2023年12月2日发(作者：高考数学试卷最简单吗)

序号

一． 选择题：（每小题3分，共15分）

1. 若当x0时，xarctanx与ax是等价无穷小，则a ( ) B

A.

3 B.

n11 C.

3 D.

332. 下列函数在[1,1]上满足罗尔定理条件的是 ( )C

A.

f(x)x B.

f(x)x

31,1x0C.

f(x)ee D.

f(x)

0,0x1xxf(lnx)dx ( )B 3. 如果f(x)e,则xxA.

11C B.

C

xxC.

lnxC D.

lnxC

4. 曲线yx21渐近线的条数是( ) C

xA.

1 B.

2 C.

3 D.

4

5. 设函数f(x)与g(x)在[a,a]上均具有二阶连续导数，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则a[f(x)g(x)]dx( ) D

aA.

f(a)g(a)

B.

f(a)g(a)

C.

2f(a)

D.

2g(a)

二． 填空题：（每小题3分，共15分）

x23x21.

要使函数f(x)在点x2连续，则应补充定义2x4f(2) .

21

422,)

222.

曲线yex在区间

上是凸的.

( 13．设函数yx(x32x1)2e2x,则y(7)(0)______________.7!27

x1t24.

曲线在t2点处的切线方程是 .

y3x7.

3yt5.

定积分1(xcosx1x2) dx .

π

12

三．解下列各题：（每小题10分，共40分）

1．求下列极限

（1）lim11x0ln(1x2)x2..

解：原式=limx2ln(1x2)x0x4

2x2xlim1x2x04x312.

xt22（2）lim0edtx0x.

0te2t2dt2xt2解：原式=

lim0edtex2x0xe2x2

x0et2dt2

=2limx0x2limexx012.

2.

求曲线yx0tantdt(0xπ4)的弧长.

π解：s42π01ydx401tan2xdx

ππ40secxdxlnsecxtanx|04ln(12).

3.

设f(x)满足exf(x)dxln(1ex)C,求f(x)dx.

2分

………….3分

………….3分

…………..2分

…………..5分 ………..5分

…………..2

解：f(x)1, …………..4分

1ex1exdxdx …………..3分

f(x)dx1ex1exln(1ex)C. …………..3分

cxcxe2xdx,求常数c.

4. 已知limxxcxxc2c解：lime, ………….4分

xxcc12c2xxedx()e …………. 4分

245c. …………. 2分

2cx

四．解下列各题：（每小题10分，共30分）

1.

设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)0,且F(x)f(t)dtaxbx1dt,求证：

f(t)（1）x[a,b],F(x)2;

（2）F(x)在(a,b)内恰有一个零点.

证明：（1）F(x)f(x)112f(x)2, ……3分

f(x)f(x)（2）F(x)在[a,b]上连续

……1分

F(a)f(t)dtaabab11dtdt0, ……2分

af(t)f(t)F(b)f(t)dtabbbb1dtf(t)dt0, ……2分

af(t)由零点定理，F(x)在(a,b)内至少有一个零点. ……1分

又F(x)在[a,b]上严格单调增，从而F(x)在(a,b)内恰有一个零点.

……1分

32. 设直线yax(0a1)与抛物线yx2所围成图形的面积为S1,它们与直线x1围成图形的面积为S2.

（1）确定a的值，使SS1S2取得最小值，并求此最小值;

（2）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

yax2解：(0,0),(a,a) ……..2分

2yx

S(axx2)dx(x2ax)dx

0aa1a3a1,

323S(a)a212唯一驻点

0,a22222).

……..4分

26S(a)2a0,最小值S(2/2Vx0π[(12222x)(x2)2]dxπ[(x2)2(x)]dx

2/22221π.

……..4分

303.

设f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)f(1)0,证明：存在(0,1),使得f()f()0.

证明：令F(x)xf(x),则F(x)在[0,1]上可微， ……..3分

f(0)f(1)0,f(x)在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),使f()=0

……..3分

F(0)F()0,由罗尔定理存在(0,)(0,1),使F()=0

F(x)f(x)xf(x)，

(0,1),f()f()=0. ……..4分

4 5


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