2023年12月2日发(作者：七上第二章数学试卷)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题及答案解析【完整版】

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f（x，y）＝ln（y＋|xsiny|），则（ ）。

A．ff不存在，yx0,1ff存在，yx0,1ff，x0,1yff，x0,1y存在

0,1B．不存在

0,1C．均存在

0,1D．均不存在

0,1【参考答案】A

【参考解析】f（0，1）＝0，由偏导数的定义

ln1sin1xxfx,1f0,1flimlimsin1lim，

x0x0xx0,1x0xx因为limx0xx1，limx0xx1，所以f不存在，

x0,1存在.

0,1f0,yf0,1flnyy1flimlimlim1，所以y1y1y1y1y0,1y1y1y

1,x022．函数fx1x的原函数为（ ）。

x1cosx,x0ln1x2x,x0A．Fx

x1cosxsinx,x0ln1x2x1,x0B．Fx

x1cosxsinx,x0ln1x2x,x0C．Fx

x1sinxcosx,x0

 ln1x2x1,x0D．Fx

x1sinxcosx,x0【参考答案】D

【参考解析】当x≤0时，

当x＞0时，

fxdxdx1x2lnx1x2C1

fxdxx1cosxdxx1dsinxx1sinxsinxdx

x1sinxcosxC2原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处

x02limlnx1xC1C1，limx1sinxcosxC21C2

x0所以C1＝1＋C2，令C2＝C，则C1＝1＋C，故

ln1x2x1C,x0fxdx，

x1sinxcosxC,x0ln1x2x1,x0综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为Fx.

x1sinxcosx,x0

3．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

A．a＜0，b＞0

B．a＞0，b＞0

C．a＝0，b＞0

D．a＝0，b＜0

【参考答案】C

【参考解析】微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0，

当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，

若C1，C2都不为零，则微分方程的解yC1e1xC2e2x在（－∞，＋∞）无界；

当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2，

若C2≠0，则微分方程的解yC1e2ax2C2e在（－∞，＋∞）无界；

ax2a4ba2i， 当Δ＝a－4b＜0时，特征方程的根为1,222 则通解为yeax24ba24ba2xC2sinx，

C1cos22此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.

4．已知an＜bn（n＝1，2，...），若级数an1n与bn1n均收敛，则“级数an1n绝对收敛”是“bn1n绝对收敛”的（ ）。

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【参考答案】A

【参考解析】由条件知bnan为收敛的正项级数，进而绝对收敛；

n1设an绝对收敛，则由|bn|＝|bn－an＋an|≤| bn－an |＋| an |与比较判别法，得n1bn绝对收敛；

n1设bn绝对收敛，则由|an|＝|an－bn＋bn|≤| bn－an |＋| bn |与比较判别法，得n1an绝对收敛.

n1

*5．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则AE0B＝（

AB*A．B*A*0BA*

．BA*BA*B*0AB*

BA*C．B*A*0AB*

．AB*DA*B*0BA*

【参考答案】B

【参考解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（B）计算知

。） *AEBAOBOA*B*BAA*AB*OBAEOAA*B*AB*BAEAB*AB*OABB*ABEABE,ABEO

故（B）正确.

6．二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x1＋x3）2－4（x2－x3）2的规范形为（ ）。

A．y12＋y22

B．y12－y22

C．y12＋y22－4y32

D．y12＋y22－y32

【参考答案】B

【参考解析】由已知f（x1，x2，x3）＝2x12－3x22－3x32＋2x1x2＋2x1x3＋8x2x3，

211则其对应的矩阵A134

1432由EA1113414730，得A的特征值为3，－7，0

3故选（B）.

12217．已知向量α12,α21,β15,β20，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β23191线性表示，则γ＝（ ）。

3A．k3,kR

43B．k5,kR

101C．k1,kR

21D．k5,kR

8 【参考答案】D

【参考解析】设r＝x1α1＋x2α2＝y1β1＋y2β2则x1α1＋x2α2－y1β1－y2β2＝0

12211003又α1,α2,β1,β221500101

31910011故（x1，x2，y1，y2）T＝c（－3，1，－1，1）T，c∈R

所以r＝－cβ1＋cβ2＝c（－1，－5，－8）T＝－c（1，5，8）T＝k（1，5，8）T，k∈R

8．设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X－EX|）＝（ ）。

A．1/e

B．1/2

C．2/e

D．1

【参考答案】C

【参考解析】法1：由题可知EX＝1，所以XEX故

1,X0，

X1,X1,2,...EXEX1PX0k1PXkk11k1PXk01PX0

ek0112EX101eee选（C）

法2：随机变量X服从参数为1泊松分布，即PXkEXEX11ek0,1,2,...期望E（X）＝1，

k!1111EX11e10e11e1...k1e1...0!1!2!k!11k111111111ek1eeeeeee1

k!k2k2k!k2k!k2k1!k2k!e1e1e1e11e12e1选（C）.

9．设X1，X2，...，Xn为来自总体N（μ1，σ2）的简单随机样本，Y1，Y2，...，Yn为来自总体N（μ2，1n1n2σ）的简单随机样本，且两样本相互独立，记XXi,YYi,，ni1mi1221n1n2SXiX,S2YiYn1i1m1i1212，则（ ）。

S12A．2~Fn,m

S2S12B．2~Fn1,m1

S22S12C．2~Fn,m

S22S12D．2~Fn1,m1

S2【参考答案】D

1n【参考解析】X1，X2，...，Xn的样本方差SXiXn1i1212

1nY1．Y2，...，Yn的样本方差SYiYm1i1222

2n1S12m1S2则~2n1,~2m1，两个样本相互独立

222n1S12/所以m1S22/222n1m1S12/22S1222~Fn1,m1，选D．

2S2/2S2

10．设X1，X2为来自总体N（μ，σ2）的简单随机样本，其中σ（σ＞0）是未知参数，记σ＝a|x1－x2|，若E（σ）＝σ，则a＝（ ）。

A．

22

2B．C．D．

2

【参考答案】A

【参考解析】由题可知X1－X2～N（0，2σ2）.令Y＝X1－X2，则Y的概率密度为

fy122ey2222,EYy122ey2222dy2220yey242dy2，

EaX1X2aEYa2.由E（σ）＝σ，得a2.故选（A）.

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。

11.

limx2xsinx【参考答案】2/3

【参考解析】211cos＝ .

xx1111111limx22xsincosx22x3o312o2xxxx2xxx6x1112x222o2x36x2x

12．已知函数f（x，y）满足dfx,y【参考答案】π/3

【参考解析】由题意可得fxx,yxdyydx,f1,1，则f22xy43,3＝ .

y，则

x2y21xxfx,yyarctancyarctancy，

yyy又因为fyx,yx，可得c′（y）＝c，由f（1，1）＝π/4可得c＝π/2，

x2y2x，故fy2即fx,yarctan

3,33.

x2n13．＝ .

2n!n0【参考答案】1x1xee

22x2n1x2n2x2nx2n【参考解析】令sx，sx,sxsx.

2n1!2n2!2n!2n!n0n1n1n0即有s′′（x）－s（x）＝0，解得s（x）＝C1ex＋C2ex.

又由s（0）＝1，s′（0）＝0有C1＋C2＝1，C1－C2＝0，解得C1＝C2＝1/2.

－故sx1x1xee.

22

14．设某公司在t时刻的资产为f（t），从0时刻到t时刻的平均资产等于f（t）/t－t.假设f（t）连续 且f（0）＝0，则f（t）＝ .

【参考答案】2et－2t－2

fxdxft【参考解析】由题意可得方程t，即0tttt0fxdxftt2.两边同时对t求导得

f（t）＝f′（t）－2t，即f′（t）－f（t）＝2t.由一阶线性微分方程通解公式有：

1dttdttfte2tedtCe2tetdtC

ttet2t2eCCe2t2又由于f（0）＝0，则C－2＝0，即C＝2.故f（t）＝2et－2t－2.

ax1x31a011a1xaxx012315．已知线性方程组有解，其中a，b为常数，若1a14，则12ax2xax023112aab0ax1bx22＝ .

【参考答案】8

【参考解析】由已知r（A）＝r（A，b）≤3＜4，故|A，b|＝0

即

a011A,b1a1012a0ab021a112a240,ab011141a112a21ab044a011a112a

1a1故12a8.

ab0

16．设随机变量X与Y相互独立，且X～B（1，p），Y～B（2，p），p∈（0，1），则X＋Y与X－Y的相关系数为 .

【参考答案】－1/3

【参考解析】因为X～B（1，p），所以DX＝p（1－p）.

因为Y～B（2，p），所以DY＝2p（1－p）.

Cov（X＋Y，X－Y）＝Cov（X＋Y，X）－Cov（X＋Y，Y）

＝Cov（X，X）＋Cov（Y，X）－Cov（X，Y）－Cov（Y，Y）

＝DX－DY＝p（1－p）－2p（1－p）＝－p（1－p）

因为X与Y相互独立，所以

D（X＋Y）＝DX＋DY＝3p（1－p），D（X－Y）＝DX＋DY＝3p（1－p）

故CovXY,XY1.

3DXYDXY

三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知可导函数y＝y（x）满足aex＋y2＋y－ln（1＋x）cosy＋b＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝0

（1）求a，b的值.

（2）判断x＝0是否为y（x）的极值点.

【参考解析】（1）在题设方程两边同时对x求导得

aex2yyycosyln1xsinyy0①

1x将x＝0，y＝0代入题设方程得a＋b＝0；

将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入①式得a－1＝0

综上：a＝1，b＝－1.

（2）在等式①两边再对x求导得

ae2y2yyyx2sinyy1xcosy1x2ln1xsinyy0②

将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入②式得y′′（0）＝－a－1＝－2.

由于y′（0）＝0，y′′（0）＝－2，故x＝0是y（x）的极大值点.

18．（本题满分12分）

已知平面区域Dx,y|0y,x1

x1x21（1）求D的面积.

（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

【参考解析】（1）面积

S1x1x21dxxtant24sec2tdt2csctdtlncsctcotttantsect42ln12.

4（2）旋转体体积为

VAy2dx111111dxdxarctanx1.

2221x21xx1xx14

19．（本题满分12分）

已知平面区域D＝{（x，y）|（x－1）2＋y2≤1}，计算二重积分x2y21dxdy.

【参考解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进 行计算：

Dx2y21d2D1D2D3x2y21d

222222D2D321xyd21xyd2xy1dD1分别采用极坐标进行计算：

1xyddr1rdr22D130011

36181xyd2dD23222cos08163r1rdr22cos2cos3d3

36943813r1rdr3cos32cos2d3.

0364318D3xy1dd30222cos1所以：

Dx2y21d21x2y2d21x2y2d2x2y21dD1D2D332933

20．（本题满分12分）

设函数f（x）在[－a，a]上具有2阶连续倒数，证明：

（1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得f1fafa；

a21fafa.

a2（2）若f（x）在（－a，a）内取得极值，则存在η∈（－a，a），使得f【参考解析】（1）证明：fxf0f0x之间，

则faf0af2f2xf0xx，η介于0与x2!2!f12a,01a①

2! faf0af22a,a20②

2!a2①＋②得：fafaf1f2③

2又f′′（x）在[η2，η1]上连续，则必有最大值M与最小值m，即m≤f′′（η1）≤M；m≤f′′（η2）≤M；

从而mf1f2M；

2f1f2由介值定理得：存在ξ∈[η2，η1] ⊂（－a，a），有f，代入③得：

2f（a）＋f（－a）＝a2 f′′（ξ）即ffafa

2a（2）证明：设f（x）在x＝x0∈（－a，a）取极值，且f（x）在x＝x0可导，则f′（x0）＝0.

又fxfx0fx0xx0ff22xx0fx0xx0，γ介于0与x之2!2!间，则fafx0f12ax0,a10

2!f22fafx0ax0,02a

2!从而

fafa1122ax0f2ax0f122

1122ax0f2ax0f122又| f′′（x）|连续，设M＝max{| f′′（γ1）|，| f′′（γ2）|}，则

11222Max0Max0Ma2x0

221又x0∈（－a，a）则|f（a）－f（－a）|≤M（a2＋x02）≤2Ma2，则Mfafa即存在η2a21＝γ1或η＝γ2∈（－a，a），有ffafa.

22afafa

21．（本题满分12分）

x1x1x2x3设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有Ax22x1x2x3.

xxx233（1）求A

（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P1AP＝Λ.

－x1x1x2x3111x1【参考解析】（1）因为Ax22x1x2x3211x2对任意的x1，x2，x3均成立，xxx011x2333111所以A211

011（2）

1EA2011111111121111

11122222210所以A的特征值为λ1＝－2，λ2＝2，λ3＝－1.

311100λ1＝－2时，1EA211011，可得特征向量α1＝（0，－1，1）T；

011000111104λ2＝2时，2EA231013，可得特征向量α2＝（4，3，1）T；

013000

211201λ3＝－1时，3EA201010，可得特征向量α3＝（1，0，－2）T；

0100000412001令Pα1,α2,α3130，PAPα1,α2,α3020.

112001

（22）（本题满分12分）

设随机变量X的概率密度为fx（1）求X的分布函数

（2）求Y的概率密度

（3）Y的期望是否存在？

ex1exx，令Y＝e.

,x21dx=【参考解析】（1）Fxxx21e1exexxex,xR

1ex（2）【法1】分布函数法

FY（y）＝P{Y≤y}＝P{eX≤y}.

当y＜0时，FY（y）＝0；

当y≥0时，FY（y）＝P{X≤lny}＝F（lny）＝y/（1＋y）；

1,y02所以Y的概率密度为fYy1y.

0,其他【法2】公式法

因为y＝ex在（－∞，＋∞）上单调且处处可导，当x∈（－∞，＋∞），y＞0，此时x＝lny，所以Y的概率密度为

elny11,y0,y02flnylny,y0lny2yfYy=1e1y

0,其他0,其他0,其他（3）EY01dyln1y，所以不存在.

21y1y0y


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