2023年12月11日发(作者：宜宾2018一诊数学试卷答案)

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。

一、命题热点

分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

二、知识点总结

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

ab⑥利用均值不等式

ab2a2b2； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；2⑧利用函数有界性（a、sin、cos等）；⑨平方法；⑩ 导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数：内函数ug(x)与外函数yf(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件

．．．．⑵f(x)是奇函数f(x)f(x)；f(x)是偶函数f(x)f(x).

⑶奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

⑴单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)；

②f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x1)f(x2)；

⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有fxTfx （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：

①ysinx:T2；②ycosx:T2 ；③ytanx:T；④yAsin(x),ycos(x):T2；⑤ytanx:T

(3)与周期有关的结论：f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：

x⑴指数函数：ya(a0,a1)；⑵对数函数:ylogax(a0,a1)；

⑶幂函数：yx （R) ；⑷正弦函数:ysinx；⑸余弦函数：ycosx ；

（6）正切函数：ytanx；⑺一元二次函数：axbxc0（a≠0）；

⑻其它常用函数：正比例函数：ykx(k0)；反比例函数：y

㈡.

⑴分数指数幂：amn2ka(k0)；③函数yx(a0)xx

a；anmmn1amn（以上a0,m,nN，且n1）.

b⑵.①aNlogaNb； ②logaMNlogaMlogaN；

MnlogaMlogaN； ④logambnlogab.

NmlogmNlogN⑶.对数的换底公式:logaN.对数恒等式:aaN.

logma③loga9．二次函数：

⑴解析式：①一般式：f(x)axbxc；②顶点式：f(x)a(xh)k，(h,k)为顶点；

③零点式：f(x)a(xx1)(xx2) （a≠0）.

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

22b4acb2b二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是2a，4a。

2a210．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ)yf(x)yf(xa)，(a0)———左“+”右“－”；

ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0)

———上“+”下“－”；

yf(x)；ⅱ)yf(x)yf(x)； ② 对称变换：ⅰ)yf(x)xf(y)； ⅲ)

yf(x)yf(x)； ⅳ)yf(x)③ 翻折变换：

x0yx(0,0)y0ⅰ)yf(x)yf(|x|)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；

ⅱ)yf(x)y|f(x)|———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在yg(x)的图象上，反之亦然。

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0

②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=ab对称；

2特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.

③yf(x)的图象关于点(a,b)对称faxfax2b.

特别地：yf(x)的图象关于点(a,0)对称faxfax.

④函数yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称;

函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线x0对称。

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求f(x)0的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。


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