。

6.4解析几何的进一步完善发展

●约翰*瓦里士引进负的纵、横坐标，从而使笛卡尔坐标几何中所考虑的曲线扩大到整个

平面

●第一次正式使用y（纵）轴的是克拉梅

●雅各*伯努利引入了极坐标系，是极坐标的发明者

●约翰*伯努利第一次引入我们现在通用的三个坐标平面，把解析几何推广到三维空间

●拉格朗日以类似后来的向量形式表示力、速度等具有方向的量，19世纪80年代一门名

叫向量代数的学科诞生

解析几何的伟大意义

●数学的研究方向发生了一次重大转折。古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为

主导的数学

●数学的研究方向发生了一次重大转折。古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为

主导的数学

●以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础

●使代数和几何融合为一体。使得几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达

到；反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以从中得到启发去提出新的结论

●代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。它带来了认识新空间的需要，

把二维平面上的点和有序实数对（x,y）之间对应起来，按照同样的思想，可以把三维平面上的点和有序实数组（x,y,z）之间建立对应关系，那么代数中的四元有序数组也可以与此类比，构成一个四维空间，以此类推，提出了高维空间的理论