2022年全国甲卷数学(文科)高考真题(原卷含答案)

2023年12月4日发(作者：孩子高考数学试卷)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A{2,1,0,1,2},Bx∣0xA．0,1,2B．{2,1,0}5，则AB（2C．{0,1}）D．{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若z1i．则|iz3z|（A．45的体积为（）B．42）C．25D．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体第１页，共５页A．8B．12C．16D．205．将函数f(x)sinxππ的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C(0)23）C．关于y轴对称，则的最小值是（A．16B．1413D．126，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（A．）C．15B．1325D．23）7．函数f(x)3x3xcosx在区间,的图像大致为（22A．B．C．8．当x1时，函数f(x)alnxD．b取得最大值2，则f(2)（）x11A．1B．C．D．1229．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30，则（A．AB2ADC．ACCB1）B．AB与平面AB1C1D所成的角为30D．B1D与平面BB1C1C所成的角为4510．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，第２页，共５页体积分别为V甲和V乙．若A．5S甲V=2，则甲=（S乙V乙C．10）B．22D．5104x2y2111．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，A1,A2分别为C的左、右顶点，Bab3为C的上顶点．若BA1BA21，则C的方程为（）x2y2A．11816mmx2y2B．198mx2y2C．132）D．b0ax22D．y1212．已知910,a1011,b89，则（A．a0bB．ab0C．ba0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a(m,3),b(1,m1)．若ab，则m______________．14．设点M在直线2xy10上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为______________．x2y215．记双曲线C:221(a0,b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y2x与Cab无公共点”的e的一个值______________．16．已知△ABC中，点D在边BC上，ADB120,AD2,CD2BD．当最小值时，BD______________．AC取得AB三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数AB240210未准点班次数2030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？n(adbc)2附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k0.1002.7060.0503.8410.0106.635k18．（12分）第３页，共５页记Sn为数列an的前n项和．已知（1）证明：an是等差数列；2Snn2an1．n（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）32已知函数f(x)xx,g(x)xa，曲线yf(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线yg(x)的切线．（1）若x11，求a：（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF3．（1）求C的方程：（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为2,．当取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）2tx6（t为参数）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为yt2sx6（s为参数）．ys第４页，共５页（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a,b,c均为正数，且a2b24c23，证明：（1）ab2c3（2）若b2c，则1a13．b第５页，共５页绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.313.##0.75414.(x1)2(y1)2515.2（满足1e5皆可）16.31##1+3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为（2）有18.（1）证明见解析；（2）78．19.（1）127，138如图所示：，分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，EMFN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面所以EM平面ABCD，同理可得FN平面ABCD，ABCDAB，EM平面EAB，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，而EMFN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF//MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF//平面ABCD．（2）6403．3（2）1,20.（1）321.（1）y24x；（2）AB:x2y4.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）y6x2y0；211（2）C3,C1的交点坐标为,1，1,2，C3,C2的交点坐标为,1，1,2．22[选修4-5：不等式选讲]222222223.（1）证明：由柯西不等式有ab2c111ab2c，所以ab2c3，当且仅当ab2c1时，取等号，所以ab2c3；（2）证明：因为b2c，a0，b0，c0，由（1）得ab2ca4c3，即0a4c3，所以11，a4c32221293，1112由权方和不等式知aca4ca4ca4c当且仅当121，即a1，c时取等号，a4c2113ac所以.