初中数学韦达定理

2024年1月23日发(作者：建湖高三数学试卷)

初中数学韦达定理

韦达定理的介绍：

中文名：韦达定理

外文名：Vieta theorem

提出者：弗朗索瓦·韦达

提出时间：16世纪

应用学科：数学代数

适用范围：方程论 初等数学 解析几何三角

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理的公式：

设一元二次方程

中，两根x₁、x₂有如下关系：

韦达定理的证明方法：

由一元二次方程求根公式知：

则有：

韦达定理的应用方法：

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。

一、直接应用韦达定理

若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．

例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．

求证：

(1)c＋d＝2bcosA；

(2)c·d＝b2－a2．

分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．

证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有

a2＝b2＋c2－2bccosA；

a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．

∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，

d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．

于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．

由韦达定理，有

c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．

例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的

值．

分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．

解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．

由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．

故ab＋a＋b＝－2．

二、先恒等变形，再应用韦达定理

若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．

例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．

证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．

由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．

∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．

则z2≤0，又∵z为实数，

∴z2＝0，即△＝0．

于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．

由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理

三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理

例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有

a＋2a＝－P，①

a·2a＝q，②

P2－4q＝1．③

把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．

∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．

解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．

例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．

证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．

由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．

从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①

把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．

故p－q＝0或p＋q＋4＝0，

即p＝q或p＋q＝－4．

四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理

例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．

解：设公共根为α，易知，原方程x2 mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．

由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①

α(4－α)＝－(m－1)．②

由②得m＝1－4α＋α2，③

把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，

即(α－3)(α2＋1)＝0．

∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．

把α＝3代入③，得m＝－2．

故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．

韦达定理的补充资料：

韦达定理的发展简史

法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方

程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理的意义

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为 （a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。